基于多源遷移學(xué)習(xí)的變位姿刀尖點模態(tài)參數(shù)預(yù)測*

沈澤東，劉 旭，陳耿祥，陳 璐

（1. 南京工業(yè)大學(xué)，南京 210009；2. 南京航空航天大學(xué)，南京 210016）

高速切削加工是集高效、優(yōu)質(zhì)、低耗于一體的先進(jìn)制造技術(shù)，在航空航天領(lǐng)域中被廣泛應(yīng)用。但是由于高速機床結(jié)構(gòu)、刀具系統(tǒng)構(gòu)成、工件材料特性、切削參數(shù)選用和加工環(huán)境狀況等原因，極易在加工過程中引發(fā)顫振，影響零件表面加工質(zhì)量、降低材料去除率、加劇刀具磨損[1]。目前學(xué)術(shù)界及工業(yè)界最廣泛使用的顫振抑制方法是基于穩(wěn)定性葉瓣圖選取無顫振加工參數(shù)[1–2]。而加工刀具的刀尖點模態(tài)參數(shù)是構(gòu)建穩(wěn)定性葉瓣圖的重要輸入[3–4]。刀尖點模態(tài)參數(shù)與機床結(jié)構(gòu)密切相關(guān)，在加工過程中隨刀具位姿變化而發(fā)生改變[5–6]。因此，準(zhǔn)確獲得隨位姿變化的刀尖點模態(tài)參數(shù)是構(gòu)建穩(wěn)定性葉瓣圖的重要前提[7]。

目前，獲得刀尖點模態(tài)參數(shù)最為可靠的方法是錘擊試驗[1]，通過沖擊錘敲擊刀具尖端，同時用傳感器收集響應(yīng)信號，然后基于沖擊力和響應(yīng)數(shù)據(jù)，利用模態(tài)參數(shù)識別方法辨識出刀尖點的模態(tài)參數(shù)，其準(zhǔn)確性高。但是測量刀具全工作空間下的刀尖點模態(tài)參數(shù)時，錘擊試驗工作量大且需要停機測量，成本高、效率低?，F(xiàn)有的刀尖點模態(tài)參數(shù)預(yù)測方法主要有響應(yīng)耦合子結(jié)構(gòu)分析法（Receptance coupling substructure analysis，RCSA）和基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法。

RCSA 方法將機床劃分成多個子結(jié)構(gòu)，通過耦合各結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)函數(shù)（Frequency response function，F(xiàn)RF）來計算機床刀尖點的模態(tài)參數(shù)。Schmitz 等[8]將機床分成刀具伸出部分和機床剩余部分，通過計算和錘擊試驗分別獲取兩部分的頻響函數(shù)，最后通過單點彈簧阻尼模型進(jìn)行耦合。Movahhedy 等[9]提出一種子結(jié)構(gòu)之間的連接模型，避免了主軸–刀柄系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)動態(tài)特性的測量難題。為了解決更換刀具導(dǎo)致的重復(fù)測量問題，Duncan[10]和Schmitz[11]等又將機床進(jìn)一步劃分為刀具、外露刀柄與刀柄底座、主軸3 個部分。Kivanc 等[12–13]將刀具劃分為刀桿和刀刃兩個子結(jié)構(gòu)，然后參考刀刃部分的實際幾何特性，搭建了較精確的刀具頻率響應(yīng)函數(shù)模型。zsahin 等[14]將非對稱刀具劃分成許多具有相同慣性矩的小單元，計算了各單元的慣性矩，隨后計算每個單元的頻響函數(shù)，最后耦合得到整個刀具頻率響應(yīng)函數(shù)。Ertürk 等[15–16]也進(jìn)一步研究了主軸、刀柄和刀具的幾何參數(shù)對整個機床系統(tǒng)頻響函數(shù)的影響。朱堅民等[17]則將機床分成主軸–刀柄–部分刀桿、其余部分刀桿及刀刃，計算得出刀柄的頻響函數(shù)，通過錘擊試驗和逆RCSA 方法得出主軸–刀柄–部分刀桿的頻響函數(shù)，最后剛性耦合得到刀尖點頻響函數(shù)。子結(jié)構(gòu)之間的連接處的動力學(xué)特性也是影響RCSA 方法精度的一個主要因素，Duncan[10]和Schmitz[11]等使用單點彈簧阻尼模型作為連接狀態(tài)模型，并使用非線性優(yōu)化算法對連接處的動力學(xué)特性進(jìn)行求解。王二化[18]和王軍[19]等也采用了類似的求解方法。閆蓉等[20]通過在刀柄和刀具結(jié)合面上均勻布置多點彈簧阻尼連接來模擬連接處動力學(xué)特性，然后通過遺傳算法對連接處的連接參數(shù)進(jìn)行了求解。目前大部分的研究致力于提高RCSA 方法的準(zhǔn)確性[21]。

近年來，遷移學(xué)習(xí)在機器學(xué)習(xí)領(lǐng)域中被廣泛關(guān)注，可從已有任務(wù)的大量訓(xùn)練數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)有用的知識來提升只有少量訓(xùn)練數(shù)據(jù)的相似預(yù)測任務(wù)的學(xué)習(xí)性能，以此來避免機械重復(fù)且耗時的數(shù)據(jù)采集[22]。Liu 等[23]通過試驗發(fā)現(xiàn)，不同刀具隨位姿變化的刀尖點模態(tài)參數(shù)間存在一定的相似性，進(jìn)而利用遷移學(xué)習(xí)算法進(jìn)行刀尖點模態(tài)參數(shù)預(yù)測，避免了RCSA 方法中連接參數(shù)不準(zhǔn)確帶來的影響，但是作者僅考慮遷移一把源刀具模態(tài)參數(shù)數(shù)據(jù)，當(dāng)源刀具和目標(biāo)刀具的相似性較低時，預(yù)測的效果有限。

本文提出一種基于多源遷移學(xué)習(xí)的刀尖點模態(tài)參數(shù)預(yù)測方法，使得新刀具預(yù)測模型可以從多把源刀具數(shù)據(jù)中獲取相似性更強的知識。當(dāng)更換新刀具后，僅需通過錘擊試驗獲取少量位姿下的刀尖點模態(tài)參數(shù)，再利用已有多把刀具的刀尖點模態(tài)參數(shù)數(shù)據(jù)進(jìn)行多源遷移，便可得到新刀具的刀尖點模態(tài)參數(shù)預(yù)測模型。

1 基于多源遷移學(xué)習(xí)的刀尖點模態(tài)參數(shù)預(yù)測

1.1 刀尖點模態(tài)參數(shù)預(yù)測問題建模

本文所用的一些符號和定義如下。

用X表示輸入空間，即機床的整個工作空間。對于xi∈X，xi={x1i，x2i，x3i，x4i，x5i}，表示第i個輸入數(shù)據(jù)，其中，x1i、x2i、x3i為五軸機床的3 個平動軸坐標(biāo)；x4i、x5i為機床的兩個回轉(zhuǎn)軸的坐標(biāo)；XSp和XT分別表示第p個源刀具和目標(biāo)刀具的輸入空間。

用Y表示由刀尖點模態(tài)參數(shù)組成的標(biāo)簽空間。對于yi∈Y，yi={wi，ξi，Ki}，表示xi位姿下的刀尖點模態(tài)參數(shù)，其中，wi代表固有頻率；ξi代表阻尼比；Ki代表剛度；YSp和YT分別代表XSp和XT對應(yīng)的標(biāo)簽空間。

f（x）表示xi∈X和f（xi）∈Y之間的刀尖點模態(tài)參數(shù)預(yù)測函數(shù)。fSp（X）和fT（X）分別代表第p個源刀具和目標(biāo)刀具的預(yù)測模型。

多個源域數(shù)據(jù)集，即多把源刀具的刀尖點模態(tài)參數(shù)數(shù)據(jù)，表示為DS={DS1，…，DSp}，其中，p為源刀具個數(shù)。對于每個源域，有DSp={（xiSp，yiSp）}，其中xiSp∈XSp，yiSp∈YSp，且i=1，2，…，nSp，nSp為第p個源域中的數(shù)據(jù)個數(shù)。

目標(biāo)域數(shù)據(jù)集，即少量的目標(biāo)刀具的刀尖點模態(tài)參數(shù)數(shù)據(jù)，表示為DT={（xiT，yiT）}，其中，xiT∈XT，yiT∈YT，且i=1，2，…，nT，nT為目標(biāo)域中的數(shù)據(jù)個數(shù)，其遠(yuǎn)小于源域的訓(xùn)練數(shù)據(jù)個數(shù)，即nT<

本文所提方法旨在利用可獲得的多個源域數(shù)據(jù)集DS={DS1，…，DSp}來幫助僅有少量數(shù)據(jù)的目標(biāo)域數(shù)據(jù)集DT建立準(zhǔn)確的刀尖點模態(tài)參數(shù)預(yù)測模型fT（X）。

1.2 基于多源遷移學(xué)習(xí)的刀尖點模態(tài)參數(shù)預(yù)測

由于不同刀具間的刀尖點模態(tài)參數(shù)相似性不同，為了更好地實現(xiàn)目標(biāo)刀具模態(tài)參數(shù)預(yù)測，本文引入一種基于高斯過程回歸的多源遷移學(xué)習(xí)方法，可以評估不同源刀具和目標(biāo)刀具之間的相似性。在具體介紹該方法之前，首先闡述其所用到的遷移核函數(shù)。

1.2.1 基于高斯過程回歸的遷移核函數(shù)

高斯過程回歸是一種常見的機器學(xué)習(xí)算法，可直接學(xué)習(xí)訓(xùn)練數(shù)據(jù)和測試數(shù)據(jù)輸出之間的關(guān)系，并且可以給出預(yù)測值的方差，廣泛應(yīng)用于工程領(lǐng)域。高斯過程回歸對一維數(shù)據(jù)的建模效果如圖1 所示。刀尖點模態(tài)參數(shù)的采集依賴于傳感器測量及模態(tài)參數(shù)識別，數(shù)據(jù)處理易引起多種不確定度，因此高斯過程回歸更加適用于本文的測量方差大而預(yù)測精度要求高的刀尖點模態(tài)參數(shù)預(yù)測問題。

圖1 高斯過程回歸Fig.1 Gaussian process regression

式中，N表示高斯分布；I為單位矩陣；σn為訓(xùn)練數(shù)據(jù)噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差。

可以看出，高斯過程給出了預(yù)測的正態(tài)分布，在此認(rèn)為均值便是相應(yīng)的預(yù)測值。其中，K矩陣中的元素由核函數(shù)κ（·，·）確定，即

常見的核函數(shù)有線性核函數(shù)、多項式核函數(shù)和高斯核函數(shù)等。在遷移學(xué)習(xí)任務(wù)過程中，需要從源域中提取相似的可重用的信息至目標(biāo)域，因此在目標(biāo)建模過程中，首先要衡量源域數(shù)據(jù)對于目標(biāo)域模型訓(xùn)練的價值。由于核矩陣中的核函數(shù)能夠描述數(shù)據(jù)之間的相關(guān)關(guān)系，因此可通過設(shè)計核函數(shù)來實現(xiàn)對數(shù)據(jù)價值的衡量。

Pan 等[24]提出一種遷移核函數(shù)，用于衡量源域和目標(biāo)域之間的相似性，即

式中，λ為描述源域與目標(biāo)域間相似性的衡量指數(shù)，可通過構(gòu)造先驗分布求解，也可以通過共軛梯度下降等優(yōu)化方法求解。

基于遷移核函數(shù)，可定義同時包括目標(biāo)數(shù)據(jù)和源數(shù)據(jù)的核矩陣，矩陣的維度為源數(shù)據(jù)和目標(biāo)數(shù)據(jù)的尺寸和，由于核矩陣要保證半正定性質(zhì)，因此根據(jù)目標(biāo)數(shù)據(jù)和源數(shù)據(jù)的數(shù)量將矩陣分為分塊矩陣，即

式中，K11為刀尖點模態(tài)參數(shù)源數(shù)據(jù)與源數(shù)據(jù)間的核矩陣；K12為刀尖點模態(tài)參數(shù)源數(shù)據(jù)與目標(biāo)數(shù)據(jù)間的核矩陣；K21為刀尖點模態(tài)參數(shù)目標(biāo)數(shù)據(jù)與源數(shù)據(jù)間的核矩陣；K22為刀尖點模態(tài)參數(shù)目標(biāo)數(shù)據(jù)與目標(biāo)數(shù)據(jù)間的核矩陣。

為了保證核矩陣的半正定性質(zhì)，遷移核也應(yīng)當(dāng)對稱使用。因此考慮核矩陣K12及其所定義的遷移核函數(shù)，此時核矩陣表示為

1.2.2 基于遷移核函數(shù)的多源遷移學(xué)習(xí)方法

為了更好地將多把刀具中的模態(tài)參數(shù)數(shù)據(jù)用于目標(biāo)刀具建模，本文采用Wei 等[25]提出的一種基于高斯過程回歸的多源遷移學(xué)習(xí)算法用于刀尖點模態(tài)參數(shù)預(yù)測。首先在每一組源刀具數(shù)據(jù){XSp，YSp}和目標(biāo)刀具數(shù)據(jù){XT，YT}上利用遷移核函數(shù)得到單源遷移模型f（Sp，T）（x，Ωp，λp）；然后通過相似性系數(shù)λp對每個單源遷移模型加權(quán)得到目標(biāo)刀具刀尖點模態(tài)參數(shù)預(yù)測模型，即

式中，Ωp和λp為單源遷移模型中的參數(shù)；g（λp）建立相似性系數(shù)λp和模型權(quán)重系數(shù)之間的關(guān)系。考慮到源域之間的依賴性，多個單源遷移模型同時訓(xùn)練。目標(biāo)函數(shù)為

式中，fT(xiT)為目標(biāo)刀具模態(tài)參數(shù)預(yù)測模型對目標(biāo)數(shù)據(jù)xiT的預(yù)測值；yiT為xiT相應(yīng)的測量值。最終通過共軛梯度方法最小化目標(biāo)函數(shù)求解模型中的參數(shù)。

因此刀尖點模態(tài)參數(shù)多源遷移學(xué)習(xí)過程可分為以下步驟： （1）獲取多組源數(shù)據(jù)以及目標(biāo)數(shù)據(jù)； （2）基于上文定義的遷移核函數(shù)及高斯過程回歸，建立單把源刀具至目標(biāo)刀具的初始遷移模型； （3）利用多源遷移學(xué)習(xí)方法集成上述多組初始遷移模型，通過共軛梯度法優(yōu)化模型相似性系數(shù)及模型權(quán)重； （4）對于待預(yù)測位姿，利用加權(quán)多源遷移模型求解刀尖點模態(tài)參數(shù)預(yù)測結(jié)果。

刀尖點模態(tài)參數(shù)包括固有頻率、阻尼比及剛度，當(dāng)?shù)都忸l率響應(yīng)函數(shù)為多自由度時，待預(yù)測標(biāo)簽為一組向量，本文所提高斯過程回歸對向量中每個維度的元素預(yù)測均采用相同處理，因此本文方法適用于多自由度多模態(tài)參數(shù)同時預(yù)測。

2 試驗驗證

為驗證本文所提算法的有效性，選取一臺五坐標(biāo)加工中心開展試驗驗證。加工中心具有X、Y、Z3 個平動軸和A、C兩個回轉(zhuǎn)軸，在實際銑削加工中，由于零件復(fù)雜的幾何變化導(dǎo)致加工過程中各軸位姿發(fā)生劇烈變化，因此需要對變位姿情況下的刀尖點模態(tài)參數(shù)進(jìn)行建模，通過前期仿真及試驗分析發(fā)現(xiàn)，X、Y、Z3 個平動軸對刀尖點模態(tài)參數(shù)的影響較小，而A/C擺頭的位姿變化會導(dǎo)致固有頻率和模態(tài)剛度發(fā)生劇烈變化，因此本節(jié)重點關(guān)注A軸、C軸擺角變化下的刀尖點模態(tài)參數(shù)預(yù)測問題，對于其他類型的機床，方法通用。對于本文驗證，特征變量具體定義為，其中A軸的旋轉(zhuǎn)范圍是x1i∈[–90°，90°]，C軸的旋轉(zhuǎn)范圍是x2i∈[0°，360°]。

試驗用機床常用于加工飛機結(jié)構(gòu)件，所涉及刀具規(guī)格、材料、尺寸較廣，本文選取精加工中最常用的刀具尺寸，T1、T2、T3、T4刀具各一把，同時為驗證相似規(guī)格材料情況下刀具材質(zhì)對遷移效果的影響，本試驗中T1及T4為硬質(zhì)合金刀具，T2及T3為高速鋼刀具。由于刀具伸出長度影響刀具子結(jié)構(gòu)的動力學(xué)性能，從而對模態(tài)參數(shù)產(chǎn)生影響，因此本文所有試驗中保證伸出長度的數(shù)值固定，試驗所需的刀具具體信息如表1 所示。

表1 試驗刀具Table 1 Test tools

2.1 數(shù)據(jù)集建立

本案例驗證選取T2、T3和T43 把刀具的變位姿刀尖點模態(tài)參數(shù)數(shù)據(jù)作為3 個源數(shù)據(jù)集，選取刀具上的少量變位姿作為目標(biāo)數(shù)據(jù)，同時在刀具上大量采集模態(tài)參數(shù)數(shù)據(jù)作為算法驗證所用的測試數(shù)據(jù)。

為體現(xiàn)不同源域的差異性，多組源域模態(tài)參數(shù)的采集過程中對機床回轉(zhuǎn)軸的離散方式不同，對于刀具T3與T4，將A軸從–90° ～10°以10°的步距角離散，將C軸從0° ～30°以30°的步距角離散，因此刀具T3與T4分別在247 組位姿下采集了頻響函數(shù)數(shù)據(jù)；對于刀具T2，將A軸從– 90° ～90°以10°的步距角離散，將C軸從0° ～360°以20°的步距角離散，得到這把刀具的361 組位姿下的頻響函數(shù)數(shù)據(jù)。錘擊試驗具體過程如圖2 所示，激振力的方向應(yīng)始終垂直于A軸和刀具方向，同時在相對側(cè)用加速度傳感器收集響應(yīng)信號，激勵和振動信號由數(shù)據(jù)采集單元分析，每個位姿的最終模態(tài)參數(shù)是5次重復(fù)錘擊試驗的平均值。使用有理分?jǐn)?shù)多項式的方法[26]，可以根據(jù)試驗測得的頻率響應(yīng)函數(shù)識別得到刀架組件的固有頻率、模態(tài)剛度以及阻尼比。

圖2 五軸試驗平臺Fig.2 Five-axis test platform

本文所提方法在源刀具訓(xùn)練數(shù)據(jù)足夠的情況下，只要獲取小部分的目標(biāo)刀具數(shù)據(jù)就能夠訓(xùn)練得到目標(biāo)刀具預(yù)測模型。然而，多源遷移學(xué)習(xí)的預(yù)測效果依賴于目標(biāo)數(shù)據(jù)的數(shù)量及具體分布，當(dāng)目標(biāo)數(shù)據(jù)數(shù)量不足以描述各域之間的領(lǐng)域偏差時，僅能實現(xiàn)試驗?zāi)繕?biāo)數(shù)據(jù)局部位置的分布適配，從而引起負(fù)遷移，而目標(biāo)數(shù)據(jù)的數(shù)量過多時，遷移學(xué)習(xí)本身便失去了意義。其次目標(biāo)數(shù)據(jù)的分布也對遷移學(xué)習(xí)效果有很大影響，應(yīng)盡可能表示目標(biāo)域的數(shù)據(jù)分布，因此本試驗首先考慮目標(biāo)數(shù)據(jù)與源數(shù)據(jù)的實例空間邊界重合，同時目標(biāo)數(shù)據(jù)應(yīng)在工作空間內(nèi)分布均勻。根據(jù)以上準(zhǔn)則共確定了10 個位姿，如表2 所示。根據(jù)這10 個位姿來進(jìn)行錘擊試驗，獲取目標(biāo)數(shù)據(jù)。

表2 構(gòu)建目標(biāo)數(shù)據(jù)的關(guān)鍵位姿Table 2 Construct the key poses of target data

2.2 試驗驗證結(jié)果

在獲得DS和DT后，根據(jù)上文介紹的方法訓(xùn)練目標(biāo)刀具的刀尖模態(tài)預(yù)測模型。最終得到刀具T1的固有頻率、模態(tài)剛度和阻尼比的預(yù)測模型，如圖3 所示。

圖3 目標(biāo)刀具刀尖點模態(tài)參數(shù)預(yù)測模型Fig.3 Prediction model of tool point modal parameters of target tool

用均方根誤差（Root mean square error，RMSE）和平均相對誤差（Mean relative error，MAE）來衡量所提方法得到的模態(tài)參數(shù)預(yù)測模型的準(zhǔn)確性，RMSE 和MAE 分別被定義為

式中，yipred和yitest分別是第i個位姿下預(yù)測和測量的刀尖點模態(tài)參數(shù)，包括固有頻率、剛度和阻尼比；N是測試數(shù)據(jù)集的大小，N=247。根據(jù)式 （8）和 （9）可計算得到目標(biāo)刀具模態(tài)參數(shù)預(yù)測模型的預(yù)測誤差，如表3 所示，預(yù)測精度表明本文所提方法是有效的。

表3 目標(biāo)刀具刀尖點模態(tài)參數(shù)預(yù)測模型精度Table 3 Prediction model accuracy of tool point modal parameters of target tool

2.3 與機理模型進(jìn)行對比

為進(jìn)一步分析，將所提方法與Deng 等[27]提出的基于RCSA 的方法進(jìn)行比較。該方法首先通過測量主軸在少量位姿的頻響函數(shù)，建立Kriging 預(yù)測模型，然后基于RCSA 生成刀尖的頻響函數(shù)。對于目標(biāo)刀具，通過在位姿A=0°，C=0°下進(jìn)行錘擊試驗，并利用Mehrpouya等[28]提出的逆響應(yīng)耦合（IRC）方法計算關(guān)節(jié)頻響函數(shù)矩陣，然后利用關(guān)節(jié)頻響函數(shù)矩陣和該位姿的刀架頻響函數(shù)計算其刀尖點頻響函數(shù)。本節(jié)分別在A=10°C=0°、A=30°C=0°、A=50°C=0°和A=80°C=0° 4 組刀具位姿下與Deng 等[27]的方法進(jìn)行比較，模態(tài)參數(shù)預(yù)測精度如表4 所示 （括號中的數(shù)值表示預(yù)測值與測量值的相對誤差）。

將本文方法、RCSA 方法[27]、錘擊試驗測量法進(jìn)行對比，如圖4 所示。從預(yù)測精度及頻響函數(shù)曲線可以看出，在位姿A=10°、C=0°下，本文方法和對比方法的預(yù)測結(jié)果均接近于測量值，但在其余3 個位姿下本文方法優(yōu)于對比方法，尤其是在位姿A=50°、C=0°和A=80°、C=0°下，對比方法所得結(jié)果與測量值有明顯偏差。這是因為Deng 等[27]的方法中，關(guān)節(jié)頻響函數(shù)矩陣在位姿A=0°、C=0°下計算所得，因此當(dāng)目標(biāo)刀具的測試位姿接近于A=0°、C=0°時，其結(jié)果準(zhǔn)確；當(dāng)位姿差異較大時，該方法的預(yù)測效果較差。綜上所述，本文方法對于變位姿下的模態(tài)參數(shù)預(yù)測效果更加準(zhǔn)確。

圖4 不同刀具位姿下頻率響應(yīng)函數(shù)對比Fig.4 Comparison of frequency response functions under different tool poses

3 結(jié)論

本文針對刀尖點模態(tài)參數(shù)預(yù)測問題，提出一種基于多源遷移學(xué)習(xí)的刀尖點模態(tài)參數(shù)預(yù)測方法。當(dāng)更換新刀具后，僅需通過錘擊試驗獲取少量位姿下的刀尖點模態(tài)參數(shù)，再利用已有多把刀具的刀尖點模態(tài)參數(shù)數(shù)據(jù)進(jìn)行多源遷移，便可得到新刀具的刀尖點模態(tài)參數(shù)預(yù)測模型。最后，在五軸銑削機床上進(jìn)行試驗驗證，且與現(xiàn)有基于RCSA 方法試驗結(jié)果進(jìn)行對比，結(jié)果表明，本文提出的方法是有效的。