移動(dòng)平均模型的經(jīng)驗(yàn)歐氏似然推斷*

容健榮

（廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西桂林541004）

0 引言

移動(dòng)平均模型是自回歸移動(dòng)平均模型的一個(gè)特例,而自回歸移動(dòng)平均模型是時(shí)間序列分析的一個(gè)重要模型。研究移動(dòng)平均模型可為日后自回歸移動(dòng)平均模型的研究帶來一定的借鑒。

經(jīng)驗(yàn)似然方法是由Owen 在文獻(xiàn)[1]中提出的一種非參數(shù)推斷方法。由于它擁有類似于重抽樣方法的優(yōu)點(diǎn),吸引了一大批學(xué)者投身于經(jīng)驗(yàn)似然方法的研究。Li 等人在文獻(xiàn)[2]中利用了經(jīng)驗(yàn)似然方法對(duì)移動(dòng)平均模型進(jìn)行研究。但是經(jīng)驗(yàn)似然方法在求解過程中會(huì)出現(xiàn)沒有顯式解的情況，而且計(jì)算比較復(fù)雜。為了應(yīng)對(duì)這些問題,Ow?en 在文獻(xiàn)[3]中提及了使用經(jīng)驗(yàn)歐氏似然來替代經(jīng)驗(yàn)似然。羅旭在文獻(xiàn)[4]中系統(tǒng)地研究了經(jīng)驗(yàn)歐氏似然,發(fā)現(xiàn)了經(jīng)驗(yàn)歐氏似然方法使得在一些場合下,其解擁有顯式表達(dá)式,由此降低了計(jì)算上的復(fù)雜性,而且經(jīng)驗(yàn)歐氏似然方法也同樣擁有類似于經(jīng)驗(yàn)似然方法的漸近性質(zhì)。基于此，本文通過經(jīng)驗(yàn)歐氏似然方法來研究移動(dòng)平均模型。

1 主要結(jié)果和證明

考慮下面的移動(dòng)平均模型：

其中q是模型的階數(shù),而且q是一個(gè)正整數(shù),β1,…,βq是模型的參數(shù)。{?t}是一個(gè)獨(dú)立同分布并且具有非退化密度函數(shù)的序列,它們的均值為0,方差為σ2。令yn=(x1,…,xn)′,其中{xt}是來自模型(1)的觀測值。記β0=1,β=(β1,…,βq)′,θ=(β′,σ2)′=(θ1,…,θq+1)′。 能 夠 計(jì) 算 出E(yn) =0,Σn=Cov(yn) =(Cov(xi,xj))n×n,其中

yn的擬對(duì)數(shù)似然函數(shù)(省略常數(shù)項(xiàng))

對(duì)似然函數(shù)求偏導(dǎo)可得

令上述偏導(dǎo)數(shù)等于0, 我們獲得以下估計(jì)方程：

令?(n)=(?1-q,?2-q,…,?n)′,β(i)=(0,…,0,βq,…,β0,0,…,0)′,其中βq是β(i)的第i部分。則xi=,1≤i≤n,可得

我們用bki,j表示矩陣Bk,n的(i,j)元素。并且規(guī)定，當(dāng)求和的上標(biāo)小于1 時(shí)，我們令該和為0。為了處理(3)式中的二次型形式，需要引入文獻(xiàn)[5]中介紹的鞅差序列。

定義σ-域:F0={φ,Ω},Fi=σ(?1-q,?2-q,…,?i),1-q≤i≤n。令

則Fi-1?Fi,eik,n是Fi-可測的，并且E(eik,n|Fi-1)=0。因此{(lán)eik,n,Fi,1-q≤i≤n}構(gòu)成一個(gè)鞅差序列，且

令

通過ωi(θ),我們提出θ的經(jīng)驗(yàn)歐氏似然比統(tǒng)計(jì)量

其中pi滿足

在本文中，記μ4=E?4t。用Vec(diag(A))表示由矩陣A的主對(duì)角線上的元素構(gòu)成的列向量。令ΣSn=2σ4C1+(μ4-3σ4)C2, 其 中C1=(C1i,j),C1i,j=tr(Bin Bjn), 和C2=(C2i,j),C2i,j=(Vec(diag(Bin)))′×(Vec(diag(Bjn)))。為了獲得經(jīng)驗(yàn)歐氏似然比統(tǒng)計(jì)量的漸近分布，需要給出以下假設(shè)條件：

(A1){?i,1-q≤i≤n}是均值為0,方差有限的獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列,且存在δ＞0,使E|?i|4+δ＜∞。

(A3)存在常數(shù)c＞0 使ηmin((n+q)-1ΣSn) ≥c,其中ηmin(A)表示矩陣A的最小特征值。

(A4)移動(dòng)平均模型的移動(dòng)平均系數(shù)多項(xiàng)式方程的根在單位圓外。

引理1在(A1)～(A3)假設(shè)條件下，當(dāng)n→∞時(shí),有

見文獻(xiàn)[2]的引理3。

定理1在(A1)～(A3)假設(shè)條件下，當(dāng)n→∞時(shí),有

其中表示自由度為q+1 的卡方分布。

證明：利用拉格朗日乘數(shù)法給出ln(θ)的表達(dá)式,為此取

其中γ∈R,λ∈Rq+1是拉格朗日乘數(shù)。對(duì)(6)式求關(guān)于pi的偏導(dǎo)數(shù)并令為零,即?G/?pi=0,得

在(7)式兩邊對(duì)i從1-q到n求和,得

上式化簡可得

由(8)～(10),得

由引理1, 得

由此完成了定理1 的證明。