基于徑向基函數(shù)代理模型的板料成形回彈預測

楊川，謝延敏，隆強

(西南交通大學，四川成都610031)

代理模型作為分析工具和優(yōu)化算法之間的接口，得到了廣泛的應用和發(fā)展。所謂代理模型，是指在不降低精度的情況下構造的一個計算量小、周期短，但計算結果與數(shù)值分析或物理實驗結果相近的數(shù)學模型[1]。它是利用已知點(樣本)的響應信息來預測未知點響應值的一類模型，其實質是以擬合精度和預測精度為約束，利用近似方法對離散數(shù)據進行逼近的數(shù)學模型。代理模型的構造在數(shù)學上可以通過擬合和插值來實現(xiàn)，具體方法有多項式擬合、插值和級數(shù)擬合等經典方法，也有徑向基函數(shù)插值與Kriging 插值等新方法。其中，徑向基函數(shù)插值被證明是一種高精度的代理模型構造方法[2－3]。

作者提出了基于徑向基函數(shù)(RBF)的代理模型方法，并結合U形薄板零件的沖壓成形參數(shù)進行正交試驗方案設計，利用徑向基函數(shù)建立代理模型[4－5]。U形件是一種具有代表性的沖壓成形件。對此類零件的成形技術和沖壓成形過程中回彈的研究，對其他更復雜車身覆蓋件沖壓成形和沖壓模具開發(fā)，有一定的借鑒與參考價值。

1 利用Dynaform 進行成形模擬及回彈分析

以國際著名的數(shù)值模擬會議NUMISHEET’93的U形件成形為例，模具結構如圖1所示，應用Dynaform 對U形件的成形及回彈進行模擬[6]。

圖1 模具結構圖

板料采用鋁合金板材，長度為350 mm，寬度為35 mm，厚度為1 mm，拉延深度為70 mm。

材料應力應變關系見下式:

σ=K(ε0+ε)n

式中:σ為應力;

K為材料常數(shù);

ε0為初始應變;

ε為塑性應變;

n為加工硬化系數(shù)。

材料參數(shù)如表1所示。

表1 材料參數(shù)

1.1 模型驗證

(1)利用UG 對U形件的凸凹模及板料進行CAD建模。

(2)然后通過標準數(shù)據轉換接口IGES 將曲面模型導入Dynaform中。建立對應模型及網格劃分，如圖2所示。

圖2 有限元模型圖

(3)凸模沖壓速度為2 m/s，板料壓邊力為2 kN，工具間摩擦因數(shù)定義為0.12，進行模擬計算，模擬后的成形極限圖如圖3所示，厚薄圖如圖4所示。

圖3 成形極限圖

圖4 厚薄圖

由圖3可以看出:上述條件下，沖壓成形后零件各部分均處于安全區(qū)域。圖4顯示零件的最小厚度為0.919 mm，變薄率在10%以內，所以只需考慮回彈而不用擔心其他如拉裂、起皺等缺陷的產生。

回彈模擬結束后，以圖5中θ1和θ2為評價指標[3]，測量相關回彈變形尺寸如表2所示。將文中得到的模擬結果與NUMISHEET’93的結果進行對比可以看出，文中得到的結果與會議給出的結果比較接近。因此文中采用的U形件彎曲回彈數(shù)值模擬技術是可行的。

圖5 回彈的評價方法

表2 真實試驗結果與模擬結果

1.2 影響因子及水平的確定

影響U形件成形回彈的因子包括:沖壓速度、壓邊力、摩擦因數(shù)、模具間隙、凹模圓角、相對彎曲半徑[7]，根據相關的設計手冊及設計經驗，U形件成形回彈正交試驗中影響因子水平選取如下:

(1)沖壓速度。文中取沖壓速度水平為2、3、4 m/s。

(2)壓邊力。文中取壓邊力水平為2、3、4 kN。

(3)摩擦因數(shù)。文中取摩擦因數(shù)水平為0.11、0.12、0.13。

(4)模具間隙。文中取模具間隙水平為1.05、1.1、1.15 mm。

1.3 正交表的選取及U形件成形正交試驗結果

由于文中設有4個因子，而每個因子有3個水平，為了節(jié)省試驗次數(shù)，一般應盡量選用較少次數(shù)正交表，現(xiàn)在選取L9 (34)。將上述試驗參數(shù)代入正交表可得試驗方案表如表3所示[8－9]。

表3 試驗方案及試驗結果分析表

1.4 試驗方案數(shù)據模擬

將表3中試驗方案代入Dynaform 中以回彈角度y為響應因子進行回彈分析(如圖3所示)，可得試驗回彈結果如圖6所示。

圖6 回彈分析圖

2 基于徑向基函數(shù)代理模型建立及優(yōu)化

徑向基函數(shù)模型方法就是尋找f(x)，x∈Rn來近似n維變量實值函數(shù)F(x)，用φ(r)作為函數(shù)f(x)的基函數(shù)，φ(r)由x與每一個數(shù)據點xi徑向距離r 決定，其基本思想是:首先確定一組樣本點x=(x1，x2，…，xm)(i=1，2，…，m)，然后以這些樣本點為中心，以徑向基函數(shù)為基函數(shù)，通過這些函數(shù)的線性疊加來計算待測x 處的響應值。通過歐氏距離，徑向基函數(shù)可以很容易地把一個多維問題轉化成為歐式距離自變量的一維問題[10]。

徑向基函數(shù)的基本形式如下:

式(1)中:ri=‖x－xi‖是x與第i個采樣點xi在設計空間的距離，φ(·)為基函數(shù)，‖·‖為歐氏范數(shù)，c為非負常數(shù)，β為距離基函數(shù)φ(·)的加權系數(shù)。由于一般情況下任何函數(shù)都可以表示成一組基函數(shù)的加權和，所以可以實現(xiàn)從輸入樣本到基函數(shù)輸出之間的一種非線性映射[11]。

徑向基近似模型一般可表達如下:

用式(2)作為預測模型時，它要滿足如下的插值條件:

將式(3)代回式(2)，令rij=‖xi－xj‖(i，j=1，2，…，m)可以得到方程組:

文中用到的核函數(shù)多為二次函數(shù)，如下式所示:

式中:c是給定的大于零的常數(shù)參數(shù)，取核函數(shù)在c=1時的函數(shù)。

由式(4)、式(6)及表3可得:

式(4)在樣本點不重合、且函數(shù)φ(r)為正定函數(shù)時存在唯一解，即:

所以由上可得徑向基函數(shù)，利用MATLAB 中fmincon函數(shù)x優(yōu)化計算，各參數(shù)取值范圍為:1 ＜A ＜4，1 ＜B ＜4，0.11 ＜C ＜0.13，1.05 ＜D ＜1.15，可得優(yōu)化參數(shù):

A=2.885 6 m/s，B=3.044 2 kN，C=0.130 0，D=1.050 0 mm，y=1.172 9°

3 Dynaform 回彈的數(shù)值模擬驗證

將優(yōu)化參數(shù)A=2.885 6 m/s，B=3.044 2 kN，C=0.130 0，D=1.050 0 mm，y=1.172 9°，代入模型進行模擬仿真，測量回彈角y=1.28°，誤差率為9.3%。

4 結束語

首先確定回彈角為響應因子，以壓邊力、沖壓速度、摩擦因數(shù)、凸凹模間隙為影響因子，進行正交試驗方案設計;然后利用Dynaform軟件進行回彈模擬，得出不同試驗方案的回彈角;用徑向基函數(shù)建立代理模型，經MATLAB 中fmincon函數(shù)優(yōu)化分析得出了優(yōu)化的影響因子值及回彈角，然后將優(yōu)化后的影響因子代入模型進行模擬，驗證了文中介紹的方法的可行性。

【1】楊逢瑜，婁磊，王順，等.基于改進的徑向基函數(shù)神經網絡混合控制在電液伺服系統(tǒng)中的應用[J].機床與液壓，2009，37(9):187－189.

【2】吳宗敏.散亂數(shù)據擬合的模型、方法和理論[M].北京:科學出版社，2007.

【3】WANG Liping，BEESON Don，WIGGS Gene.A Comparison of Meta-modelling Methods Using Practical Industry Requirements[C]//AIAA 2006－1811.

【4】陸爽，侯躍謙.基于PCA 和徑向基函數(shù)神經網絡的滾動軸承故障模式的識別[J].機床與液壓，2005(3):185－188.

【5】王征.一種新型徑向基函數(shù)神經網絡在模型辨識方面的應用[J].機床與液壓，2005(12):130－131，51.

【6】徐雅東.U形件彎曲回彈預測及優(yōu)化方法研究[D].天津:天津理工大學，2008.

【7】余國慶，魯世紅.板料彎曲回彈的有限元模擬影響因素研究[J].模具工業(yè)，2004(12):7－11.

【8】李學光，王惠偉，張樹仁，等.基于正交試驗法的切削參數(shù)優(yōu)化研究[J].機床與液壓，2011，39(8):17－19.

【9】黑學艷，郭津津，徐雅冬.正交試驗法在U形件回彈數(shù)值模擬中的應用[J].機床與液壓，2009，37(4):128－130.

【10】MCDONALD Dale B，GRANTHAM Walter J，TABOR Wayne L，et al.Global and Local Optimization Using Radial Basis Function Response Surface Models[J].Applied Mathematical Modelling，2007，31 (10):2095－2110.

【11】安治國.徑向基函數(shù)模型在板料成形工藝多目標優(yōu)化設計中的應用[D].重慶:重慶大學，2009.