二級齒輪非線性動態(tài)特性同倫攝動法分析

荀 超, 吳海軒, 王云龍

(南京工程學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院,南京 211167)

齒輪廣泛應(yīng)用于各類機(jī)械傳動中,在多種內(nèi)外激勵的共同作用下,復(fù)雜齒輪機(jī)構(gòu)的振動與噪聲問題突出,引起的齒輪失效風(fēng)險嚴(yán)重制約了其應(yīng)用。這就需要在設(shè)計階段,對復(fù)雜齒輪機(jī)構(gòu)的動力學(xué)行為進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測。齒輪傳動機(jī)構(gòu)是具有參數(shù)激勵和“非光滑”特性的非線性系統(tǒng)。時變的嚙合剛度是齒輪傳動機(jī)構(gòu)振動的主要內(nèi)部激勵之一[1]。齒側(cè)間隙導(dǎo)致在振動劇烈時,輪齒嚙合會出現(xiàn)脫齒。脫齒使齒輪機(jī)構(gòu)的動態(tài)特性具有明顯的間隙非線性特征。復(fù)雜齒輪傳動機(jī)構(gòu)存在多處輪齒嚙合,機(jī)構(gòu)內(nèi)部有多處參數(shù)激勵與脫齒,其間復(fù)雜的耦合關(guān)系增加了對齒輪機(jī)構(gòu)動態(tài)特性分析的難度。二級齒輪傳動機(jī)構(gòu)是復(fù)雜齒輪傳動系統(tǒng)主要的基本組成形式,針對二級齒輪傳動機(jī)構(gòu)開展非線性動態(tài)特性分析,可為復(fù)雜齒輪機(jī)構(gòu)的傳動性能研究提供理論方法指導(dǎo)。

數(shù)值積分方法需對時間歷程進(jìn)行分段,各時間段內(nèi)的嚙合剛度按照定值處理。從而將一個嚙合周期內(nèi)的時變嚙合剛度曲線,切分成分段定值曲線。通過依次求解各分段內(nèi)的響應(yīng),從而獲取機(jī)構(gòu)在整個時間歷程上的振動響應(yīng)[2]。通過數(shù)值積分求解,能夠得到齒輪接觸特性與系統(tǒng)振動之間的耦合關(guān)系[3-4]、齒輪機(jī)構(gòu)的非線性振動特性[5]和失穩(wěn)特性[6]等。數(shù)值積分能夠提供較準(zhǔn)確的計算結(jié)果,但其計算耗時較長,且無法明確解釋各種動力學(xué)現(xiàn)象與系統(tǒng)參數(shù)之間的定量關(guān)系。

諧波平衡法和多尺度法是常用的齒輪非線性動態(tài)特性解析方法。Kahraman等[7-9]使用諧波平衡法分析了軸-軸承-齒輪系統(tǒng)的非線性動態(tài)特性,得到了系統(tǒng)響應(yīng)的幅頻曲線。Al-Shyyab等[10]借助諧波平衡法,對多級齒輪系統(tǒng)展開了周期1和次諧波振動分析。通過實(shí)例分析發(fā)現(xiàn),脫齒引起的剛度“軟化”現(xiàn)象對多級齒輪系統(tǒng)動態(tài)特性具有顯著影響。在脫齒發(fā)生的頻率范圍內(nèi),系統(tǒng)會失穩(wěn)甚至出現(xiàn)混沌。此后,有學(xué)者將諧波平衡法應(yīng)用于分析行星齒輪系統(tǒng)[11-13]、非圓齒輪[14]的非線性動態(tài)特性。然而傳統(tǒng)的諧波平衡法無法處理超諧、次諧響應(yīng)。Liu等[15-16]采用多尺度法,考慮時變嚙合剛度與脫齒現(xiàn)象,分析了多級齒輪系統(tǒng)和行星齒輪系統(tǒng)的非線性動力學(xué)特性。多尺度法依賴于攝動參數(shù)為小變量,假定齒輪系統(tǒng)的脫齒時間與嚙合周期相比(脫齒率)為小量。當(dāng)齒輪出現(xiàn)輕微脫齒,多尺度法具有較高的計算精度,適用于分析系統(tǒng)的主共振、超諧共振、亞諧共振的響應(yīng)和穩(wěn)定性問題等。然而,在齒輪脫齒率較高時,多尺度法的計算精度明顯下降。當(dāng)脫齒率達(dá)到30%時,多尺度法與數(shù)值積分之間的計算誤差將超過10%[17]。數(shù)值積分的計算結(jié)果表明,在主共振區(qū)域內(nèi),齒輪系統(tǒng)的脫齒率會達(dá)到40%,甚至更高。此時多尺度法的計算精度難以保證,需要尋求一種可適用于齒輪系統(tǒng)作強(qiáng)非線性振動時的理論分析方法。

廖世俊等[18]提出的同倫攝動方法,不同于多尺度方法,其分析過程不依賴于任何小變量,針對弱非線性和強(qiáng)非線性動力學(xué)問題均可適用。同倫方法提供了一個可以調(diào)整和控制系統(tǒng)近似級數(shù)解收斂域的途徑[19],已成功地應(yīng)用于求解諸多類型的非線性問題中[20-23]。Wen等[24-26]已證實(shí)同倫方法可應(yīng)用于分析單自由度的齒輪系統(tǒng)非線性動力學(xué)行為。多級齒輪系統(tǒng)是復(fù)雜的多自由度非線性系統(tǒng),各自由度之間耦合關(guān)系密切。對多級齒輪系統(tǒng)非線性動態(tài)特性的分析難度遠(yuǎn)大于單自由度齒輪系統(tǒng)。

采用同倫法推導(dǎo)二級齒輪傳動機(jī)構(gòu)主共振、亞諧共振和超諧共振的幅頻響應(yīng)的解析表達(dá)式,提高對其各類共振區(qū)域內(nèi)非線性動態(tài)響應(yīng)的精度,揭示時變嚙合剛度、嚙合脫齒等激勵對機(jī)構(gòu)非線性動態(tài)特性的影響機(jī)理。

1 模型與振動方程

一種常見的二級齒輪傳動機(jī)構(gòu),左側(cè)的小齒輪為主動輪,右側(cè)為輸出輪,中間為惰輪,如圖1所示。齒輪機(jī)構(gòu)的動態(tài)傳遞誤差主要來自齒輪扭轉(zhuǎn)方向的振動。為明確時變嚙合剛度的波動對齒輪機(jī)構(gòu)扭轉(zhuǎn)振動和動態(tài)傳遞誤差的激勵機(jī)理,僅考慮齒輪扭轉(zhuǎn)方向的自由度,建立純扭轉(zhuǎn)動力學(xué)模型,如圖2所示。其中齒輪的主體部分視為質(zhì)點(diǎn),輪齒嚙合借助線性彈簧模擬。惰輪兩側(cè)的嚙合剛度分別km1、km2,u1、u2、u3分別代表各齒輪的扭轉(zhuǎn)位移量。

圖1 二級齒輪傳動機(jī)構(gòu)Fig.1 Structure of multi-mesh gear set

圖2 二級齒輪機(jī)構(gòu)的純扭轉(zhuǎn)集中質(zhì)量動力學(xué)模型Fig.2 Lumped parameter model of amulti-mesh gear set

該齒輪機(jī)構(gòu)的振動方程為

(1)

式中,Ft為負(fù)載扭矩在輸出齒輪分度圓上的等效阻力;M和x分別為機(jī)構(gòu)的質(zhì)量矩陣和位移向量。

(2)

Kmi分別為無量綱的嚙合剛度矩陣

(3)

時變嚙合剛度kmi(t)的傅里葉級數(shù)表達(dá)式分別為

(4)

式中,ωm為嚙合頻率。嚙合變形量δi及脫齒函數(shù)Θ(δi)分別為

(5)

脫齒函數(shù)的傅里葉級數(shù)表達(dá)式為

(6)

式中,βi為脫齒函數(shù)與時變嚙合剛度間的相位差。振動方程(1)的特征值方程為

(7)

式中,Km0為平均嚙合剛度矩陣

(8)

將x=Vz代入式(1),即可得到系統(tǒng)在模態(tài)空間的振動方程為

其中,

Cv=VTCV,Gi=VTKmiV,Fvt=VTFt

假定前兩階扭轉(zhuǎn)固有頻率分別為第k階和第h階,由式(9)可得第k階和第h階模態(tài)方程為

(11)

(12)

以表1中的二級齒輪傳動機(jī)構(gòu)為研究對象,以數(shù)值積分(numerical integration, NI)計算結(jié)果為參考,分別對比同倫法(homotopy analysis method, HAM)和多尺度法(method of multi-scale, MMS)在主共振、亞諧共振和超諧共振附近的計算精度。

表1 示例齒輪機(jī)構(gòu)的主要參數(shù)Tab.1 Parameters of an example gear set

通過有限元方法計算示例二級齒輪傳動機(jī)構(gòu)的嚙合剛度,嚙合剛度曲線如圖3所示。當(dāng)嚙合剛度取其平均值時,表1中齒輪機(jī)構(gòu)的固有頻率分別為0(剛體模態(tài))、4 049.1 Hz、5 744.5 Hz。

圖3 嚙合剛度曲線Fig.3 Mesh stiffness of the gear set

2 同倫攝動法分析

2.1 主共振 ωm≈ωk

在ωm≈ωk主共振區(qū)域內(nèi),令Tk和Th分別為zk(t)和zh(t)的響應(yīng)周期。令ak為zk(t)的最大值,即ak=max[zk(t)]。令

(13)

實(shí)際上,當(dāng)ωμ≈ωκ時,第η階模態(tài)響應(yīng)ζη(τ)為定值。經(jīng)過式(14)的轉(zhuǎn)換,可得

τ=ωμτ,ζκ(τ)=?k+akvk(τ),zh(t)=?h

(14)

第k、h階模態(tài)方程進(jìn)一步改寫為

(15)

(16)

第k階模態(tài)響應(yīng)可寫為冪級數(shù)形式為

(17)

其中,cl和dl為各級冪級數(shù)系數(shù)。可令

(18)

由解表達(dá)式(17)和式(15)可設(shè)輔助線性算子為

(19)

由式(15)可令非線性算子為

(20)

式中:q∈[0,1]為嵌入?yún)?shù);Vk(τ;q)為τ和q的實(shí)函數(shù);Ak(q)、Λk(q)和Λh(q)則為q的實(shí)函數(shù)。令?k為非零輔助參數(shù),而Hk(τ)表示非零輔助函數(shù)。則0階變形方程可構(gòu)造為

(1-q)Lk[Vk(τ;q)-vk,0(τ)]=q?kHk(τ)Nk

(21)

當(dāng)q=0時,顯然有

Vk(τ;0)=vk,0(τ),Ak(0)=ak,0,
Λk(0)=?k,0,Λh(0)=?h,0

(22)

當(dāng)q=1時,則

Vk(τ;1)=vk(τ),Ak(1)=ak,
Λk(1)=?k,Λh(1)=?h

(23)

由此可見,當(dāng)嵌入?yún)?shù)q由0連續(xù)增至1的過程中,Vk(τ;q)由初始猜測解vk,0(τ)逼近精確解vk(τ)。同樣,Ak(q)、Λk(q)和Λh(q)則分別由初始猜測解ak,0,?k,0和?h,0向相應(yīng)的精確解ak,?k和?h靠近。

0階變形方程式中包含輔助參數(shù)?k和輔助函數(shù)Hk(τ),假定?k和Hk(τ)都構(gòu)造合理,使n>1時存在

(24)

由泰勒理論和式(20),能夠以θ的級數(shù)形式將各式展開為

(25)

假定?k和Hk(τ)都構(gòu)造合理,使得式(25)在q=1處收斂。借助式(25),解表達(dá)式為

(26)

定義如下幾個向量

(27)

令0階變形方程對q求導(dǎo)n次,并除以n!,最終令q=0,即可得到高階變形方程為

(28)

其中,

(29)

且

(30)

簡便起見,令

Hk(τ)=1

(31)

當(dāng)n=1時

(32)

Rk,1可簡化為

Rk,1=c1,0+c1,1ej(τ+βk)+d1,1e-j(τ+βk)+
c2,1ej2(τ+βk)+d2,1e-j2(τ+βk)+c3,1ej3(τ+βk)+
d3,1e-j3(τ+βk)

(33)

若c11≠0,d11≠0,則式(33)中包含永年項(xiàng),因此必須強(qiáng)制令

(34)

將實(shí)部與虛部分離,即可得到模態(tài)振幅與相位方程組為

(35)

由式(35)化簡可得

(36)

式中,ψ為Ξ2的相位。消除式(36)中的三角函數(shù),即可得到系統(tǒng)在主共振區(qū)域內(nèi)的幅頻關(guān)系式為

(37)

由此可求得第k階模態(tài)振動幅值為

(38)

由幅頻響應(yīng)表達(dá)式可見,系統(tǒng)主共振響應(yīng)與阻尼λk和Ξ1,2,3關(guān)系密切。Ξ1中體現(xiàn)著平均嚙合剛度與脫齒函數(shù)Θ第0階諧波成分的作用;Ξ2則體現(xiàn)出時變嚙合剛度的作用;而Ξ3則體現(xiàn)出平均嚙合剛度、脫齒函數(shù)Θ第0階和第2階諧波成分的作用。式(15)和式(16)中,第k階和第h階模態(tài)響應(yīng)的平均值滿足方程

(39)

即可得到?k,0和?h,0為

(40)

當(dāng)ν=1,由式(6)可得脫齒函數(shù)的傅里葉級數(shù)表達(dá)式為

(41)

第κ階模態(tài)振幅脫齒邊界取決于?k,0、?h,0和系統(tǒng)模態(tài)振型。由式(40)中?k,0和?h,0的表達(dá)式可見,傳動轉(zhuǎn)矩、平均嚙合剛度、脫齒函數(shù)共同決定著模態(tài)振幅的脫齒邊界。

(42)

利用式(38)的幅頻響應(yīng)表達(dá)式和式(36)、式(40)、式(41),給定一個模態(tài)響應(yīng)幅值ak,0,即可得到響應(yīng)的嚙合頻率ωm,進(jìn)而得到機(jī)構(gòu)在第k階模態(tài)主共振區(qū)域內(nèi)的幅頻響應(yīng)曲線。圖4(a)為同倫法所得從動齒輪幅頻曲線。與多尺度法和數(shù)值積分結(jié)果對比可見,在嚙合頻率遠(yuǎn)離固有頻率、未發(fā)生脫齒的頻率范圍中,同倫法和多尺度法所得曲線與數(shù)值積分的曲線之間的誤差很小,且同倫法得到了與多尺度法、數(shù)值計算方法一致的脫齒幅值邊界。

圖4 第1階模態(tài)主共振,HAM計算結(jié)果對比Fig.4 Comparisons between the HAM and NI for primary resonance in the first mode

對照圖4(b)、圖4(c)中的脫齒率曲線可見,多尺度法所得幅頻曲線與數(shù)值積分結(jié)果之間的偏差,隨著脫齒率的增大而增大。將某一嚙合頻率處的模態(tài)振幅間的差值定義為不同算法間的誤差。如圖4(a)所示,多尺度法、同倫法所得幅頻響應(yīng)曲線的最大幅值分別為67.8 μm、65.3 μm,對應(yīng)嚙合頻率處的數(shù)值積分結(jié)果分別為56.7 μm和62.3 μm。以數(shù)值積分的結(jié)果為參照,多尺度法和同倫法對應(yīng)的相對誤差分別為19.6%和4.8%。由于多尺度法依賴于脫齒率較小的假設(shè),此處主動輪嚙合處的脫齒率超過了40%,導(dǎo)致多尺度法的誤差較大,而同倫法仍能具有較高的計算精度。

圖5(a)中為各方法所得中間齒輪第二階扭轉(zhuǎn)模態(tài)主共振幅頻曲線對比,圖5(b)、圖5(c)展示了相應(yīng)的脫齒率曲線。與圖4中結(jié)果所得結(jié)論相同,以數(shù)值計算結(jié)果為參考,隨著脫齒率的增大,多尺度方法的計算精度降低,而同倫法仍能保持較高的計算精度。

圖5 第2階扭轉(zhuǎn)模態(tài)主共振,HAM結(jié)果對比Fig.5 Comparisons between the HAM and NI for primary resonance in the second mode

2.2 亞諧共振ωm≈2ωk

對于ωm≈2ωk,參照主共振中的同倫推導(dǎo)過程,即可得到亞諧共振的幅頻關(guān)系式為

(43)

由幅頻響應(yīng)表達(dá)式可見,亞諧共振響應(yīng)同樣與阻尼λk和Ξ1,2,3關(guān)系密切。Ξ1中體現(xiàn)著平均嚙合剛度與脫齒函數(shù)Θ第1階諧波成分的作用;Ξ2則體現(xiàn)出時變嚙合剛度的作用;Ξ3則體現(xiàn)出平均嚙合剛度、脫齒函數(shù)Θ第0階和第2階諧波成分的作用。

圖6、圖7分別對比了同倫法、多尺度法和數(shù)值積分前兩階扭轉(zhuǎn)模態(tài)亞諧共振的幅頻響應(yīng)曲線。其中,虛線為不穩(wěn)定解分支,兩條垂直線標(biāo)定著系統(tǒng)的不穩(wěn)定邊界。幅頻響應(yīng)曲線在出現(xiàn)脫齒前保持垂直。出現(xiàn)脫齒現(xiàn)象后,原本垂直的兩條幅頻響應(yīng)曲線向左傾斜。與主共振情況相似,較低的分支為不穩(wěn)定解,而另一分支為穩(wěn)定解。

圖6 第1階扭轉(zhuǎn)模態(tài)亞諧共振,HAM計算結(jié)果對比Fig.6 Comparisons between the HAM and NI for sub-harmonic resonance in the first mode

圖7 第二階扭轉(zhuǎn)模態(tài)亞諧共振,HAM計算結(jié)果對比Fig.7 Comparisons between the HAM and NI for sub-harmonic resonance in the second mode

由圖6和圖7可知,以數(shù)值計算結(jié)果為參照,同倫法比多尺度法可以在更高的脫齒率范圍內(nèi)保持計算精度,這是因?yàn)橥瑐惙ú灰蕾囉谌魏涡∽兞俊?/p>

2.3 超諧共振ωm≈1/2ωk

考慮時變嚙合剛度的前兩階諧波成分,依照與主共振相似的同倫法推導(dǎo)過程,即可得到超諧共振ωm≈1/2ωk時的幅頻關(guān)系式

(44)

其中,

系統(tǒng)亞諧共振響應(yīng)同樣與阻尼λk和Ξ1,2,3關(guān)系密切。Ξ1中體現(xiàn)著平均嚙合剛度與脫齒函數(shù)Θ第1階諧波成分的作用;Ξ2則體現(xiàn)出時變嚙合剛度第二階諧波成分的作用;Ξ3則體現(xiàn)出平均嚙合剛度、脫齒函數(shù)Θ第0和第2階諧波成分的作用。

圖8中對比了超諧共振ωm≈1/2ωk同倫法與數(shù)值積分所得幅頻響應(yīng)曲線。圖中實(shí)線為數(shù)值積分所得曲線,圈線為同倫法所得曲線。

圖8 超諧共振,HAM計算結(jié)果對比Fig.8 Comparisons between the HAM and NI for super-harmonic resonance

由圖8可知,當(dāng)嚙合頻率接近前兩階扭轉(zhuǎn)固有頻率1/2時,幅頻響應(yīng)曲線的頂部向左輕微傾斜,說明系統(tǒng)發(fā)生了輕微的脫齒現(xiàn)象。同倫法與數(shù)值積分所得幅頻響應(yīng)曲線達(dá)到了很好的一致,同倫法同樣適用于計算齒輪系統(tǒng)超諧共振響應(yīng)。

3 結(jié) 論

(1) 考慮時變嚙合剛度、脫齒、各級齒輪嚙合間的耦合關(guān)系,建立了二級直齒傳動機(jī)構(gòu)的剛?cè)峄旌夏Ｐ?通過同倫法一階變形公式,推導(dǎo)得到了二級齒輪系統(tǒng)主共振、亞諧共振和超諧共振的幅頻關(guān)系表達(dá)式。

(2) 同倫法可適用于求解含有間隙非線性因素的,多自由度齒輪機(jī)構(gòu)的共振、亞諧共振和超諧共振等非線性響應(yīng),能夠準(zhǔn)確預(yù)測脫齒發(fā)生的嚙合頻率、剛度“軟化”等。

(3) 與多尺度法相比,同倫法推導(dǎo)過程不依賴于任何小變量,因而在脫齒率較高時,以數(shù)值積分結(jié)果為參照,同倫法具有比多尺度法更高的計算精度。本研究為復(fù)雜齒輪傳動機(jī)構(gòu)的非線性動態(tài)特性分析提供了更為精確的理論分析方法。