借助GeoGebra開展“統(tǒng)計”單元可視化教學(xué)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“課標(biāo)”）明確要求在“統(tǒng)計”的教學(xué)中，教師應(yīng)教會學(xué)生合理使用信息技術(shù)，將其從機(jī)械、煩瑣的數(shù)據(jù)處理中解放出來，把更多的精力集中在“統(tǒng)計”概念和方法的理解上，從而提高效率^[1]。在“統(tǒng)計”單元中有大量數(shù)據(jù)需要師生處理分析，且過程復(fù)雜，一般包括收集、整理、提取、建模、得出結(jié)論五步。教師以傳統(tǒng)方式教學(xué)難以落實課標(biāo)要求。教師如果直接人工計算，費時費力，將極大程度地降低教師備課的效率和教學(xué)的積極性，且計算之后得到的結(jié)果無法直觀呈現(xiàn)給學(xué)生，影響教學(xué)效果。從學(xué)生的角度來看，計算煩瑣、過程冗長及刻板呈現(xiàn)數(shù)據(jù)表格和圖形會大大降低學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。為彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)的不足，在“統(tǒng)計”單元教學(xué)中，教師可以合理地使用信息技術(shù)。教師要重視教材邊注中的提示信息，包括信息技術(shù)工具的使用、選學(xué)欄目中信息技術(shù)的應(yīng)用、統(tǒng)計軟件的應(yīng)用。筆者將“統(tǒng)計”單元中與信息技術(shù)及統(tǒng)計軟件相關(guān)的內(nèi)容進(jìn)行整合，借助GeoGebra軟件做案例研究，開展可視化單元教學(xué)，提高教學(xué)效率和質(zhì)量。

一、確定單元可視化教學(xué)目標(biāo)與內(nèi)容

在高中數(shù)學(xué)課程中，“統(tǒng)計”內(nèi)容主要分布于必修課程和選擇性必修課程。在必修課程中，教師主要教授收集數(shù)據(jù)的方法和單變量的“統(tǒng)計”方法；在選擇性必修課程中，教師主要教授兩個變量的“統(tǒng)計”方法。教師按以下步驟設(shè)計教學(xué)目標(biāo) ：首先，研讀教材和教師教學(xué)用書，結(jié)合課標(biāo)明確“統(tǒng)計”單元的教學(xué)要求；然后，篩選“統(tǒng)計”單元中與信息技術(shù)相關(guān)的內(nèi)容用于單元可視化教學(xué)，并且確定“統(tǒng)計”單元可視化教學(xué)目標(biāo)；最后，選擇可視化教學(xué)的案例，準(zhǔn)備所需素材或數(shù)據(jù)，便于開展課堂教學(xué)，幫助學(xué)生積累數(shù)據(jù)分析的經(jīng)驗，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)和信息技術(shù)核心素養(yǎng)。

單元可視化教學(xué)的具體目標(biāo)：

第一，結(jié)合具體的例子，掌握簡單隨機(jī)抽樣、分層抽樣方法，認(rèn)識抽樣的必要性；明確兩者各自適用的范圍及特點，根據(jù)具體問題特點，選擇不同的抽樣方法獲取數(shù)據(jù)，設(shè)計具體的方案解決問題，并借助GeoGebra有效計算樣本均值、方差、中位數(shù)、眾數(shù)等。

第二，理解統(tǒng)計圖表的應(yīng)用原理，會列頻率分布表，能繪制頻率分布直方圖、散點圖等基礎(chǔ)的統(tǒng)計圖表；根據(jù)實際問題、數(shù)據(jù)分析的需求，選擇合適的統(tǒng)計圖表進(jìn)行可視化描述，切身感受合理使用統(tǒng)計圖表的重要性；借助GeoGebra軟件繪制統(tǒng)計圖表^[2]。

第三，結(jié)合實例，了解相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計意義，并通過相關(guān)系數(shù)比較多組成對相關(guān)數(shù)據(jù)的相關(guān)性；理解一元線性回歸模型的含義^[3]；借助 GeoGebra軟件進(jìn)行可視化探究，掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計方法，會使用相關(guān)統(tǒng)計軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，建模并優(yōu)化。

單元可視化教學(xué)內(nèi)容設(shè)計如下（如圖1）。

二、可視化教學(xué)案例及分析

（一）四個樣本圖表的繪制和四個數(shù)字特征的計算

案例源自人教A版《普通高中教科書 數(shù)學(xué) 必修 第二冊》第九章9.2.1“總體取值規(guī)律的估計”問題1。

1.研究意圖

解決上述問題涉及大量的計算和統(tǒng)計圖表的繪制，特別是在涉及頻率分布表以及頻率分布直方圖時，師生需要對大量數(shù)據(jù)進(jìn)行分組、計算頻率、繪制圖形等。在學(xué)生掌握了特征數(shù)字的計算方法，以及頻率分布表的作法與頻率分布直方圖的畫法，理解了它們的統(tǒng)計意義之后，對于其中的一些繁雜的計算任務(wù)，教師可以指導(dǎo)學(xué)生借助GeoGebra軟件完成。課堂上，教師使用GeoGebra的運算功能及統(tǒng)計圖表的繪制功能，展開系列可視化探究問題，讓學(xué)生觀察教師的演示操作，掌握基本的操作步驟，引導(dǎo)他們學(xué)會借助軟件計算四個特征數(shù)字，學(xué)會繪制四個樣本圖表。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生觀察GeoGebra繪制的圖表及計算結(jié)果，進(jìn)行可視化描述及分析，開展探究活動，掌握本節(jié)課的內(nèi)容。

2.探究內(nèi)容

探究1：頻率分布直方圖與頻數(shù)分布直方圖有什么區(qū)別？

探究2 ：觀察頻率分布表和頻率分布直方圖，你覺得這組數(shù)據(jù)中蘊含了哪些有用的信息？居民用戶月均用水量有何分布規(guī)律？你能準(zhǔn)確描述嗎？

探究3：分別以3和27為組數(shù)，對數(shù)據(jù)進(jìn)行等距分組，畫出100戶居民用戶月均用水量的頻率分布直方圖。觀察圖形，不同的組數(shù)對于直方圖呈現(xiàn)數(shù)據(jù)分布規(guī)律有什么影響？

探究4：頻數(shù)分布直方圖、條形圖、扇形圖、折線圖分別適用于哪些方面？

探究5：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)各自有何特點？

3.GeoGebra可視化探究步驟

具體的操作步驟指引如下（如圖2）。

步驟1：打開GeoGebra軟件，同時按下“Ctrl+Shift+S”調(diào)出表格區(qū)，在表格區(qū)內(nèi)A列輸入教材問題1中的數(shù)據(jù)。

步驟2：選中A列的數(shù)據(jù)，在工具欄中單擊“單變量分析”，單擊“分析”，即可得到頻數(shù)分布直方圖。

步驟3 ：單擊“選項”按鈕，分別勾選“頻數(shù)表”和“正態(tài)化”，即可得到頻率分布表和頻率分布直方圖。

步驟4：單擊“直方圖”右側(cè)的下拉選項，得到“條形圖”，輸入指令“扇形圖（l1）”得到扇形圖。

步驟5：單擊“顯示統(tǒng)計”按鈕，得到常見的統(tǒng)計量，如平均數(shù)（均值）、標(biāo)準(zhǔn)差、最值、百分位數(shù)等。如果想得到方差、眾數(shù)，可以輸入指令進(jìn)行計算。首先選中“A列”，右鍵“創(chuàng)建列表”得到“列表l1”；然后在指令框中分別輸入“方差（l1）”“眾數(shù)（l1）”，即可計算出該組數(shù)據(jù)的方差及眾數(shù)。

步驟6：單擊“顯示數(shù)據(jù)”按鈕，剔除極端值，使統(tǒng)計結(jié)果更準(zhǔn)確。

步驟7：拖動“分組滑動條”進(jìn)行分組。也可勾選“手動設(shè)置分組”實現(xiàn)預(yù)設(shè)的設(shè)置分組^[4]。

4.可視化探究內(nèi)容解讀

對于探究1，教師指導(dǎo)學(xué)生操作步驟1到步驟3，可以得到頻數(shù)分布直方圖與頻率分布直方圖。此時教師引導(dǎo)學(xué)生觀察GeoGebra繪制的兩個圖表，進(jìn)一步探究兩者之間的區(qū)別，讓學(xué)生進(jìn)行可視化描述。在學(xué)生回答之后，教師總結(jié)：兩者的橫坐標(biāo)是一樣的，區(qū)別在于縱坐標(biāo)，一個是“頻數(shù)”，另一個是“頻率/組距”，兩者都可以用來描述數(shù)據(jù)的取值規(guī)律。借此進(jìn)一步深化學(xué)生對頻率分布直方圖的理解。

對于探究2，教師可以在結(jié)束探究1之后，直接向?qū)W生提出。同樣，分別引導(dǎo)學(xué)生觀察GeoGebra繪制的圖表。學(xué)生不難得出：觀察頻率分布表，可以清晰看出樣本數(shù)據(jù)落在各個組別所占比例的大小。觀察頻率分布直方圖（如圖2b）可知，居民用水量的樣本數(shù)據(jù)分布不是對稱的，圖形呈現(xiàn)出“左高右低”，并且右邊呈現(xiàn)出一個較長的“尾巴”，這表明大部分居民的用水量集中在一個較低值的范圍。此時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考現(xiàn)實生活中，用水量標(biāo)準(zhǔn)的確定與該圖形呈現(xiàn)出來的分布有什么聯(lián)系，讓學(xué)生學(xué)會觀察樣本數(shù)據(jù)的特點進(jìn)而推斷整體的分布規(guī)律，體會統(tǒng)計基本思想，感受直方圖的優(yōu)點和不足之處。以此促使學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看問題，體會通過建立數(shù)學(xué)模型去分析實際問題的方法。

對于探究3，教師通過步驟7，改變組數(shù)，讓學(xué)生體會不同組數(shù)對頻率分布直方圖的形狀的影響（如圖3）。學(xué)生觀察動態(tài)變化情況，不難得出：同一組數(shù)據(jù)，組數(shù)不同，得到的頻率分布直方圖形狀也不盡相同。當(dāng)組數(shù)少、組距大時，原始數(shù)據(jù)損失較多，無法得到詳細(xì)的數(shù)據(jù)分布情況，但能夠看出數(shù)據(jù)整體的分布特點。當(dāng)組數(shù)多、組距小時，保留了較多的原始數(shù)據(jù)，但是圖形會顯得不規(guī)則，不容易看出總體數(shù)據(jù)的分布特點。最后教師強(qiáng)調(diào)合理分組、合理使用圖表的重要性。

對于探究4，教師通過步驟4的操作，可以實時生成不同統(tǒng)計圖，但教學(xué)中不能直接總結(jié)各種統(tǒng)計圖的特點和適用范圍，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生觀察辨析。教師基于學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，結(jié)合熟悉的例子讓學(xué)生在對比中體會區(qū)別與聯(lián)系，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)來源于實際，來源于生活，使學(xué)生感受知識生成的合理性，水到渠成得出結(jié)論。

對于探究5，在學(xué)生掌握了樣本平均數(shù)、眾數(shù)、方差、百分位數(shù)等特征數(shù)的統(tǒng)計意義及計算方法之后，教師在課堂上借助GeoGebra實時演示，通過步驟5的操作，讓學(xué)生感受GeoGebra軟件統(tǒng)計的便捷性。同時，為了更好地開展“總體集中趨勢的估計”與“總體離散程度的估計”兩個課時的可視化探究，讓學(xué)生分組合作思考相關(guān)問題，探究得出平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)各自的特點及優(yōu)缺點。步驟6的目的是教師勾選更改樣本數(shù)據(jù)，進(jìn)行可視化演示，直觀得到樣本平均數(shù)會隨著抽取的樣本的不同而改變，讓學(xué)生體會樣本平均數(shù)等數(shù)據(jù)的隨機(jī)性。

（二）一元線性回歸模型的建立與優(yōu)化

案例源自人教A版《普通高中教科書 數(shù)學(xué) 選擇性必修 第三冊》第八章8.2“一元線性回歸模型及其應(yīng)用”。

1.研究意圖

意圖二：在第一課時一元線性回歸模型的概念的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究如何估計模型的參數(shù)a和b。學(xué)生借助GeoGebra，進(jìn)行可視化探究，尋找合適的方案確定參數(shù)a和b。在確定回歸曲線原則的過程中引導(dǎo)學(xué)生：從數(shù)到形，引出“用一條直線擬合樣本數(shù)據(jù)”的思想；從形到數(shù)，建立刻畫樣本數(shù)據(jù)與直線整體接近程度的數(shù)學(xué)表達(dá)式q，即隨機(jī)誤差的平方和。借此，找出擬合度最高的一元線性回歸模型，確定a和b。最后借助GeoGebra軟件計算殘差，繪制殘差圖并分析，判斷模型是否具有有效性。

2.探究內(nèi)容

探究1：如何繪制散點圖，觀察散點圖，圖中的點在分布上呈現(xiàn)何種特點？

探究2：觀察散點圖，成對樣本數(shù)據(jù)具有什么關(guān)系？借助哪個樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計量佐證判斷？如何計算？

探究3：成對樣本數(shù)據(jù)的關(guān)系可以利用函數(shù)模型刻畫嗎？應(yīng)該用什么數(shù)學(xué)模型刻畫呢？

探究4：在建立一元線性回歸模型之后，怎樣利用樣本數(shù)據(jù)尋找一條“最好”的直線，使得成對樣本數(shù)據(jù)的散點與這條直線最“接近”。如何用數(shù)學(xué)的方法刻畫各散點與直線的接近程度？

探究5：如何利用殘差分析一元線性回歸模型的有效性？分析并修正回歸模型。

3.GeoGebra可視化探究步驟

步驟1：打開GeoGebra軟件，同時按下“Ctrl+Shift+S”調(diào)出表格區(qū)，在表格區(qū)內(nèi)A列、B列，分別輸入教材第105頁表8.2-1中的數(shù)據(jù)。

步驟2：選中A、B兩列的數(shù)據(jù)，在工具欄中單擊“雙變量回歸分析”，單擊“分析”，即可得到散點圖。

步驟3：分別選中A、B兩列，分別單擊右鍵選中“創(chuàng)建列表”得到列表l1、l2。在指令欄中輸入“相關(guān)系數(shù)（l1，l2）”，計算出相關(guān)系數(shù)r。

步驟4：同時按下“Ctrl+Shift+1”調(diào)出繪圖區(qū)，選中A、B兩列的數(shù)據(jù)，用右鍵選中“創(chuàng)建點列”得到列表l3，此時繪圖區(qū)同時出現(xiàn)了14組數(shù)據(jù)所形成的散點圖。

步驟5：在工具欄中選擇“描點工具”，在散點圖中單擊得到O、P兩點，指令欄中輸入“直線（O，P）”得到直線f。以同樣的方法操作可以得到兩條可移動的直線g和h，從而得到動態(tài)交互課件，開展試驗探究活動。

步驟6：在指令欄中分別輸入“q_1=誤差平方和（l1，f）”，“q_2=誤差平方和（l1，g）”， “q_3=誤差平方和（l1，h）”，得到3個數(shù)字，進(jìn)行對比。

4.可視化探究內(nèi)容解讀

對于第二個案例中的探究1和探究2，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過散點圖及相關(guān)系數(shù)r的知識，教師演示步驟1和步驟3，是為了引導(dǎo)學(xué)生用GeoGebra軟件繪散點圖并計算相關(guān)系數(shù)r。在繪制出散點圖之后，學(xué)生觀察總結(jié)散點圖呈現(xiàn)的分布特點：“大致分布在一條從左下到右上的直線附近”。由此，得出結(jié)論：成對樣本數(shù)據(jù)具有線性關(guān)系，且是正相關(guān)。學(xué)生輸入指令進(jìn)行計算，得到相關(guān)系數(shù)r的值，進(jìn)一步佐證正相關(guān)關(guān)系，且相關(guān)程度較高。借助GeoGebra軟件進(jìn)行可視化探究，通過散點圖定性推斷兩個變量之間的關(guān)系，再根據(jù)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)一步定量推斷兩個變量相關(guān)的正負(fù)性及相關(guān)性程度。

對于探究3，經(jīng)歷了探究1和探究2之后，師生已經(jīng)共同抽象概括出“散點大致分布在一條直線附近”這一特點。教師設(shè)問“能否利用函數(shù)模型來刻畫其關(guān)系”，引導(dǎo)學(xué)生直觀感受散點圖，結(jié)合函數(shù)的一一對應(yīng)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)這組變量（兒子的身高和父親的身高）無法用函數(shù)關(guān)系來刻畫。此時，教師引導(dǎo)學(xué)生思考發(fā)現(xiàn)這組變量的影響因素并不是單一因素。學(xué)生結(jié)合生活經(jīng)驗得出結(jié)論：還有其他因素影響子女的身高，如母親身高、生活環(huán)境、飲食習(xí)慣等因素。如此，在函數(shù)模型的基礎(chǔ)之上，引入隨機(jī)誤差，得到一個新的數(shù)學(xué)模型——一元線性回歸模型。

對于探究4，在建立模型之后，為了找到一條“最好”的直線，課堂上教師可以借助GeoGebra進(jìn)行步驟5的操作創(chuàng)設(shè)交互動態(tài)課件，與學(xué)生一同開展可視化試驗探究。教師結(jié)合幾何直觀和數(shù)學(xué)邏輯，引導(dǎo)學(xué)生尋找不同方法得出與樣本數(shù)據(jù)點整體上最“接近”的直線，在尋找最好的直線的過程中，適時引入“殘差”“殘差平方和”的概念。以此，發(fā)揮學(xué)生的自主性，鼓勵學(xué)生有不同的想法，發(fā)展學(xué)生的發(fā)散性思維。

師生共同探究，得到以下四種方案。教師利用GeoGebra開展四種方案的可視化探究，引導(dǎo)學(xué)生探究哪種方案更好及其原因。

方案一：使直線兩側(cè)點的個數(shù)相同。

方案二：使直線過盡可能多的點。

方案三：在散點圖中多取幾對點，確定出幾條直線的方程，分別求出這些直線的斜率、截距的平均數(shù)，將這兩個平均數(shù)作為所求直線的斜率和截距。

方案四：使散點均勻地分布在直線兩側(cè)，那怎么量化“均勻”呢？或者說，可以借助一個怎樣的數(shù)學(xué)量來刻畫散點與直線的整體接近程度呢？

針對方案一，教師借助GeoGebra創(chuàng)設(shè)的動態(tài)交互課件，讓學(xué)生上臺拖動點O、P進(jìn)行探究，不難發(fā)現(xiàn)：能使兩側(cè)點的個數(shù)相同的直線不止一條。因此，在這種標(biāo)準(zhǔn)下，回歸直線沒有最優(yōu)解。

針對方案二、方案三，進(jìn)行同樣的操作。師生發(fā)現(xiàn)按以上三種方案操作，得到的直線并不是唯一的（如圖4），即在一個方案標(biāo)準(zhǔn)之下無法得到最優(yōu)解。所以，前三個方案不是理想方案。

針對方案四，教師引導(dǎo)學(xué)生確定刻畫樣本數(shù)據(jù)與直線整體接近程度的數(shù)學(xué)量，即“各散點到直線的豎直距離的平方之和”，從而引入殘差平方和q。學(xué)生剖析q的表達(dá)式，推導(dǎo)展開，最終求得能使q最小的a、b。在學(xué)生理解這一過程之后，以上師生共同利用q求a、b的過程就是本節(jié)的核心知識點——最小二乘法。在經(jīng)歷問題數(shù)學(xué)化后，學(xué)生按照步驟6，輸入指令得到三個殘差平方和的值，在探究的過程中直觀感受到殘差平方和q的大小。

三、可視化教學(xué)實現(xiàn)正反饋

（一）個性、高效：數(shù)字化教學(xué)有利于減負(fù)增效

技術(shù)與教育有機(jī)融合對提高教學(xué)效率有積極影響。統(tǒng)計軟件的應(yīng)用不僅為教師提供了處理大量數(shù)據(jù)的工具，而且為學(xué)生提供了更具吸引力和互動性的學(xué)習(xí)方式。這種融合不僅有利于教師解決教學(xué)中的問題，而且有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。教師借助統(tǒng)計軟件能夠更輕松地處理和分析大量數(shù)據(jù)，可以更好地個性化教學(xué)，因材施教。同時，自動化工具的應(yīng)用可以減輕教師的工作負(fù)擔(dān)，讓他們有更多時間專注于教學(xué)水平的提升。

（二）直觀、有趣：可視化激發(fā)學(xué)生潛能

在教學(xué)中，可視化技術(shù)發(fā)揮了關(guān)鍵作用，學(xué)生學(xué)習(xí)更加生動，互動性更強(qiáng)。學(xué)生可以觀察實時的圖形或動態(tài)模擬探究，更深入地理解抽象的知識。這種互動性和可視性激發(fā)了學(xué)生的興趣，使他們更愿意積極參與學(xué)習(xí)過程。例如，在案例中，教師借助散點圖、圖表和動態(tài)演示，讓學(xué)生直觀地理解抽象概念、觀察數(shù)據(jù)及模型的效果。這種可視化教學(xué)使學(xué)生學(xué)習(xí)更生動、有趣，同時有助于提高學(xué)生數(shù)據(jù)分析和圖形解釋的能力。

（三）互動、實踐：探究學(xué)習(xí)貫穿全過程

在單元教學(xué)中，教師可以采取問題驅(qū)動的方式來開展探究和實驗導(dǎo)向的學(xué)習(xí)活動。教師設(shè)置與單元主題相關(guān)的實際問題，激發(fā)學(xué)生的好奇心，鼓勵他們主動探究和尋找答案。參與問題導(dǎo)向的學(xué)習(xí)活動，學(xué)生能夠更好地理解概念和目標(biāo)。教師鼓勵學(xué)生主動參與探究和實驗，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主動參與，引導(dǎo)他們提出問題、制訂實驗計劃、收集和分析數(shù)據(jù)，最終得出結(jié)論。學(xué)生在解決問題的過程中獨立思考，增強(qiáng)了創(chuàng)造性思維和批判性思考能力。學(xué)生參與實際的實驗和探究活動，能夠更深入地理解課程內(nèi)容。他們不是被動地接受知識，而是在親身經(jīng)歷和互動性學(xué)習(xí)中更好地掌握并應(yīng)用概念。這種深刻的理解有助于長期記憶并應(yīng)用知識。學(xué)生根據(jù)模擬和實際數(shù)據(jù)進(jìn)行實驗，不斷改進(jìn)模型和分析方法，其思維能力不斷進(jìn)階。

技術(shù)與教學(xué)的融合以及可視化、探究導(dǎo)向的學(xué)習(xí)方法的運用為教學(xué)帶來了積極的變革。這樣不僅能滿足學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，而且能提供更好的學(xué)習(xí)工具，為培養(yǎng)更具創(chuàng)新力和解決問題能力的學(xué)生錦上添花。

注：本文系廣州市教學(xué)成果培育項目“技術(shù)賦能，素養(yǎng)提升：GeoGebra與數(shù)學(xué)教學(xué)深度融合的實踐探索”（項目編號：2023127958）的研究成果。

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2017年版2020年修訂[S].北京：人民教育出版社，2020.

[2] 高用.關(guān)于“成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析”的教學(xué)理解與思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2021（6）：6-8.

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