基于對稱性評價的曲線對稱中心擬合算法

張 鑫, 劉海波,2,3, 夏玉國

(1.武漢地震計量檢定與測量工程研究院，湖北 武漢 430071；2.湖北省地震局，湖北 武漢 430071；3.中國地震局地震研究所 地震大地測量重點實驗室，湖北 武漢 430071)

1 引 言

在機器視覺中,目標位置的探測是核心問題之一。其中,一維圖像(即灰度曲線)中的目標位置探測,是相關(guān)任務(wù)中的基礎(chǔ)性問題[1]:一方面,很多基于線陣圖像傳感器的應(yīng)用,僅能獲取一維圖像,需要獲取其目標位置[2,3];另一方面,在二維圖像目標位置探測中,也經(jīng)常會采用在圖像中作灰度剖面的方法,將二維探測問題轉(zhuǎn)換為一維探測問題[4～12]。一維圖像中的目標位置探測,常用的方法有邊緣探測法、閾值法、極值法、曲線擬合法、灰度質(zhì)心(centroid)法。邊緣探測法、閾值法與極值法均利用曲線局部信息實現(xiàn)曲線中心探測,邊緣探測法通常用于灰度曲線具有陡峭邊緣的情況,極值法適用于具有局部光滑凸起頂部/凹陷底部的曲線,而閾值法更適用于曲線具有良好對稱性的情況,這3種方法都容易受到局部噪聲的干擾,適用范圍有限[2～5,13];曲線擬合法適用于對圖像形狀具有某些先驗信息的情形,如在高斯光束成像的位置探測中,可以假設(shè)一維圖像為高斯曲線,曲線擬合所使用的算法因擬合曲線的類型而異,但都會使用曲線的大部分乃至全部信息,在曲線形狀符合先驗假設(shè)的情況下具有較高精度,除了曲線中心位置外,通常還需要將曲線幅度及水平尺度相關(guān)的系數(shù)作為待求參數(shù),有時還需要引入非線性的數(shù)學(xué)模型,算法復(fù)雜,計算量相對較大[8～10,14,15];灰度質(zhì)心法不需要對曲線形狀進行先驗假設(shè),它無需迭代,計算速度快,在光斑測量時具有明確的物理意義—光斑能量中心,且在計算中使用了窗口范圍內(nèi)的全部灰度信息,理論上對于高頻噪聲具有很強的抗干擾能力,是目前應(yīng)用最廣的目標位置探測算法[1,16,17]。在缺乏曲線形狀先驗信息時,灰度質(zhì)心法是現(xiàn)有算法中的最優(yōu)選擇,然而,在曲線背景存在干擾的情況下,尤其是干擾信號距質(zhì)心較遠時,計算結(jié)果容易產(chǎn)生較大偏差。因而通常采用窗口截取的方法來降低干擾信號的影響,但此時截取窗口的選取事實上決定了最終計算得到的質(zhì)心位置,算法的穩(wěn)健性嚴重依賴圖像的預(yù)處理策略。

為解決背景干擾下曲線中心的穩(wěn)健估計問題,提出了一種通用的擬合算法,采用將曲線與自身水平鏡像匹配的方式,構(gòu)造自變量為鏡像翻轉(zhuǎn)軸位置的對稱性評價函數(shù),采用最小二乘法,求取對稱性評價函數(shù)極小值點,作為被測曲線的對稱中心(symmetry center)。該方法無需了解被測曲線的近似數(shù)學(xué)形式,僅含有對稱中心位置一個待求參數(shù),且利用到了曲線與鏡像重合部分的全部灰度信息,適用于多種形狀的曲線中心擬合。

2 曲線對稱中心擬合算法

2.1 算法的基本原理

對原離散曲線進行插值,得到連續(xù)曲線:

y(x)=y?x」+(x-?x」)g?x」

(1)

=yn-[y?2η-n」+(2η-n-?2η-n」)g?2η-n」]

(2)

圖1 曲線與其鏡像進行匹配Fig.1 Match the curve to its mirror image

令η=η0+ξ,其中,η0=?2η」/2,顯然,0≤ξ<0.5, ?2η-n」=?2η」-n=2η0-n,則有:

en=yn-{y2η0-n+[2η-n-(2η0-n)]g2η0-n}

=yn-y2η0-n-2ξ·g2η0-n

(3)

在已知η近似值的情況下,可以計算出η0。以所有點不重合誤差的平方和作為對稱性評價標準,可按式(4)構(gòu)造對稱性評價函數(shù)f(ζ)。

=∑(yn-y2η0-n-2ξ·g2η0-n)2

(4)

(5)

計算得到的對稱中心位置即為η0+ζ。分析式(5)可知,無論是對曲線進行上下平移、垂直縮放或是上下顛倒(反色),對稱中心的計算結(jié)果均不會受到影響。

2.2 迭代計算及收斂誤差

在實際應(yīng)用中,由于η和η0均未知,在使用式(5)計算計時,采用近似值ζ0代替η0,計算結(jié)果為:

(6)

可令ζ0=η0+k/2(其中k為未知整數(shù)),代入式(6)則有:

(7)

定義k范圍內(nèi)的平均梯度gn,k=(yn+k-yn)/k,有yn+k=yn+kgn,k,代入式(7),得:

(8)

(9)

此時的對稱中心計算結(jié)果為:

(10)

如采用迭代計算,將上1次計算得到的η′用于計算下1次的ζ0,則迭代結(jié)果收斂的充分必要條件為:

(11)

考慮到0≤ξ<0.5,可知:

-1

(12)

(13)

因此,可以認為,當?shù)諗繒r,k的值只有3種可能性:-1,0,1。根據(jù)式(9)及ζ、G的可能取值范圍,可以得到k的取值與γ取值范圍的相互關(guān)系。表1列出了k取不同值時,γ的可能取值范圍,表2列出了γ在不同范圍時,k可能的值。

表1 不同k值時γ的可能取值范圍Tab.1 The possible interval of γ with different k value

表2 γ在不同區(qū)間時k可能的取值Tab.2 The possible k value when γ lies in different interval

可見,該算法有可能收斂至錯誤的對稱中心,其原因在于式(3)僅在局部成線性,不能杜絕對稱性評價函數(shù)出現(xiàn)多個局部極值的可能性。如果收斂結(jié)果出現(xiàn)錯誤(k≠0),只可能存在1種情況(見表2),以每0.5 pixel為單元格,實際的像素中心必然位于錯誤結(jié)果相鄰的單元格內(nèi)。因此,在迭代計算收斂后,僅需要在2種可能性中進行判定,即可避免收斂錯誤帶來的影響。

2.3 迭代計算結(jié)果的判定

(14)

3 算法的模擬驗證

3.1 迭代起點與收斂性

迭代計算需要先預(yù)先得到對稱中心的概略位置,如果算法對概略位置的精度要求過高,其適用范圍將受到極大限制,在此,采用典型的多峰值曲線對算法迭代起點的收斂性能進行驗證。

構(gòu)造離散曲線yn=|sinc[π(n-328.33)/50]|,n=1,2,…,1000,其對稱中心坐標真值為328.33,采用不同的迭代起算點計算該曲線的對稱中心,結(jié)果與真值的偏差如圖2所示?？梢?對于對稱中心擬合算法,只要迭代初始值選取在曲線主瓣范圍內(nèi),即可保證收斂至正確的對稱中心。

圖2 迭代計算起點影響模擬實驗結(jié)果Fig.2 Simulation results of different iterating start point

3.2 污點干擾的影響

污點干擾是圖像測量中常見的情況,通常來自雜散光斑、衍射條紋及測量光路中的灰塵等,其對曲線中心擬合結(jié)果的影響會隨出現(xiàn)位置的不同而變化,在此對污點干擾的影響進行驗證。

圖3 污點干擾影響模擬結(jié)果Fig.3 Simulation results of spot interference

3.3 不均勻背景的影響

在理想的圖像測量中,目標曲線的背景應(yīng)當是均勻的,在灰度質(zhì)心計算中,甚至要在整個圖像中減去背景灰度值,以避免背景灰度影響。而在實際測量中,由于環(huán)境光、測量對像顏色不均勻或區(qū)域變色等因素影響,曲線可能存在不均勻背景,在此對不均勻背景的影響進行驗證。

圖4 不均勻背景影響模擬結(jié)果Fig.4 Simulation results of background interference

可見,不均勻背景對對稱中心的影響遠小于對灰度質(zhì)心的影響,主要原因在于背景圖像自身的灰度質(zhì)心與原始圖像質(zhì)心不重合時,必然引起總體灰度質(zhì)心朝向背景質(zhì)心的偏移,而背景圖像自身的對稱性評價函數(shù)較為平坦,因而總體對稱性評價函數(shù)極值點受其影響極為有限。

3.4 截取窗口的影響

在通常的圖像處理中,會設(shè)置1個截取窗口,以排除目標區(qū)域以外圖像的影響,而截取窗口不同的選取方案,會造成曲線中心計算結(jié)果不同。在此分別對2種常用窗口截取方式造成的影響進行驗證。

將最大灰度所在像素作為截取窗口中心,在區(qū)間[21,301]內(nèi)改變窗口寬度,分別計算截取后曲線的灰度質(zhì)心及對稱中心,結(jié)果見圖5。

圖5 以最大灰度中心窗口截取影響模擬結(jié)果Fig.5 Simulation results of cut out curve with max-gray-scale-center window

設(shè)置閾值t∈[0.5, 1.5],刪去被測曲線中灰度小于t的部分,并刪去剩余曲線中與主峰斷開部分,分別計算截取后曲線的灰度質(zhì)心及對稱中心,結(jié)果見圖6。由圖6可見,對于較為復(fù)雜的非對稱曲線,對稱中心受截取窗口選擇的影響遠小于灰度質(zhì)心。

圖6 閾值窗口截取影響模擬結(jié)果Fig.6 Simulation results of cut out curve by gray scale threshold

4 算法的模擬驗證

采用工業(yè)相機及1倍遠心鏡頭,對準條碼水準標尺中的1根條碼(黑色),保持相機與條碼固定不動,在均勻照明的基礎(chǔ)上,在側(cè)方設(shè)置強光源,以產(chǎn)生不均勻背景。使用工業(yè)相機采集圖像,圖像的每1行作為獨立的灰度曲線,采用對稱中心擬合算法直接計算對稱中心,同時,對每一曲線進行反色處理(用飽和灰度值減去圖像灰度值),計算每一反色曲線的灰度質(zhì)心。

圖7展示了其中1幀圖像的各行曲線中心計算結(jié)果?；叶荣|(zhì)心的連線由于條碼內(nèi)、外的污點而產(chǎn)生了明顯的扭曲,而圖像右下角的暗色區(qū)域使得灰度質(zhì)心明顯偏離條碼中心;與之相比,曲線對稱中心連線基本不受污點與背景的干擾,在條碼中心附近,成一條與條碼平行的近似直線。

圖7 實際圖像中的曲線中心擬合結(jié)果Fig.7 Curve centers in real photo

通過調(diào)節(jié)光照強度,獲取不同曝光度的測量影像,采用對稱中心擬合算法及灰度質(zhì)心法計算圖像中每行的對稱中心及灰度質(zhì)心,并與參考直線x=814.16-0.0089565y(由其中一幀圖像對稱中心擬合得到,坐標系原點在左上角,y方向朝下為正)相比較,其結(jié)果見圖8,其中圖8(a)～圖8(d)分別是曝光度依次增大的影像,圖8(d)曝光度最大,背景噪聲最少。在曝光度發(fā)生巨大變化的情況下,每行灰度曲線的對稱中心變化量絕大部分在像素量級(在圖8(d)中,條碼右上角的亮斑擴大,覆蓋了右邊緣,使得前14行灰度曲線中心向左移動了11～16 pixel),而灰度質(zhì)心受背景圖像的影響,位置變化量達到了數(shù)十甚至上百像素。

圖8 不同曝光度所得圖像每行曲線中心Fig.8 Curve centers obtained with different exposures

表3列出了圖8(a)、圖8(b)、圖8(c)中每行(除去圖像前14行數(shù)據(jù))灰度曲線對稱中心與圖8(d)中對稱中心位置之差均方根值(RMS)。

表3 對稱中心位置變化量均方根值Tab.3 Table 3 RMS of symmetry center change

5 結(jié) 論

提出了一種通用的曲線中心擬合算法,通過曲線與其鏡像匹配程度,構(gòu)造對稱性評價函數(shù),定義了對稱性評價函數(shù)最小值點為曲線的對稱中心。通過構(gòu)造對稱性評價函數(shù),實現(xiàn)了曲線對稱中心的定義,推導(dǎo)出曲線對稱中心的計算公式,并對迭代計算的收斂情況進行了分析,給出了收斂結(jié)果的判定方法。對稱中心擬合算法經(jīng)過理論分析及模擬、實際驗證,不受曲線上下平移、縮放與翻轉(zhuǎn)的影響,與灰度質(zhì)心法相比,對污點及不均勻背景具有極強的抗干擾性,受窗口截取的影響也遠小于灰度質(zhì)心,是一種穩(wěn)健的擬合算法,在實際使用中,對圖像預(yù)處理的要求較低,具有普遍的適用性。且對稱中心擬合算法不僅適用于圖像處理中的曲線中心計算,也可應(yīng)用于其他領(lǐng)域(比如時域信號分析、光譜分析等)。

在實際應(yīng)用中,可以針對被測圖像特點,對算法實施進一步改進,比如梯度計算中可以采用平均梯度,以減小高頻噪聲的影響,或者引入加權(quán)策略,增加重要特征的權(quán)重等。

目前尚未對算法所能達到的最高精度進行驗證,后續(xù)將結(jié)合具體應(yīng)用,對其計算精度進行進一步驗證與評價,同時,還將對算法向二維圖像中心擬合進行擴展,用于對稱軸(軸對稱)或?qū)ΨQ中心(中心對稱)的計算。