圓錐體全局角度尺寸評(píng)定方法

趙新宇, 趙則祥, 李 彬, 任東旭, 席建普

(1.中原工學(xué)院 計(jì)算機(jī)學(xué)院，河南 鄭州 450007； 2.中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院，河南 鄭州 450007； 3.機(jī)械工業(yè)光學(xué)傳感與測(cè)試技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河南 鄭州 450007)

1 引 言

圓錐形要素是機(jī)械零(部)件中常用的要素之一,如刀柄和一些機(jī)床的尾部頂尖部件、錐形銷、錐形滾子軸承、錐齒輪等均包含圓錐形要素。圓錐面的尺寸、角度規(guī)格及其公差和幾何公差在國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)化組織(ISO)、美國(guó)機(jī)械工程師學(xué)會(huì)(ASME)和我國(guó)的相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)[1～3]中進(jìn)行了規(guī)定,但標(biāo)準(zhǔn)一般是基于兩點(diǎn)尺寸。為了提高圓錐面的質(zhì)量,在測(cè)量和評(píng)定中使圓錐的角度尺寸更加明確,GB/T 38762.3規(guī)定了全局角度尺寸[4],在圖樣上需標(biāo)注相應(yīng)的附加符號(hào)。有關(guān)圓錐全局角度尺寸的測(cè)量和評(píng)定的文獻(xiàn)目前尚未看到。與在圓柱體圓柱度誤差和全局尺寸評(píng)定時(shí)確定參考圓柱的軸線參數(shù)一樣,可以使用一些幾何誤差評(píng)定中所使用的優(yōu)化算法來(lái)確定參考圓錐(最小二乘圓錐和最大最小圓錐)的軸線參數(shù)等,以評(píng)定圓錐的全局角度尺寸。許多學(xué)者利用優(yōu)化算法對(duì)幾何誤差進(jìn)行了評(píng)定,取得了較好的效果。董紫燕等[5]將改進(jìn)后的差分進(jìn)化算法與人工蜂群算法混合迭代優(yōu)化,用于空間直線度誤差的評(píng)定,提高了計(jì)算精度和收斂速度;孔玉強(qiáng)等[6]通過(guò)改進(jìn)區(qū)域算法,提高了圓度誤差的評(píng)定效率;干江紅等[7]利用將外包絡(luò)點(diǎn)壓縮至常數(shù)范圍等方式,提高了最小外接法圓度誤差的評(píng)定效率;Liu W W等[8]將最小區(qū)域圓柱度誤差評(píng)定模型的線性化處理與蒙特卡洛方法相結(jié)合,實(shí)現(xiàn)圓柱度誤差最小區(qū)域法的評(píng)定;Yang Y等[9]采用改進(jìn)和聲搜索算法研究了圓柱度誤差的評(píng)定問(wèn)題;Liu F等[10]提出了適用于多測(cè)點(diǎn)的遞推最小區(qū)域算法,具有快速、精確評(píng)定的特點(diǎn);吳天昊等[11]采用海鷗優(yōu)化算法對(duì)圓柱度誤差進(jìn)行了評(píng)定,并研究了該算法在評(píng)定應(yīng)用中的相關(guān)問(wèn)題;Zhao Z X等[12]將最速下降和BFGS-0.618綜合算法、基因算法用于圓柱體全局尺寸的評(píng)定,并對(duì)兩種優(yōu)化算法的精度和效率進(jìn)行了比較。

除了上述幾何誤差與全局尺寸評(píng)定用優(yōu)化算法外,烏鴉搜索算法(crow search algorithm, CSA)、人工生態(tài)優(yōu)化算法(artificial ecosystem-based optimization, AEO)、平衡優(yōu)化器(equilibrium optimizer, EO)、飛蛾撲火優(yōu)化算法(moth-flame optimization, MFO)等算法[13～17]均可用于圓錐全局角度尺寸的評(píng)定。本文基于圓周輪廓提取方案,開(kāi)展圓錐全局角度尺寸的評(píng)定方法研究,建立圓錐全局角度尺寸的評(píng)定模型,在用上述部分優(yōu)化算法對(duì)圓錐角度尺寸評(píng)定的基礎(chǔ)上,綜合考慮各優(yōu)化算法的評(píng)定精度和效率,選用MFO作為圓錐全局角度尺寸評(píng)定的優(yōu)化算法,研究該算法在圓錐全局尺寸評(píng)定應(yīng)用中的相關(guān)問(wèn)題。本文的研究將有助于GB/T 38762.3在機(jī)械制造業(yè)中的實(shí)施。

2 全局角度尺寸及其圖樣標(biāo)注

圖1 圓錐全局角度尺寸的圖樣標(biāo)注Fig.1 Drawing indications of global angular sizes of cone

3 全局角度尺寸評(píng)定模型的建立

3.1 最小二乘全局角度尺寸的評(píng)定模型

根據(jù)全局角度尺寸的定義和測(cè)量?jī)x器的功能,采用圓周法[18]作為圓錐(臺(tái))輪廓要素的提取方案,如圖2所示,圖中,EA為參考圓錐面的軸線。當(dāng)用最小二乘法擬合參考圓錐面時(shí),參考圓錐面即為最小二乘圓錐面,其軸線EA用LA表示,該軸線一端點(diǎn)OL1(或oLn1)在xOy平面上的x,y和z坐標(biāo)分別為xL1(或xLn1),yL1(或yLn1)和0。

圖2 圓周輪廓和參考圓錐面Fig.2 Roundness profiles and reference cone surface

圖3是第i圓周輪廓及其參數(shù)的示意說(shuō)明,參考圓實(shí)際上是參考橢圓,因?yàn)樵趫A錐面輪廓提取之前通常要對(duì)被測(cè)工件進(jìn)行調(diào)心調(diào)平處理,因此,為簡(jiǎn)化建模,用參考圓代替參考橢圓。當(dāng)用線性最小二乘法和非線性最小二乘法擬合最小二乘圓錐面時(shí),圖中參數(shù)下標(biāo)E分別用L和Ln表示。eLi(或eLni)為第i參考圓的偏心量,其x,y和z的坐標(biāo)為xLi=xL1+pLzi(或xLni=xLn1+pLnzi),yLi=yL1+qLzi(或yLni=yLn1+qLnzi)和zi,pL(或pLn)和qL(或qLn)的含義見(jiàn)文獻(xiàn)[19],zi=(i-1)Δz,Δz為相鄰圓周輪廓的z向距離。Pij為第i圓周輪廓上第j采樣點(diǎn)到z軸(工作臺(tái)回轉(zhuǎn)軸線)的徑向尺寸,rLij(或rLnij)為第i圓周輪廓上第j采樣點(diǎn)到偏心點(diǎn)OLi(或OLni)的距離,RLi(或RLni)為參考圓的半徑。

圖3 第i圓周輪廓及其相關(guān)參數(shù)Fig.3 The ith roundness profile and its related parameters

根據(jù)最小二乘法的定義,最小二乘方程可表示為:

(1)

式中:m為提取的圓周輪廓數(shù);n為每個(gè)圓周輪廓的采樣點(diǎn)數(shù);rLnij和RLni可表示為:

(2)

式中:RLn1是最小二乘圓錐面的大端半徑;TLn是最小二乘圓錐面半角的正切;φj是第j采樣點(diǎn)與x軸間的夾角,等于(j-1)Δφ,Δφ是每個(gè)提取輪廓上相鄰采樣點(diǎn)之間的夾角。由于式(1)是一個(gè)非線性最小二乘方程,待定參數(shù)xLn1,yLn1,pLn,qLn,RLn1和TLn可用優(yōu)化算法確定上述參數(shù)和最小二乘全局角度尺寸。

在圓錐輪廓提取之前,對(duì)被測(cè)圓錐進(jìn)行了調(diào)心和調(diào)平處理,偏心量eLni較小,因此,rLnij可簡(jiǎn)化為rLij,最小二乘圓錐面待定參數(shù)xLn1,yLn1,pLn,qLn,RLn1和TLn轉(zhuǎn)化為待定參數(shù)xL1,yL1,pL,qL,RL1和TL,即

rLij≈Pij-(xLi+pLzi)cosφj-(yLi+qLzi)sinφj

(3)

將式(3)代入到式(1),非線性最小二乘問(wèn)題變成線性最小二乘問(wèn)題后,對(duì)6個(gè)待定參數(shù)xL1,yL1,pL,qL,RL1和TL分別求偏導(dǎo),并分別等于0,整理后得到六元一次方程組,通過(guò)求解該線性方程組,得到待定參數(shù)xL1,yL1,pL,qL,RL1和TL。

參數(shù)TLn或TL確定后,可由式(4)確定圓錐面的最小二乘全局角度尺寸αLn或αL,單位:(°)。

(4)

3.2 最大最小全局角度尺寸的評(píng)定模型

當(dāng)用最大最小法擬合參考圓錐面時(shí),圖1中的參考圓錐面即為最大最小圓錐面,其軸線EA用MA表示,該軸線一端點(diǎn)OM1在xOy平面上的x,y和z坐標(biāo)分別為xM1,yM1和0。圖2中的下標(biāo)E均替換為M,表示是與最大最小圓錐面相關(guān)的參數(shù)。根據(jù)最大最小擬合法的定義,最大最小圓錐面方程可表示為:

(5)

式中:CM=[xM1yM1pMqMRM1TM];1≤i≤m;1≤j≤n;dMij可由式(6)計(jì)算得到。

dMij=[(Pijcosφj-xM1-pMzi)2+(Pijsinφj-yM1-qMzi)2]1/2-(RM1-TM×zi)

(6)

利用優(yōu)化算法確定參數(shù)CM后,將式(4)中的下標(biāo)L或Ln替換為M,即可作為最大最小全局角度尺寸的計(jì)算公式。

3.3 MFO在全局角度尺寸評(píng)定中的應(yīng)用

全局角度尺寸的非線性最小二乘評(píng)定和最大最小全局角度尺寸的評(píng)定均可歸類為最優(yōu)化問(wèn)題,可用優(yōu)化算法搜索全局角度尺寸評(píng)定中圓錐相關(guān)參數(shù)CLn和CM,兩者的優(yōu)化函數(shù)分別見(jiàn)式(1)和式(5)。MFO是一種群智能算法,該算法的主要靈感來(lái)自于自然界中飛蛾被稱為橫向方向的導(dǎo)航方法。飛蛾在夜間通過(guò)相對(duì)于月球保持一個(gè)固定的角度來(lái)飛行,這是一種非常有效的長(zhǎng)途直線飛行的機(jī)制。該優(yōu)化算法具有程序編寫簡(jiǎn)單,運(yùn)算速度快,運(yùn)算精度高等特點(diǎn),有關(guān)該算法的原理和詳細(xì)信息見(jiàn)文獻(xiàn)[17]。本文給出了圓錐相關(guān)參數(shù)評(píng)定的MFO流程圖,如圖4所示,圖中,符合度f(wàn)t由式(1)和式(5)確定。式(1)用于非線性最小二乘全局角度尺寸評(píng)定中ft的計(jì)算;式(5)用于最大最小全局角度尺寸評(píng)定中ft的計(jì)算;E=Ln或M,用于全局角度尺寸的非線性最小二乘評(píng)定或最大最小全局角度尺寸評(píng)定。CM0或CLn0為搜索CM或CLn的初始值;f=[f1f2],其含義見(jiàn)式(11);lb和ub是2個(gè)1×6的行矢量,分別為搜索CM或CLn的下、上邊界;bc為邊界系數(shù);N和T分別為種群數(shù)和最大迭代次數(shù);rand為在區(qū)間(0,1)內(nèi)生成的一個(gè)均勻分布隨機(jī)數(shù);～為邏輯非;ftS和CES分別是符合度f(wàn)t從小到大排序后的符合度及其對(duì)應(yīng)的CE;ftSB和CESB為迭代過(guò)程中設(shè)定的較優(yōu)符合度及其對(duì)應(yīng)的優(yōu)化參數(shù)行向量;ftP和CEP分別等于上一次迭代得到的ftS和CES;ftPS為由符合度f(wàn)tP和ftS合并形成的2×N維行向量;CEPS則由CEP和CES合并得到;火焰數(shù)F_No可由式(7)計(jì)算得到。

圖4 圓錐全局角度尺寸評(píng)定用MFO流程圖Fig.4 MFO flowchart used in the evaluation of cone’s global angular sizes

F_No=round(N-(Iter×((N-1)/T))

(7)

式中:round是將括號(hào)中計(jì)算得到的數(shù)值圓整到最近的整數(shù);Iter為迭代次序。

4 實(shí)驗(yàn)與討論

4.1 實(shí)驗(yàn)

基于圓周提取方案的4個(gè)圓錐仿真試樣S-1、S-2、S-3和S-4的仿真過(guò)程如下:1)用Talyrond 585LT形狀測(cè)量?jī)x分別對(duì)4個(gè)圓柱按表1所示的m、n、Δz提取圓周輪廓。2)用標(biāo)準(zhǔn)圓柱消除圓周輪廓的徑向系統(tǒng)誤差,徑向系統(tǒng)誤差的消除方法見(jiàn)文獻(xiàn)[20]; 4個(gè)圓柱消除徑向系統(tǒng)誤差后的圓周輪廓如圖5所示(分別對(duì)應(yīng)于4個(gè)圓錐仿真試樣)。3)仿真圓錐試樣上第i圓周第j采樣點(diǎn)到形狀測(cè)量?jī)x回轉(zhuǎn)工作臺(tái)回轉(zhuǎn)軸線(圖1所示z軸)的徑向尺寸Pij可表示為:

表1 4個(gè)圓錐仿真試樣規(guī)格與輪廓提取參數(shù)Tab.1 Specifications and parameters of profiles’ extraction of four cone simulated samples

(8)

圖5 4個(gè)圓柱圓周輪廓示意圖Fig.5 Schematic of roundness profiles of four cylindrical samples

式中:PCij為消除徑向系統(tǒng)誤差后圓柱試樣第i圓周輪廓第j采樣點(diǎn)到形狀測(cè)量?jī)x回轉(zhuǎn)工作臺(tái)回轉(zhuǎn)軸線的徑向尺寸;zi為第i圓周輪廓與xOy平面間的z向距離;α為圓錐仿真試樣的圓錐角的公稱尺寸(見(jiàn)表1)。依據(jù)上述仿真原理和表1中的參數(shù),由4個(gè)圓柱試樣C-1、C-2、C-3和C-4的圓周輪廓分別獲得了四個(gè)圓錐仿真試樣S-1、S-2、S-3和S-4的圓周輪廓,如圖6所示。圖5和圖6中的輪廓未按比例繪制,由程序生成,局部放大比為2 000。

圖6 4個(gè)圓錐仿真試樣圓周輪廓示意圖Fig.6 Schematic of roundness profiles of four cone simulated samples

基于式(1)和式(4),對(duì)4個(gè)圓錐仿真試樣的最小二乘全局角度尺寸進(jìn)行了評(píng)定,最小二乘全局角度尺寸αL和最小二乘圓錐相關(guān)參數(shù)xL1,yL1,pL,qL,RL1和TL見(jiàn)表2～表5。基于式(1)、式(2)和圖4,用非線性最小二乘法對(duì)4個(gè)圓錐最小二乘全局角度尺寸進(jìn)行了評(píng)定,最小二乘全局角度尺寸αLn和最小二乘圓錐相關(guān)參數(shù)xLn1,yLn1,pLn,qLn,RLn1和TLn見(jiàn)表2～表5。

表2 圓錐試樣S-1的最小二乘全局角度尺寸評(píng)定結(jié)果Tab.2 Evaluation results of least square global angular sizes of cone sample S-1

表3 圓錐試樣S-2的最小二乘全局角度尺寸評(píng)定結(jié)果Tab.3 Evaluation results of least square global angular sizes of cone sample S-2

表4 圓錐試樣S-3的最小二乘全局角度尺寸評(píng)定結(jié)果Tab.4 Evaluation results of least square global angular sizes of cone sample S-3

表5 圓錐試樣S-4的最小二乘全局角度尺寸評(píng)定結(jié)果Tab.5 Evaluation results of least square global angular sizes of cone sample S-4

用非線性最小二乘法評(píng)定最小二乘全局角度尺寸時(shí),將CLs=[xLs1yLs1pLsqLsRLs1TLs]作為搜索CLn的優(yōu)化初始參數(shù)CLn0,由式(9)確定。

(9)

用最小二乘圓錐參數(shù)CL=[xL1yL1pLqLRL1TL]或CLn=[xLn1yLn1pLnqLnRLn1TLn]作為MFO評(píng)定圓錐最大最小全局角度尺寸優(yōu)化時(shí)的初始參數(shù)CM0。

對(duì)于圓錐角度尺寸優(yōu)化時(shí)的初始參數(shù)CE0k,k=1,…,6。全局角度尺寸優(yōu)化參數(shù)CE的下、上搜索邊界可由式(10)確定。

(10)

式中:bc和c均為搜索邊界系數(shù),本文中bc和c分別為40和0.3;f可由式(11)確定。

(11)

式中1≤j≤n。

表2～表5中,EEa為最小二乘方法的優(yōu)化特征值,可由式(12)確定,即,

(12)

由表2～表5可知:線性最小二乘方法和非線性最小二乘方法評(píng)定全局角度尺寸得到的圓錐軸線參數(shù)基本相同;對(duì)于試樣S-1、S-2、S-3,2種最小二乘方法評(píng)定得到特征值ELa與ELna相同、全局角度尺寸αL與αLn基本相同;對(duì)于試樣S-4,盡管2種最小二乘方法得到的參考圓錐的軸線參數(shù)相同,但由于兩種方法的RL1和RLn1不同、TL和TLn不同,導(dǎo)致優(yōu)化特征值EEa與ELna不相同,兩種最小二乘方法得到的全局角度尺寸之差為0.997″?？傮w上講,線性最小二乘方法在評(píng)定精度和效率方面優(yōu)于非線性最小二乘方法。

表6～表9為基于式(5)和圖4,優(yōu)化參數(shù)初始值CM0分別等于CL和CLn,由MFO優(yōu)化得到的圓錐最大最小全局角度尺寸及其相關(guān)參數(shù)的評(píng)定結(jié)果。表中,EMd為最大最小全局角度尺寸評(píng)定效果的優(yōu)化特征值,EMd值小者,其對(duì)應(yīng)的圓錐最大最小全局角度尺寸的評(píng)定精度高。EMd可表示為:

表6 圓錐試樣S-1的最大最小全局角度尺寸評(píng)定結(jié)果Tab.6 Evaluation results of minimax global angular sizes of cone sample S-1

表7 圓錐試樣S-2的最大最小全局角度尺寸評(píng)定結(jié)果Tab.7 Evaluation results of minimax global angular sizes of cone sample S-2

表8 圓錐試樣S-3的最大最小全局角度尺寸評(píng)定結(jié)果Tab.8 Evaluation results of minimax global angular sizes of cone sample S-3

表9 圓錐試樣S-4的最大最小全局角度尺寸評(píng)定結(jié)果Tab.9 Evaluation results of minimax global angular sizes of cone sample S-4

EMd=maxdMij-mindMij

(13)

式中:1≤i≤m; 1≤j≤n;dMij的含義見(jiàn)式(6)。將式中的下標(biāo)M換成L或Ln,即可確定表2～表5中的EEd。

由表6～表9可以看出:優(yōu)化參數(shù)初始值影響最大最小全局角度尺寸的評(píng)定精度。對(duì)于試樣S-1和S-2,優(yōu)化參數(shù)初始值CM0等于CL時(shí)的EMd小于優(yōu)化參數(shù)初始值CM0等于CLn時(shí)的EMd,說(shuō)明前者最大最小全局角度尺寸αM的評(píng)定精度高于后者的評(píng)定精度;對(duì)于試樣S-3和S-4,情況與試樣S-1和S-2相反,優(yōu)化參數(shù)初始值CM0等于CLn時(shí)得到的最大最小全局角度尺寸αM的評(píng)定精度高于CM0等于CL時(shí)的評(píng)定精度。MFO是1個(gè)全局優(yōu)化算法,從理論上講,不同優(yōu)化初始參數(shù)得到的優(yōu)化特征值EMd應(yīng)基本相同,但兩者實(shí)際上還是有差別的。表6～表9中試樣S-1、S-2、S-3和S-4對(duì)應(yīng)于2個(gè)優(yōu)化初始值的EMd之差(單位:mm)分別為-1.71×10-6、-1.29×10-5、9.1×10-7和1.26e×10-6,對(duì)應(yīng)的最大最小全局角度尺寸αM值之差分別為-0.046″、0.181″、0.068″和-0.012″。

為了使最小二乘圓錐面和最大最小圓錐面評(píng)定結(jié)果可視化,將上述確定最小二乘圓錐面和最大最小圓錐面相關(guān)參數(shù)的計(jì)算方法用于圖6所示的局部放大輪廓的最小二乘圓錐面和最大最小圓錐面的相關(guān)參數(shù)的計(jì)算。以最小二乘全局角度尺寸評(píng)定的可視化為例,4個(gè)圓錐面仿真試樣輪廓及其最小二乘參考圓錐面的可視化如圖7所示。

圖7 四個(gè)圓錐仿真試樣的最小二乘圓錐面可視化Fig.7 Visualization of least square cones of four cone simulated samples

4.2 討論

由表2～表9中的EEd和EMd值可知,4個(gè)圓錐試樣的EMd值均小于EEd值,與最大最小評(píng)定準(zhǔn)則一致。

由表2～表5中的優(yōu)化特征值EEa和表6～表9中的優(yōu)化特征值EMd可以看出,評(píng)定結(jié)果可能未達(dá)到最優(yōu)。實(shí)際上,影響MFO算法優(yōu)化結(jié)果的因素很多,如邊界系數(shù)bc和c、優(yōu)化初始值、種群大小N和最大迭代次數(shù)T等。表2～表9中的值評(píng)定時(shí),N和T分別為20和500。

本文以圓錐試樣S-4的最大最小全局角度尺寸為例說(shuō)明邊界系數(shù)bc和c以及N和T對(duì)評(píng)定結(jié)果的影響,將上述參數(shù)進(jìn)行了5組組合對(duì)優(yōu)化特征值和圓錐最大最小全局角度尺寸進(jìn)行評(píng)定。優(yōu)化參數(shù)分組如下:組Ⅰ:bc、c、N和T分別為40、0.3、10和500;組Ⅱ:bc、c、N和T分別為40、0.3、30和500;組Ⅲ:bc、c、N和T分別為40、0.3、20和200;組Ⅳ:bc、c、N和T分別為1、0.2、20和500;組Ⅴ:bc、c、N和T分別為40、0.3、20和500。

5組優(yōu)化特征值EMd和最大最小全局角度尺寸αM評(píng)定結(jié)果如圖8所示。

圖8 圓錐試樣S-4不同優(yōu)化參數(shù)組合下的EMd和αM評(píng)定結(jié)果Fig.8 Evaluation results of EMd and αM of cone sample S-4 under different combinations of optimization parameters

由圖8(a)可以看出,表5和表9選用的優(yōu)化參數(shù)組合(組Ⅴ)在5組組合中是較佳的組合,其優(yōu)化特征值相對(duì)較小。由圖8(b)可以看出,當(dāng)CM0=CL時(shí),5種組合的最大最小角度尺寸αM的最大值與最小值之差為0.125″,當(dāng)CM0=CLn時(shí),5種組合的最大最小角度尺寸αM的最大值與最小值之差為0.191″。由圖8可以看出,CL和CLn分別選作CM0時(shí),組Ⅲ的αM2個(gè)評(píng)定結(jié)果相差較大,其差為-0.164″,組Ⅴ的相差較小,其差為-0.012″。由上述分析可知,優(yōu)化參數(shù)的組合和CM0的選用,對(duì)評(píng)定結(jié)果均有一定的影響,但規(guī)律性不強(qiáng)。為使全局角度尺寸評(píng)定達(dá)到較高的精度,需要通過(guò)大量的實(shí)驗(yàn)和評(píng)定,探索較佳的優(yōu)化參數(shù)組合。

為進(jìn)一步驗(yàn)證MFO在圓錐全局角度尺寸評(píng)定中的適應(yīng)性,選擇組Ⅴ的優(yōu)化參數(shù)組合,用CSA、AEO、EO、粒子群算法(particle swarm optimization,PSO)4種算法對(duì)4個(gè)試樣的最大最小全局角度αM進(jìn)行評(píng)定,獲得相應(yīng)的優(yōu)化特征值EMd,見(jiàn)圖9,圖中,CSA、AEO、EO和PSO的8個(gè)優(yōu)化特征值EM小于MFO對(duì)應(yīng)的優(yōu)化特征值EMd的個(gè)數(shù)分別為1、3、2和1?？傮w上講,MFO的評(píng)定結(jié)果優(yōu)于其他4種優(yōu)化方法的評(píng)定結(jié)果。盡管基于MFO的評(píng)定結(jié)果并非全局最優(yōu),但其評(píng)定精度可以滿足圓錐全局角度尺寸評(píng)定的需要。

圖9 四個(gè)圓錐試樣不同優(yōu)化優(yōu)化算法的EMd評(píng)定結(jié)果Fig.9 Evaluation results of EMd of four cone samples under different optimization algorithms

除了用EMd值評(píng)價(jià)優(yōu)化算法的圓錐全局角度尺寸的評(píng)定精度外,優(yōu)化算法的評(píng)定效率也是評(píng)價(jià)其在圓錐全局角度尺寸評(píng)定中的適應(yīng)性的一個(gè)重要方面,5種優(yōu)化算法的評(píng)定效率如表10所示。表中,ΓLn和ΓM分別表示非線性最小二乘全局角度尺寸和最大最小全局角度尺寸每1 000采樣點(diǎn)的評(píng)定時(shí)間(單位:s),ΓLn和ΓM由式(14)計(jì)算得到。

表10 5種優(yōu)化算法的評(píng)定效率Tab.10 Evaluation efficiencies of five optimization algorithms

E=Ln,M

(14)

式中:圓錐試樣S-1、S-2、S-3和S-4的全局角度尺寸評(píng)定時(shí)間分別為tE1、tE2、tE3和tE4;圓周輪廓數(shù)分別為m1、m2、m3和m4;每個(gè)圓周輪廓的采樣點(diǎn)數(shù)為n1、n2、n3和n4。

由表10可以看出,5種優(yōu)化算法中,MFO的評(píng)定效率略低于CSA和PSO的評(píng)定效率,但高于AEO和EO的評(píng)定效率。綜合考慮評(píng)定精度和評(píng)定效率,MFO盡管尚未實(shí)現(xiàn)全局最優(yōu),但可以滿足圓錐全局角度尺寸評(píng)定的需要。

5 結(jié) 論

根據(jù)圓錐全局角度尺寸的定義,提出了基于圓周輪廓提取方案的最小二乘全局角度尺寸和最大最小全局角度尺寸評(píng)定方法,建立了圓錐最小二乘全局角度尺寸評(píng)定模型和最大最小全局角度尺寸評(píng)定模型?；趫A錐全局角度尺寸評(píng)定模型,給出了MFO評(píng)定圓錐全局角度尺寸的流程圖,并編制了相應(yīng)的圓錐全局角度尺寸評(píng)定程序。采用所編制的評(píng)定程序,對(duì)4個(gè)圓錐仿真試樣進(jìn)行了全局角度尺寸評(píng)定,并給出了相應(yīng)的評(píng)定結(jié)果。

將線性最小二乘圓錐面參數(shù)CL和非線性最小二乘圓錐面參數(shù)CLn分別作為最大最小圓錐面優(yōu)化的初始參數(shù),4個(gè)圓錐試樣的基于MFO的對(duì)應(yīng)試樣2個(gè)最大最小圓錐面優(yōu)化特征值EMd之差位于-1.291×10-5～9.1×10-7mm之間,2個(gè)最大最小全局角度尺寸αM之差位于-0.046″～0.181″之間。評(píng)定結(jié)果表明:MFO的圓錐全局角度尺寸評(píng)定尚未實(shí)現(xiàn)全局最優(yōu);且優(yōu)化初始值、搜索區(qū)間、種群數(shù)、最大迭代數(shù)等對(duì)評(píng)定結(jié)果均有一定的影響,但其缺乏規(guī)律性?？傮w上講,MFO評(píng)定結(jié)果優(yōu)于CSA、AEO、EO和PSO四種優(yōu)化算法的評(píng)定結(jié)果。