從重“算法”技巧向“算理”推進(jìn)

作者簡介：金紅波（1976～），女，漢族，浙江杭州人，浙江省杭州市蕭山區(qū)銀河實驗小學(xué)，研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué)。

摘? 要：文章探索了基于“單位細(xì)分”的除數(shù)是一位數(shù)商中有“0”的除法學(xué)習(xí)路徑，即通過數(shù)的組成，從高位起“一位位分，一位位商”，先用橫式表達(dá)算理，再確定豎式算法。學(xué)習(xí)路徑由以下四個任務(wù)構(gòu)成：366÷2→412÷4→653÷5→148÷6。研究表明，相比對照班學(xué)生，實驗班學(xué)生能更好地掌握商中有0的除法算理，該路徑具有可行性。并提出以下建議：引入建議直接復(fù)習(xí)橫式算理表達(dá)式；強(qiáng)化單位細(xì)分的算理模型，豎式不急于化簡；課時劃分上可以再斟酌科學(xué)合理性。

關(guān)鍵詞：算法；算理；單位細(xì)分；商中有0；學(xué)習(xí)路徑

中圖分類號：G623.5??? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A??? 文章編號：1673-8918（2024）08-0066-05

除數(shù)是一位數(shù)的筆算除法是學(xué)習(xí)除數(shù)是多位數(shù)除法的基礎(chǔ)，是整數(shù)除法算理算法學(xué)習(xí)重要的一個單元。在人教版教材中給出口算除法3課時，筆算除法7課時，估算和解決問題2課時的教學(xué)建議，其中商中有“0”筆算除法在教材中作為一個教學(xué)難點，共安排了4課時進(jìn)行分點突破。北師大版數(shù)學(xué)教材對商中有“0”的除法的類型劃分更細(xì)，設(shè)置了更多的學(xué)習(xí)任務(wù)以突破難點。這樣的編排，使得有關(guān)商中有“0”的除法復(fù)雜且瑣碎?？此圃敿?xì)，實則散亂。教師按課時講解，更多地側(cè)重每個課時內(nèi)容筆算算法的指導(dǎo)。學(xué)生所學(xué)的內(nèi)容沒有一條“藤”串連，知識碎片化，在一定程度上增加了后續(xù)知識的學(xué)習(xí)難度。如何“站在單元的高度，把散點狀的知識串聯(lián)成線，再連成片、構(gòu)成塊”？設(shè)計什么樣的學(xué)習(xí)路徑才能順應(yīng)學(xué)生認(rèn)知邏輯，滿足學(xué)生自主遷移？

為此，學(xué)校在專家引領(lǐng)下，組建了一個核心團(tuán)隊，進(jìn)行學(xué)習(xí)路徑設(shè)計研究。閱讀大量國內(nèi)專家關(guān)于單元整體教學(xué)及數(shù)與運(yùn)算一致性資料，對國內(nèi)外不同版本的教材進(jìn)行對比分析。史寧中教授提出“計數(shù)單位”是實現(xiàn)“數(shù)與運(yùn)算一致性”的抓手。鞏子坤教授進(jìn)一步提出整數(shù)除法的核心在于“計數(shù)單位的細(xì)分”，用橫式更加容易表達(dá)算理，豎式更加容易表達(dá)算法。因此，確定把除數(shù)是一位數(shù)筆算算理定位在單位細(xì)分，即“一位位分，一位位商”。這樣每一位上計數(shù)單位的個數(shù)都只要做除法想乘法，做乘法想口訣。在“單位細(xì)分”算理統(tǒng)整下，商首位有0、商末尾有0、中間有0等所謂的教學(xué)難點不再是難啃的骨頭，而只是這個通性通法之中的一個小應(yīng)用，一個課時就能把商中有0的教學(xué)難點一一化解。

基于此，我們將本單元重新組合，去掉口算，設(shè)計成單位不用轉(zhuǎn)換、需要單位轉(zhuǎn)換、商中有0這樣三節(jié)關(guān)鍵課加一節(jié)復(fù)習(xí)課。文章主要研究“商中有0”的學(xué)習(xí)路徑。具體探查以下問題：①以“單位細(xì)分”算理貫通商中有0的筆算除法的學(xué)習(xí)路徑是什么？②基于“單位細(xì)分”的商中有0的筆算除法學(xué)習(xí)路徑實施效果如何？

一、 研究設(shè)計

（一）研究對象

選取YHSY小學(xué)三年級甲、乙班作為實驗班，按照本研究設(shè)計的學(xué)習(xí)路徑教學(xué)。同時，選取同一學(xué)校平行班丙、丁班為對照班，教師按人教版教材中的課時學(xué)習(xí)路徑進(jìn)行授課。實驗前，對四個班學(xué)生進(jìn)行整十?dāng)?shù)、整百數(shù)除以一位數(shù)口算前測評估。結(jié)果表明，四個班不存在顯著差異。

（二）研究流程

圖1? 研究步驟

（三）理論支撐

1. 基于“單位細(xì)分”的除法算理

算理分成：

①單位不需要轉(zhuǎn)化。以484÷4為例，算理過程如下：

484是由4（百）8（十）4（一）組成的

4（百）÷4=1（百），8（十）÷4=2（十），4（一）÷4=1（一），

1（百）+2（十）+1（一）=121

②單位需要轉(zhuǎn)換。以48÷3為例，算理過程如下：

48是由4（十）8（一）組成的

4（十）÷3=1（十）……1（十）

1（十）=10（一）（轉(zhuǎn)化單位）10（一）+8（一）=18（一）

18（一）÷3=6（一）

1（十）+6（一）=16

這就是用橫式表達(dá)“算理”過程：“單位細(xì)分”即“一位位分，一位位商”貫穿始終。然后將算理與豎式算法進(jìn)行溝通，達(dá)到算理與算法互相融合。同時將商中間有0或商末尾有0這些所謂的計算難點也利用“一位位分、一位位商”這樣的通性通法一一破解。

2. 表征方式

在除數(shù)是一位數(shù)的除法教學(xué)中，有以下表征方式來說明算理，如表1所示。

程序表征通過運(yùn)算法則列豎式進(jìn)行整數(shù)除法運(yùn)算，如48÷4。

直觀表征利用具體物體說明運(yùn)算的合理性，如分小棒、小方塊等。

語言表征用語言描述運(yùn)算的合理性，如148÷6可以這樣描述一個百除以8不夠除，就用14個十除以6，商2寫在十位上余2個十，余下的2個十和8個一合起來是28個一除以6，商4寫在各位商，余4。

抽象表征通過推理來描述運(yùn)算的合理性，如基于“單位細(xì)分”來推演除數(shù)是一位數(shù)除法的算理。

（四）問卷及數(shù)據(jù)處理

授課后，對實驗班和對照班進(jìn)行后測練習(xí)，習(xí)題如下：

403÷3? 608÷4? 413÷8? 680÷4

①實驗班作業(yè)要求：先用橫式表達(dá)算理，再用豎式表達(dá)算法。

②對照班作業(yè)要求：直接用豎式計算，并能用文字解釋每一層余下數(shù)表示多少。

測試后對問卷進(jìn)行賦分，實驗班正確寫出橫式得1分，正確寫出豎式得1分，一題2分；對照班能正確寫出豎式得1分，文字解釋正確得1分，一題2分。滿分8分。

二、 研究路徑與分析

（一）已授課和前測

商有0的在本單元整合后是第三課時，前2個課時已把“算理”教授完畢。根據(jù)前兩堂課的后測，也就是本次授課的前測。評估分析后發(fā)現(xiàn)兩個班得分率如表2所示。

（二）初構(gòu)的學(xué)習(xí)路徑A1

1. 路徑呈現(xiàn)

圖2? 初構(gòu)的學(xué)習(xí)路徑A2

任務(wù)一：第一個環(huán)節(jié)是4道關(guān)于0的口算題，引出0；第二個環(huán)節(jié)出示人民幣：1張百元紙幣要平均分給5名學(xué)生怎么分？1張10元呢？目的是通過人民幣之間的換算，讓學(xué)生理解單位細(xì)分方法。

任務(wù)二：情景題引入新課，最高位有0的除法，重點突破百位不夠分，需要轉(zhuǎn)化成低一級單位，才能繼續(xù)分，百位沒有分成功，就在百位上商0。

任務(wù)三：自主探究商末尾有0除法。這個任務(wù)是在突破任務(wù)二的前提下討論的。

任務(wù)四：在突破最高位商0，末尾商0的前提下，舉一反三，練習(xí)商中間有0的一個例題。進(jìn)一步鞏固，當(dāng)某一位不夠分，就商0，并且將其轉(zhuǎn)化成低一級單位繼續(xù)分。

2. 存在問題

分析學(xué)習(xí)單完成情況，結(jié)果顯示只有部分學(xué)生會把橫式算理和豎式算法融合起來，即：橫式是分幾步，豎式就有幾層。在后測錯誤情況分析中，常見錯誤如下：其一，最高位不夠分單位需要轉(zhuǎn)化的橫式表達(dá)學(xué)生書寫時會漏掉百位分的過程。其二，百位（最高位）不夠商1時，學(xué)生筆算會把百位和十位合并分的結(jié)果寫在百位上，如圖3所示；其三個位（末尾）不夠商1，學(xué)生會出現(xiàn)無商的現(xiàn)象，如圖4所示。

針對以上錯誤情況，分析初構(gòu)的學(xué)習(xí)路徑A1存在以下問題：

①任務(wù)一復(fù)習(xí)回顧未凸顯“單位細(xì)分”用橫式表達(dá)算理的重要性。導(dǎo)致新授課學(xué)生橫式算理的書寫推進(jìn)緩慢。

②例題選擇和順序不利于算理推進(jìn)，無形中給教學(xué)帶來了羈絆。

初構(gòu)路徑A1：商首位有0→商末尾有0→商中間有0

例題選?。?48÷6→245÷8→208÷2→216÷2

③過于強(qiáng)調(diào)筆算化簡方法，算理和算法一致性沒有得到很好的體現(xiàn)，導(dǎo)致學(xué)生不能把橫式算理和豎式算法一一對應(yīng)，融為一體。

3. 改進(jìn)建議

（1）去掉情景引入，凸顯“單位細(xì)分”算理過程

其一：任務(wù)一去掉口算引入和人民幣引入，而是直接通過一道不需要單位轉(zhuǎn)化的計算題，來復(fù)習(xí)單位細(xì)分的橫式過程并規(guī)范格式。

其二：任務(wù)二去掉情景引入，重點討論商中有0的算理過程。

（2）精選例題，調(diào)整順序

針對路徑1出現(xiàn)的問題，我們將學(xué)習(xí)路徑調(diào)整為：復(fù)習(xí)算理→商中間有0→商末尾有0→商首位有0，對應(yīng)的例題為：

366÷2→412÷4→653÷5→148÷6

（3）淡化化簡技巧，凸顯算理和算法一致性

強(qiáng)化單位細(xì)分的過程，旨在學(xué)生頭腦中建立算理和算法一一對應(yīng)的模型（圖5），不急于化簡?；唲t是熟練之后水到渠成的事情。

圖5? 凸顯算理和算法一致性

（三）優(yōu)化的學(xué)習(xí)路徑A2

1. 路徑呈現(xiàn)

圖6? 優(yōu)化的學(xué)習(xí)路徑A2

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：理解“被除數(shù)的某位不夠商1時，應(yīng)在這一位商0”的算理。與路徑A1相比，路徑A2的教學(xué)更加注重橫式算理推進(jìn)鞏固，教學(xué)環(huán)節(jié)更加簡潔。一道題復(fù)習(xí)鞏固算理，喚起回憶。新課三道題，從商中間有0開始演繹，然后是商末尾有0，最后是首位商0。如何運(yùn)用“單位細(xì)分”算理來突破商中有0的教學(xué)難點。下面將借助部分教學(xué)片段來說明。

（1）出示題目：412÷4=

師：同桌討論后完成學(xué)習(xí)單第1題用橫式記錄計算的過程。

生：安靜記錄，后交流算理。

生1：分成2步。4（百）÷4=1（百）。12（一）÷4=3（一）

師：你是怎么想的？（圖7）

圖7? 分2步作業(yè)單

生1：因為1（十）÷4除不了，那就把個位加上一起除。

生2：先把412分成4個百、1個十和2個一；然后4（百）÷4=1（百），1（十）÷4除不了商就是0（十）還余下1（十），然后1（十）=10（一）再加上個位上的2個一，就是12個（一），然后12（一）÷4=3（一）答案就是103（圖8）。

圖8? 分3步作業(yè)單

師：我們比一比分2步的學(xué)生，和分三步的學(xué)生，分三步的學(xué)生多的是哪個步驟？

生：多的是1（十）÷4不夠除，就商0還余1（十）

小結(jié)：兩步的學(xué)生其實腦子里也想到了1（十）不夠分，只是沒有把這一步寫出來。而三步的學(xué)生正好把這一步補(bǔ)上了，不夠商1，可以商0。沒有分成功的1（十）就余下來。所以這道題完整的也是3步。

（2）把橫式的過程用豎式記錄

師：小朋友會把剛才討論的三個步驟用豎式記錄下來嗎？寫在學(xué)習(xí)單對應(yīng)的方框內(nèi)。

生：安靜完成作業(yè)單。

師：展示學(xué)生作業(yè)單，說說每一層對應(yīng)的是橫式的哪一步。

師：請學(xué)生在豎式上標(biāo)出橫式分的步驟。（圖9）

圖9? 豎式作業(yè)單

這節(jié)課的重點就是突破商的某一位不夠分時，就商“0”并把余下的數(shù)轉(zhuǎn)化成小一級的計數(shù)單位。在探究新課時，選擇從商的中間有0開始，更能讓學(xué)生理解“十位不夠分的時候，必須把十位的計數(shù)單位轉(zhuǎn)化成更小的計數(shù)單位，即“1（十）÷2=0（十）……10（一），10（一）+2（一）=12（一）”不夠分的十位就寫“0”的道理。在理解橫式的基礎(chǔ)上，用豎式來表達(dá)算理，能在豎式中找到橫式的3步。

2. 路徑效果檢驗

（1）甲、乙實驗班即時教學(xué)效果檢驗

在路徑A1和路徑A2實施后，依次對甲、乙班學(xué)生進(jìn)行后測，統(tǒng)計學(xué)生班級平均分，其中乙班學(xué)生的班級平均分（6.87分）明顯高于甲班（4.80分）。通過獨立樣本t檢驗，結(jié)果顯示，甲、乙班的得分（t=2.285，p<0.05）存在顯著性差異。由此可見，路徑A2的效果優(yōu)于A1。

（2）實驗班、對照班即時后測分析

對“實驗班”“對照班”學(xué)生即時后測進(jìn)行獨立樣本t檢驗，結(jié)果顯示，（t=2.846，P＜0.05）存在顯著差異。由此可見，實驗班學(xué)習(xí)路徑與對照班學(xué)習(xí)路徑相比，實驗班的學(xué)習(xí)路徑更加有利于學(xué)生理解算理，使得橫式和豎式能夠很好地融合在一起。用橫式疏通算理，用豎式把算理和算法融會貫通。

（3）甲、乙試驗班延遲后測分析

授課結(jié)束3周后，對兩個實驗班進(jìn)行延遲后測。結(jié)果顯示，甲班得分率降低了12.82%，乙班降低了5.35%，這說明乙班學(xué)生對商中有0這一課，算理掌握更加到位，教學(xué)效果持久性更強(qiáng)。

3. 存在不足及建議

雖然優(yōu)化后的A2的學(xué)習(xí)路徑相比A1已經(jīng)有了很大的改進(jìn)，但在教學(xué)中，仍然發(fā)現(xiàn)了諸多問題。如部分學(xué)生在轉(zhuǎn)化成下一級單位時，會跳級。即：百位余下的數(shù)會轉(zhuǎn)化成幾個一，使得繼續(xù)分的過程變得非常復(fù)雜。建議在課時劃分時是否可以考慮增加一節(jié)課教學(xué)48÷5用小棒實踐操作，讓學(xué)生經(jīng)歷4（十）÷5不夠分，必須把4捆小棒全拆了和8根小棒合起來，才能分成功的體驗。然后再教學(xué)148÷6，直觀表征和抽象表征結(jié)合。第四課時重點教學(xué)商中間有0和末尾有0的除法只用抽象表征。

進(jìn)一步優(yōu)化后的學(xué)習(xí)路徑A3和路徑A2變化不大，只是完善了例題出示的形式變化，故不再詳述。

三、 研究結(jié)論與啟示

（一）研究結(jié)論

（1）在除數(shù)是一位數(shù)商中有0的除法學(xué)習(xí)路徑中，以單位細(xì)分的通性通法貫穿始終，即“一位位分，一位位商”。在教學(xué)過程中先教學(xué)商中間有0，再末尾有0，最后首位有0，把商中有0的教學(xué)難點也統(tǒng)整到了單位需要轉(zhuǎn)化和單位不需要轉(zhuǎn)化兩類算理當(dāng)中，0只是通性通法下的一個小技巧。從而實現(xiàn)數(shù)與運(yùn)算一致性的核心理念下單元整體教學(xué)的目標(biāo)。

（2）研究數(shù)據(jù)表明，借助該學(xué)習(xí)路徑，本研究中的學(xué)生能夠借助“一位位分，一位位商”理解運(yùn)算的算理，理解商0的意義，獲得較高的計算正確率。與教材中的學(xué)習(xí)路徑相比，本研究設(shè)計的學(xué)習(xí)路徑有利于學(xué)生理解除數(shù)是一位數(shù)除法筆算的算理。

（二）研究啟示

（1）學(xué)生層面：本次學(xué)習(xí)路徑的探究，對標(biāo)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》理論：核心素養(yǎng)具有整體性、一致性和階段性。要讓學(xué)生體會數(shù)和運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，形成運(yùn)算能力和推理意識。在之后的復(fù)習(xí)課中，借助“單位細(xì)分”這個算理模型遷移學(xué)習(xí)三位數(shù)除以兩位數(shù)，四位數(shù)除以兩位數(shù)，學(xué)生也能融會貫通，正確計算。學(xué)生對整數(shù)除法有了整體的、系統(tǒng)的認(rèn)識，理清了知識的來龍去脈，有助于持久記憶、深度理解和廣泛遷移。正如弗賴登塔爾所說：不要教孤立的片段，應(yīng)該教連貫的材料，因為有聯(lián)系的事物學(xué)得快，記得牢。

（2）教師層面：本次研討之后，我們將在此基礎(chǔ)上繼續(xù)完善和改進(jìn)，為下一次實踐探究提供寶貴的數(shù)據(jù)和建議。雖然這個過程艱辛甚至要反復(fù)推倒重來，但對一線教師，無疑是一次對單元進(jìn)行大刀闊斧整合的嘗試，打破單一課時的思維，并且對數(shù)與運(yùn)算一致性的理解有了突破性的認(rèn)識。本次教研方案被評為區(qū)級二等獎，研究成果總結(jié)報告獲一等獎，數(shù)學(xué)教研組被評為區(qū)級優(yōu)秀教研組，二位教師的教學(xué)設(shè)計獲區(qū)一等獎，一位獲二等獎。一位教師在區(qū)級單元整體教研活動中做了關(guān)于單元框架的講座，二位教師在“國培”班中上了展示課。學(xué)校教師在專家團(tuán)隊引領(lǐng)的教研氛圍中，持續(xù)提升教師的教研水平，最終受益于學(xué)生。

參考文獻(xiàn)：

［1］朱俊華.小學(xué)數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)的實踐探索［J］.江蘇教育（小學(xué)教學(xué)版），2022（3）：47-51.

［2］趙莉，吳正憲，史寧中.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)的認(rèn)識與運(yùn)算一致性的研究與實踐以“數(shù)與運(yùn)算”總復(fù)習(xí)為例［J］.課程·教材·教法，2022，42（8）：122-129.

［3］鞏子坤，劉萍.論數(shù)的概念與運(yùn)算的一致性之三：整數(shù)運(yùn)算算理、算法的一致性［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2022（10）：77-81.

［4］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社（集團(tuán)）有限公司，2022.

［5］弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)［M］.陳昌平，唐瑞芬，譯.上海：上海教育出版社，1995.