GeoGebra與幾何教學的深度融合探究

徐欣

一、數(shù)學圖形與幾何學習的基本特征

幾何學習主要是讓學生探索、認識空間幾何體的結構特征，學會對空間基本圖形的點、線、面位置關系進行判定。學生在學習幾何知識的同時，實現(xiàn)幾何空間想象能力和邏輯推理能力的形成和發(fā)展。

幾何教學一直是教師面臨的一個挑戰(zhàn)，只有讓學生深刻理解幾何位置關系，靈活應用幾何知識求解難題，才能讓他們在后續(xù)的數(shù)學學習中進入一個更高的階段。此外，幾何學習的過程既能提升學生探索和處理問題的能力，也能促進學生綜合能力發(fā)展，為后續(xù)的學習發(fā)揮重要的作用。

數(shù)學中有關幾何的教學內容，涉及了學生的空間想象力和邏輯思維能力的培養(yǎng)?！皥D形與幾何”的內容，每個部分之間相互聯(lián)系，使得幾何的教學體系是連續(xù)和完整的。

二、動態(tài)幾何軟件豐富數(shù)學幾何教學

為了滿足現(xiàn)代教學的需要和標準，《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》明確指出：合理利用信息技術提供豐富的學習資源;開發(fā)與利用數(shù)字化資源，可以實現(xiàn)課堂教學由傳統(tǒng)教育向基于數(shù)字平臺教育的轉變，實現(xiàn)優(yōu)質資源共享。隨著新課改的不斷深入以及信息技術的迅速發(fā)展，“圖形與幾何”這部分的教學，可以利用信息技術工具制作圖形來輔助教學，這樣不僅可以減輕教師的教學負擔，還可以讓圖形動起來，有利于學生發(fā)現(xiàn)圖形在運動變化中不變的數(shù)量關系與位置關系，進而得到圖形的性質，促進學生直觀感知、想象力和思維能力的發(fā)展。

動態(tài)幾何軟件如幾何畫板、GeoGebra等，功能強大、使用簡單、交互性強，能夠方便快捷地制作可視化立體圖形，完美地在動態(tài)演示中實現(xiàn)數(shù)形結合，本文主要闡述GeoGebra如何與幾何教學進行深度融合。

GeoGebra是由美國亞特蘭大大學的數(shù)學教授馬庫斯所設計的，目前技術已經相當成熟，擁有大量的演示模型案例，國外很多國家將GeoGebra的學習作為一項教師培養(yǎng)計劃中的必學課程，它是一款以國家之力推廣的重要教學軟件。

筆者通過學習和應用發(fā)現(xiàn)， GeoGebra站在數(shù)學學科發(fā)展前沿，系統(tǒng)全面地應用于數(shù)學學科教學實際的知識體系中，讓學生以富有樂趣的方式真正身臨其境地體驗數(shù)學和科學。GeoGebra可以說是數(shù)形結合的利器，能夠直觀展示數(shù)學知識中數(shù)與形的內在關系，以此提高學生數(shù)學分析與思考的能力。在實際使用中，筆者深刻體會到GeoGebra強大的動態(tài)效果，圖形運動展示的直觀性等，教師使用這個軟件，可以有效地解決在幾何教學中所面臨的問題。

三、運用GeoGebra培養(yǎng)學生幾何直觀能力

由于初中的幾何教學以實驗幾何為主，需要借助幾何直觀把繁雜的數(shù)學問題變得簡潔、具體，便于探究問題解決的路徑，最后能夠預測結論。在之前的教學內容中，六年級上學期“圓和扇形”的教學中滲透了“化曲為直”“無限逼近”的數(shù)學思想，而六年級下學期“線段與角的畫法”則是作為初中幾何學習的開始。六年級幾何學習與低年級階段的幾何學習相比，對學生來說難度是遞進的，目標要求逐步提高，像點、線比較抽象，角平分線、補角和余角、長方體等概念對學生的空間想象力、幾何直觀、邏輯推理能力有一定的要求，如何能有效地發(fā)展學生的空間想象力，如何動態(tài)展示幾何圖形的變化過程，促使學生克服一些概念性的理解困境呢？筆者嘗試在線上和線下課堂中使用GeoGebra動態(tài)數(shù)學幾何軟件，從而提高課堂效率，使學生個人自主探究幾何的變化過程變得具有可操作性。下面以六年級數(shù)學中的教學為例，談談本人是如何在線上和線下使用GeoGebra進行教學的。

1.“圓的周長”教學片段

課前，教師將不同直徑的3個圓的相關文件推送到學生的客戶端，作為研究圓的直徑與周長的關系的實驗工具。在備課初期，教研組的教師們討論過學生的學習難點，學生在測量圓的直徑，以及探索圓的直徑與周長的關系的過程中，會因為測量方法、測量工具使用不當而造成計算誤差，最終導致圓周率概念的推導不順利。所以借助GeoGebra軟件來探索圓的直徑和周長的關系是一個新的嘗試。

教師提供了三個數(shù)字資源，即使用GeoGebra繪制3個不同直徑大小的圓以及相關探究的學習單，讓學生通過小組合作發(fā)現(xiàn)圓周率較為準確的數(shù)值。

學生們從平板中打開圓1、圓2和圓3文件，拖拉綠色『×』點到直尺0cm的位置，找到直徑為1cm、2cm、3cm的圓（如圖1）;再向右拖拉圓中紅色『×』點，將紅色的圓周完全拉直，體會“化曲為直”的過程（如圖2）。以直徑為3cm的圓為例，學生發(fā)現(xiàn)直徑為3cm的圓，它的圓周是9cm多一點。此時教師需要再提醒學生放大圖形。教師可以向學生提問“如何更加精準”，引導學生思考并動手操作。隨后學生勾選“細分刻度”后，再將圖形放大。教師提問學生：“再準確一點的圓周是多少？”學生發(fā)現(xiàn)當直徑為3cm時，圓周十分接近9.425cm。每組學生把表格填寫完整后，教師展示學生的實驗結果。這個探究的過程強化了學生自身對圖形的直觀感性認識，使學生們在頭腦中形成了新的幾何表象知識。

6組學生通過GeoGebra實驗發(fā)現(xiàn)圓的周長都是直徑的3倍多一點，每個小組之間得到的結果比較接近，誤差不大。教師打開圓4文件，拖動圓中綠色『×』點到直尺0cm的位置度量直徑，并提問學生：“當圓的直徑是1.2cm時，它的圓周是多少？”學生讀取圓周拉直后的長度，教師再勾選“以直徑為度量單位”，并提問：“若直尺以直徑1.2cm為度量單位，把圓周拉直后，它的長度將會是多少？”教師拉直圓周并細分刻度，隨后提問學生：“圓周長是否為3.14cm？”得到學生否定回答后，繼續(xù)提問引導“3.14的含義”，學生回答是直徑的3.14倍。教師拖拉滑竿上的點或點擊 改變直徑的長度，再勾選“以直徑為度量單位”框，提問學生：“圓的直徑越長，圓的周長有什么變化？圓的周長除以直徑的值會有怎樣的變化？”學生回答后教師再引入圓周率的概念。

相比較過去的做法，教師讓學生畫出不同直徑大小的圓，然后用自帶的繩子繞圓一周，這樣得到的結論會因為操作不當存在很大誤差。而使用GeoGebra探究圓周率的過程并沒有因為測量的失誤導致以往出現(xiàn)圓的周長除以直徑的值是4倍多、5倍多等較大的誤差，GeoGebra化解了傳統(tǒng)教學的難題。學生通過這種幾何直觀發(fā)現(xiàn)：無論圓怎么改變，其周長與直徑的比值是固定不變的。GeoGebra實現(xiàn)了實時的數(shù)學動態(tài)演示，真正做到了課堂中學生進行自主探究。借助GeoGebra將靜態(tài)的數(shù)學知識動態(tài)地展示出來，學生有效地參與了整個探究過程。

在幾何的課堂教學中，教師需要充分關注學生們積累的表象知識，積累有效素材，鞏固和強化學生自身的直觀認識，促使他們腦中形成新的形象。

2.“尺規(guī)作圖——角的平分線”教學片段

滬教版六年級下學期第七章“線段與角的畫法”中，需要學生使用圓規(guī)和無刻度的直尺進行尺規(guī)作圖，畫出和已知線段長度相等的線段及與已知角大小相等的角。作為“圖形與幾何”領域的第一章，本章學習的是平面幾何中最基本的圖形，考慮到六年級學生需要經歷“直觀感知和操作證實”這樣的幾何學習過程。線上的幾何教學存在一定難度，但為了保證線上也能讓學生通過觀察、操作、猜想、實驗等活動獲得知識的體驗感，筆者再次借助GeoGebra來輔助教學以確保能適當增加線上實踐部分的內容，增強學生的幾何直觀和空間想象力。

求作一個角的角平分時，除了讓學生嘗試使用量角器畫出已知角的平分線之外，課本中還安排了尺規(guī)作圖的教學內容（如圖3）。運用GeoGebra作圖，圖形交點的形成過程十分清晰直觀，但GeoGebra對作圖順序有很高的要求，因此學生必須嘗試跟著教師的步驟在軟件中逐一嘗試，從而經歷每一個步驟。經歷圖形形成過程后，教師再講解作圖語言并示范，學生跟著示范步驟動手在紙上用尺規(guī)作圖。經過本次教學實踐發(fā)現(xiàn)，學生的作圖能力有了很大的提升，學生也經歷了知識內化的過程，而教師并沒有因為是線上教學而將教學演示替換成學生活動。教師引導學生學完課本知識后，再通過GeoGebra將具體的概念性作圖步驟一一實現(xiàn)，體驗真實的幾何變化場景，由此，教師也能很好地完成線上的幾何教學任務。

四、結論與思考

GeoGebra在數(shù)學幾何課堂中能起到牽線搭橋的作用，它能夠精準地展示圖形變換過程以及圖形間的直觀聯(lián)系，讓學生可以更加清楚地理解抽象的概念，有助于學生形成幾何直觀能力，提高教師的教學效率。此外，它在教師教學動點和函數(shù)問題上也能凸顯優(yōu)勢，其動態(tài)功能能讓學生更容易識別函數(shù)變化過程，體驗幾何知識從發(fā)生到發(fā)展的全過程。教師給學生的學習提供適當?shù)钠脚_，能夠幫助他們提升對幾何圖形及其概念、性質的理解。

GeoGebra可用于電腦、手機、平板等終端，使用方便、靈活。教師充分利用其優(yōu)勢進行幾何探究活動，能夠有效達成線上線下教學有機融合，實現(xiàn)數(shù)學學科的數(shù)字化轉型，真正意義上實現(xiàn)常態(tài)化教學與應用。

現(xiàn)實中部分數(shù)學教師沒有在幾何教學中選擇使用GeoGebra輔助教學，很重要的一個原因是沒有充分使用GeoGebra的線上共享資源，學校也沒有建立GeoGebra相關的資源庫，導致教師在使用該軟件進行備課時，往往需要從最基礎的幾何積件開始制作，備課費時費力。因此，應該從多角度來支持師生充分利用GeoGebra進行教與學，如學校針對該軟件開展教師學習培訓，使教師學會充分利用GeoGebra的線上共享資源等。

教育數(shù)字化不能僅僅局限于在固化的教學中使用信息化工具，更重要的是要以信息化手段對教學起到推波助瀾的作用，愿更多教師利用信息化工具設計有想法的、有創(chuàng)造性的教學活動，來達成更好的教學結果。