信息技術(shù)在中學(xué)幾何教學(xué)中的融合現(xiàn)狀

徐亞楠　孫丹丹

摘 要：問題解決教學(xué)是信息技術(shù)應(yīng)用最廣泛的場景之一，而高中平面解析幾何是融合信息技術(shù)教學(xué)最多的主題，教師操作、師生互動(dòng)是最常見的技術(shù)使用類型.未來信息技術(shù)與中學(xué)幾何教學(xué)的融合應(yīng)更加關(guān)注初中學(xué)段，應(yīng)重視信息技術(shù)在新授課場景中的應(yīng)用，重視技術(shù)使用中學(xué)生的主體地位.

關(guān)鍵詞：信息技術(shù)；中學(xué)幾何；幾何教學(xué)；融合

促進(jìn)信息技術(shù)與課程的融合是2022年義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的基本課程理念之一，教師應(yīng)合理利用現(xiàn)代信息技術(shù)，設(shè)計(jì)生動(dòng)的教學(xué)活動(dòng)，提升學(xué)生的探究熱情，提高學(xué)生的信息素養(yǎng).信息技術(shù)包括通用信息技術(shù)，如PPT、視頻、在線學(xué)習(xí)平臺等，這種技術(shù)可用于各個(gè)學(xué)科的記錄、展示與不同學(xué)科之間的交流，也包括數(shù)學(xué)專用技術(shù)，如幾何畫板、GeoGebra、超級畫板、圖形計(jì)算器等，這類技術(shù)專用于數(shù)學(xué)教學(xué)及研究場景.數(shù)學(xué)專用信息技術(shù)可與數(shù)學(xué)課程深度融合，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，本文中的信息技術(shù)均指數(shù)學(xué)專用信息技術(shù).

幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)課程，有助于培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，增強(qiáng)學(xué)生的邏輯推理能力等.中學(xué)幾何的教學(xué)中涉及大量作圖以及對圖形的操作變換，這為信息技術(shù)與中學(xué)幾何教學(xué)的融合提供了巨大空間.區(qū)別于傳統(tǒng)教學(xué)，利用信息技術(shù)可對圖形進(jìn)行拖拽等動(dòng)態(tài)操作，動(dòng)態(tài)的幾何環(huán)境更有利于學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)新知識，為教師的教、學(xué)生的學(xué)創(chuàng)造了別樣的情境，蘊(yùn)含獨(dú)特的教育潛力.已有研究探索了信息技術(shù)與中學(xué)幾何教學(xué)的融合，并給出了若干案例，本文將基于21世紀(jì)以來中國大陸的相關(guān)文獻(xiàn)刻畫信息技術(shù)與中學(xué)幾何教學(xué)的融合現(xiàn)狀，分析融合特點(diǎn)，以期未來以信息技術(shù)助力為幾何教學(xué)提供啟示.本文的中學(xué)幾何指初中學(xué)段“圖形與幾何”領(lǐng)域以及高中學(xué)段必修課程“幾何與代數(shù)”主題中的立體幾何初步、選擇性必修課程“幾何與代數(shù)”主題中的平面解析幾何.

1 文獻(xiàn)篩選

本文關(guān)注信息技術(shù)與中學(xué)幾何教學(xué)的融合現(xiàn)狀，為了得到聚焦該主題的代表性研究以進(jìn)一步分析，本文選定了五種期刊：數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)、數(shù)學(xué)通報(bào)、中學(xué)數(shù)學(xué)月刊、中國數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)之友.之所以選擇這五種期刊，首先是因?yàn)樗鼈兪菙?shù)學(xué)教育領(lǐng)域認(rèn)可度較高的專業(yè)期刊，另一個(gè)重要原因是它們設(shè)有信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)融合專欄，比較關(guān)注信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的融合.

本文關(guān)注信息技術(shù)與中學(xué)幾何教學(xué)實(shí)踐的融合現(xiàn)狀，因此，首先在已檢索出的文獻(xiàn)中刪除只討論函數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)等與中學(xué)幾何無關(guān)的文獻(xiàn)，另外部分文獻(xiàn)主題是信息技術(shù)在中學(xué)教學(xué)的應(yīng)用探索，其中包含某個(gè)或某幾個(gè)案例與中學(xué)幾何相關(guān)，這類文獻(xiàn)被保留；其次，篩除文獻(xiàn)側(cè)重點(diǎn)是教學(xué)理論探討而非教學(xué)實(shí)踐的文獻(xiàn)，篩除用信息技術(shù)探索問題解決方法而非利用信息技術(shù)教學(xué)的文獻(xiàn)；最后，共得文獻(xiàn)121篇，這些文獻(xiàn)在五種期刊的分布情況如表1所示.本文以案例為單位分析這些研究中信息技術(shù)與中學(xué)幾何教學(xué)的融合，其中討論信息技術(shù)與一個(gè)幾何主題教學(xué)融合的片段即視為一個(gè)案例，討論利用信息技術(shù)進(jìn)行一個(gè)幾何問題解決教學(xué)的片段也視為一個(gè)案例，從121篇文獻(xiàn)中共提取出199個(gè)案例.本文采用內(nèi)容分析法分析案例，綜合采用自上而下的推論式編碼及自下而上的歸納式編碼兩種方式建構(gòu)類目.

2 融合特點(diǎn)

2.1 技術(shù)類型

在中國大陸使用比較頻繁的信息技術(shù)主要是幾何畫板、GeoGebra、超級畫板及圖形計(jì)算器，為分析在中學(xué)幾何教學(xué)中信息技術(shù)使用類型隨時(shí)間變化的趨勢，以8年為一個(gè)跨度，對199個(gè)案例中的技術(shù)類型進(jìn)行匯總，具體結(jié)果如圖1所示.選8年為一個(gè)跨度首先是因?yàn)?008年是重要的時(shí)間節(jié)點(diǎn)，國家高度重視教育信息化，不僅舉辦了全國多媒體教育軟件大獎(jiǎng)賽，還發(fā)布了多項(xiàng)文件，如《中央電化教育館、教育部基礎(chǔ)教育資源中心2008年工作要點(diǎn)》等，強(qiáng)調(diào)了教育信息化建設(shè)的重要性，促進(jìn)信息技術(shù)與教育教學(xué)的深度融合，此外，以8年為跨度的信息技術(shù)類型的變化趨勢特征明顯，較能反映信息技術(shù)的使用趨勢.

圖1表明2008年后，除圖形計(jì)算器外，各類信息技術(shù)的使用明顯增加.圖形計(jì)算器在本世紀(jì)早期使用較多，此后呈下降趨勢.相對而言，幾何畫板的使用頻率一直較高，在近8年的使用率僅低于GeoGebra，超級畫板使用頻率相對較低.GeoGebra軟件的使用呈明顯上升趨勢，逐漸成為中小學(xué)乃至大學(xué)相關(guān)學(xué)科的師生進(jìn)行教學(xué)及研究的主流平臺，尤其是2017年后，這可能與2019年人教版高中教科書明確使用GeoGebra進(jìn)行相關(guān)信息技術(shù)探索有關(guān)，幾何畫板在中學(xué)使用較多可能也與教科書的倡導(dǎo)有關(guān)，如人教版初中教科書等.

2.2 融合場景

信息技術(shù)與中學(xué)幾何教學(xué)的融合場景主要有三種：新知講解、問題解決、課外拓展.其中，新知講解及問題解決針對課程標(biāo)準(zhǔn)之內(nèi)的內(nèi)容，課外拓展針對課程標(biāo)準(zhǔn)之外的內(nèi)容.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，問題解決占比高達(dá)57.3%，新知講解占比29.6%，課外拓展占比13.1%.

信息技術(shù)融于新知講解的教學(xué)即在新知識的教學(xué)中，教師利用信息技術(shù)，通過對傳統(tǒng)教學(xué)進(jìn)行改進(jìn)或重構(gòu)以求達(dá)到更優(yōu)的教學(xué)效果，常見于新知講授課型.例如，在講解平行線的性質(zhì)時(shí)，傳統(tǒng)的教學(xué)手段是鼓勵(lì)學(xué)生通過畫、剪、疊、拼等操作活動(dòng)探索平行線的性質(zhì)，紙張不透明等現(xiàn)實(shí)原因往往導(dǎo)致教學(xué)效果較差，借助GeoGebra軟件，學(xué)生可通過拖動(dòng)、復(fù)制等動(dòng)態(tài)功能自主探索平行線的性質(zhì)，促進(jìn)新知理解.

除新知講解，問題解決也是信息技術(shù)的常見融合場景.信息技術(shù)融于問題解決的教學(xué)即在講解某些問題的求解過程時(shí)，信息技術(shù)可在啟發(fā)思路、闡明原理等方面扮演重要角色，常見于習(xí)題課課型.例如，在講解一個(gè)關(guān)于正方體截面面積最值的高考立體幾何題時(shí)，傳統(tǒng)教學(xué)后學(xué)生仍無法想象出具體截面情形，GeoGebra軟件能讓學(xué)生感受截面面積動(dòng)態(tài)變化的過程，進(jìn)而助力問題解決.在中學(xué)幾何教學(xué)中，教師最傾向在問題解決的教學(xué)中使用信息技術(shù)，這可能是由于問題求解本身是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，尤其涉及動(dòng)點(diǎn)及參數(shù)等的相關(guān)問題較容易與信息技術(shù)結(jié)合.

除課程標(biāo)準(zhǔn)指定的課程內(nèi)容，信息技術(shù)還用于拓展內(nèi)容的教學(xué)中.課外拓展場景指借助信息技術(shù)展示課程標(biāo)準(zhǔn)之外的知識，以拓展知識面或增強(qiáng)對數(shù)學(xué)美的認(rèn)識等，常見于拓展課課型.例如，借助GeoGebra軟件向?qū)W生展示多次扭曲的莫比烏斯帶、牟合方蓋等極具數(shù)學(xué)特色的圖形，讓學(xué)生直觀感受數(shù)學(xué)的獨(dú)特美.

2.3 融合主題

初中學(xué)段“圖形與幾何”領(lǐng)域可進(jìn)一步分為圖形的性質(zhì)、圖形的變化及圖形與坐標(biāo)三個(gè)子領(lǐng)域，高中學(xué)段的幾何領(lǐng)域包括立體幾何初步、平面解析幾何兩個(gè)子領(lǐng)域.將199個(gè)案例按子領(lǐng)域分類匯總，并歸納各領(lǐng)域融合信息技術(shù)的典型主題，結(jié)果如表2所示.由表可知，74.4%的案例聚焦于高中學(xué)段，其中信息技術(shù)與中學(xué)幾何教學(xué)融合最多的主題是平面解析幾何，占比高達(dá)54.8%，這可能由于平面解析幾何多涉及動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)直線.相對而言，初中的案例較少，占總案例數(shù)的25.6% ，其主要集中在圖形的性質(zhì)領(lǐng)域.

2.4 使用主體

信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)融合的重要問題之一是誰使用信息技術(shù)，即技術(shù)的使用主體是教師還是學(xué)生.其中有38.2%案例未指明技術(shù)操作者，例如，在講解圓的一般方程時(shí)，作者指明可借助超級畫板設(shè)置三個(gè)滑動(dòng)條來控制參數(shù)，從而動(dòng)態(tài)演示方程參數(shù)對圓的影響，作者介紹了技術(shù)操作及效果，但并未考慮技術(shù)的使用主體.61.8%的案例明確指出了技術(shù)的使用主體是教師還是學(xué)生，并且考慮在利用信息技術(shù)教學(xué)過程中師生角色的不同，可以分為三種類型：教師操作—師生互動(dòng)、學(xué)生操作—教師驅(qū)動(dòng)、學(xué)生操作—自主探究.其中教師操作—師生互動(dòng)占比最高，高達(dá)42.7%，學(xué)生操作—教師驅(qū)動(dòng)占比12.6%，學(xué)生操作—自主探究占比6.5%，由此可見教師是目前信息技術(shù)的操作主體，學(xué)生動(dòng)手操作的機(jī)會較少，原因之一可能是受以教師為中心的教學(xué)理念的影響，硬件不足也可能是重要制約因素.

“教師操作—師生互動(dòng)”即在信息技術(shù)與中學(xué)幾何教學(xué)融合的過程中，教師對相關(guān)軟件進(jìn)行操作，在操作過程中，教師就某些技術(shù)操作結(jié)果提出問題，學(xué)生思考回答.例如，在借助幾何畫板講解直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，教師操作幾何畫板，畫出直線與圓，并拖動(dòng)控制點(diǎn)，使直線與圓相離、相切及相交.當(dāng)教師拖動(dòng)控制點(diǎn)使直線與圓相切時(shí)，提問學(xué)生“此時(shí)，直線與圓的位置關(guān)系是什么呢？”“該如何判斷直線與圓的位置呢？”引導(dǎo)學(xué)生用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言描述直線與圓的位置關(guān)系.在這個(gè)過程中教師操作信息技術(shù)輔助講解，教師決定了進(jìn)行什么樣的技術(shù)操作以及在何時(shí)進(jìn)行怎樣的思考，問題常較為簡單，留給學(xué)生的思考時(shí)間也比較短，信息技術(shù)主要是以直觀演示配合教師講解.

“學(xué)生操作—教師驅(qū)動(dòng)”即學(xué)生操作信息技術(shù)，學(xué)生何時(shí)進(jìn)行何種技術(shù)操作由教師設(shè)定，技術(shù)操作在教師任務(wù)或問題的驅(qū)動(dòng)下一步步推進(jìn).在學(xué)生操作過程的重要節(jié)點(diǎn)，教師會通過引導(dǎo)學(xué)生思考“為什么”來關(guān)聯(lián)技術(shù)操作及其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解.例如，教師指定學(xué)生使用TI圖形計(jì)算器探索雙曲線的定義時(shí)，先給出動(dòng)點(diǎn)軌跡問題，學(xué)生操作TI圖形計(jì)算器得出動(dòng)點(diǎn)軌跡是之前學(xué)過的橢圓，此時(shí)，教師拋出問題“為什么是橢圓”，學(xué)生結(jié)合操作中的圖形關(guān)系及橢圓定義解釋緣由，為下一步學(xué)習(xí)雙曲線定義打下基礎(chǔ).緊接著，教師提出上述動(dòng)點(diǎn)問題的變式，驅(qū)動(dòng)學(xué)生操作TI圖形計(jì)算器發(fā)現(xiàn)此時(shí)動(dòng)點(diǎn)軌跡為兩條不封閉且對稱的曲線，教師指明這就是雙曲線，并拋出問題“雙曲線是怎樣的點(diǎn)集”，學(xué)生通過不斷演示雙曲線的生成過程以及類比橢圓從而給出雙曲線的定義.在這個(gè)過程中主要由學(xué)生操作信息技術(shù)，教師則是有計(jì)劃地給出一系列操作任務(wù)，并在關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)拋出問題引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，教師拋出的問題一般是針對學(xué)生操作的結(jié)果提出，學(xué)生思考的結(jié)果又驅(qū)動(dòng)后續(xù)的操作或?qū)W習(xí).

“學(xué)生操作—自主探究”即學(xué)生操作信息技術(shù)并在信息技術(shù)提供的動(dòng)態(tài)環(huán)境中進(jìn)行自主探究活動(dòng)以深化對知識的理解，教師以語言鼓勵(lì)或點(diǎn)評建議的方式參與其中，一般出現(xiàn)在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課中.例如，在探究拋物線焦點(diǎn)弦的相關(guān)問題時(shí)，由已得到拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，學(xué)生猜想該性質(zhì)“是否可推廣到雙曲線或橢圓？”，學(xué)生操作幾何畫板進(jìn)行自主檢驗(yàn)、修正猜想，最終深化對該問題的認(rèn)識.在此過程中學(xué)生操作信息技術(shù)并進(jìn)行一系列自主探究活動(dòng)，通過操作信息技術(shù)完成“類比猜想—?jiǎng)邮謱?shí)驗(yàn)—檢驗(yàn)猜想—改進(jìn)猜想—證明猜想”的過程，教師在學(xué)生完成每個(gè)階段時(shí)及時(shí)鼓勵(lì)并點(diǎn)出學(xué)生探索的關(guān)鍵之處.在親自操作并探索的過程中，學(xué)生可以感受到數(shù)學(xué)知識的發(fā)現(xiàn)與發(fā)展過程.

3 啟示思考

重視初中學(xué)段信息技術(shù)與幾何教學(xué)的融合.研究發(fā)現(xiàn)已有大部分案例聚焦于高中學(xué)段，尤其圓錐曲線主題，而初中“圖形與幾何”領(lǐng)域融入信息技術(shù)的案例相對較少.事實(shí)上，初中階段學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、幾何直觀及空間觀念相對高中較弱，更需要直觀演示，且初中學(xué)生更樂于動(dòng)手探究，信息技術(shù)可以提供操作實(shí)踐的動(dòng)態(tài)環(huán)境，使抽象的數(shù)學(xué)知識以形象、生動(dòng)的方式呈現(xiàn)出來，促使學(xué)生在做中學(xué).許多初中學(xué)段的主題都適合與信息技術(shù)相結(jié)合，例如平行四邊形性質(zhì)、圓周角定理、三角形全等及相似等.

重視信息技術(shù)與新授課的融合.目前，大部分案例討論了信息技術(shù)與習(xí)題教學(xué)的融合，信息技術(shù)與新授課的融合的案例相對較少.知識的深入理解是靈活應(yīng)用的前提，教師要充分重視新知生成的過程，探求信息技術(shù)與該過程的結(jié)合點(diǎn)，促使學(xué)生在動(dòng)手操作及數(shù)學(xué)思考的碰撞中激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，更好地理解和掌握知識.

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