混合區(qū)間刪失下逆指數(shù)瑞利分布的可靠性分析

盛會(huì)堯 蔡靜 何瑞 周莎莎

DOI：10.19850/j.cnki.2096-4706.2024.01.007

收稿日期：2023-05-22

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11901134）

摘? 要：基于混合區(qū)間刪失試驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)，研究逆指數(shù)瑞利分布的可靠性分析問題。首先，運(yùn)用極大似然估計(jì)法給出混合區(qū)間刪失試驗(yàn)下逆指數(shù)瑞利分布參數(shù)及可靠性指標(biāo)的極大似然估計(jì)；其次，運(yùn)用漸近正態(tài)理論給出參數(shù)及可靠性指標(biāo)的漸近置信區(qū)間。最后，運(yùn)用蒙特卡洛方法模擬樣本計(jì)算給出參數(shù)及可靠性指標(biāo)的平均相對(duì)誤差（ARE）、均方誤差（MSE）和平均區(qū)間長度（AL），并討論不同樣本量下混合區(qū)間刪失試驗(yàn)參數(shù)估計(jì)值與定時(shí)截尾試驗(yàn)參數(shù)估計(jì)值對(duì)精度的影響。

關(guān)鍵詞：逆指數(shù)瑞利分布；混合區(qū)間刪失；EM算法；漸近置信區(qū)間

中圖分類號(hào)：TP301.6；O213.2? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? 文章編號(hào)：2096-4706（2024）01-0032-07

Reliability Analysis of Inverted Exponentiated Rayleigh Distribution under Hybrid Interval Censoring

SHENG Huiyao， CAI Jing， HE Rui， ZHOU Shasha

（School of Data Science and Information Engineering， Guizhou Minzu University， Guiyang? 550025， China）

Abstract： Based on the hybrid interval censoring test sample data， the reliability analysis problem of inverted exponential Rayleigh distribution is studied. Firstly， the maximum likelihood estimation method is used to give the maximum likelihood estimation of inverted exponential Rayleigh distribution parameters and reliability index under the hybrid interval censoring test. Secondly， it uses asymptotic normal theory to provide Asymptotic Confidence Intervals for parameters and reliability index. Finally， the Monte Carlo method is used to simulate sample calculations to obtain ARE， MSE and AL of parameters and reliability index. The impact of hybrid interval censoring test parameter estimates and timed truncation test parameter estimates on accuracy under different sample sizes is discussed.

Keywords： inverted exponential Rayleigh distribution; hybrid interval censoring; EM algorithm; Asymptotic Confidence Interval

0? 引? 言

可靠性工程中，逆指數(shù)瑞利分布是一種重要的壽命分布。近幾年受到很多國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注，對(duì)于逆指數(shù)瑞利分布的可靠性分析，文獻(xiàn)中已有一些研究。文獻(xiàn)[1]基于刪失樣本研究逆指數(shù)瑞利分布參數(shù)的極大似然估計(jì)與貝葉斯估計(jì)問題。文獻(xiàn)[2]在混合刪失下研究逆指數(shù)瑞利分布的參數(shù)估計(jì)和預(yù)測問題。文獻(xiàn)[3]基于逐步II型刪失下研究逆指數(shù)瑞利分布參數(shù)的貝葉斯估計(jì)問題。文獻(xiàn)[4]基于自適應(yīng)逐步II型混合截尾樣本研究了逆指數(shù)瑞利分布的參數(shù)估計(jì)問題。文獻(xiàn)[5]關(guān)于逐步截尾下研究逆指數(shù)瑞利分布參數(shù)的極大似然估計(jì)和在伽馬先驗(yàn)分布下針對(duì)不同的損失函數(shù)得出未知參數(shù)的貝葉斯估計(jì)問題。文獻(xiàn)[6]在不同競爭風(fēng)險(xiǎn)逐步刪失方案下研究逆指數(shù)瑞利分布的參數(shù)極大似然估計(jì)和貝葉斯估計(jì)問題。在可靠性試驗(yàn)中混合區(qū)間刪失試驗(yàn)是一種新型的試驗(yàn)形式，但是，在混合區(qū)間刪失下研究逆指數(shù)瑞利分布的可靠性還尚未發(fā)現(xiàn)。由于逆指數(shù)瑞利分布的失效率不是單調(diào)的，因此，當(dāng)觀測數(shù)據(jù)是混合區(qū)間刪失時(shí)，運(yùn)用逆指數(shù)瑞利分布效果更好。鑒于此，本文在混合區(qū)間刪失下研究逆指數(shù)瑞利分布的可靠性用來評(píng)估產(chǎn)品的使用壽命情況。

定時(shí)截尾試驗(yàn)方案在可靠性研究中具有重要的作用，許多學(xué)者研究了在定時(shí)截尾下產(chǎn)品壽命問題的可靠性問題[7-12]。定時(shí)截尾試驗(yàn)是把一批被測試產(chǎn)品從0時(shí)刻開始連續(xù)跟蹤觀測到預(yù)設(shè)時(shí)間t0，將其余未失效的產(chǎn)品全部撤離試驗(yàn)，從而得到時(shí)刻t0之前失效產(chǎn)品的具體失效時(shí)間和在（t0，+∞）區(qū)間內(nèi)產(chǎn)品的失效數(shù)。如果產(chǎn)品在預(yù)設(shè)時(shí)間t0前失效數(shù)量過多或過少，從而會(huì)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的精度產(chǎn)生很大影響。所以，恰當(dāng)?shù)倪x取終止測試時(shí)間是有必要的。針對(duì)定時(shí)截尾試驗(yàn)的這一弊端，在條件允許的情況下可以先進(jìn)行連續(xù)的跟蹤觀測，在進(jìn)行定期觀測。也就是從0時(shí)刻開始進(jìn)行連續(xù)的跟蹤觀測到t0，在t0之后進(jìn)行定期觀測得到每個(gè)區(qū)間內(nèi)的失效產(chǎn)品數(shù)量，此試驗(yàn)稱為定時(shí)區(qū)間刪失試驗(yàn)。文獻(xiàn)[13，14]是此試驗(yàn)下的研究成果，龍兵等[15]結(jié)合這兩種試驗(yàn)方法提出了一種新的壽命試驗(yàn)方案，將定時(shí)截尾試驗(yàn)與定時(shí)區(qū)間刪失試驗(yàn)相結(jié)合的試驗(yàn)方案，稱為混合區(qū)間刪失試驗(yàn)并且研究了瑞利分布在此試驗(yàn)下的可靠性。萬宇等[16]研究基于混合區(qū)間刪失下指數(shù)分布的可靠性并對(duì)定時(shí)截尾樣本與混合區(qū)間刪失樣本得到的估計(jì)值進(jìn)行比較?；诖?，本篇文章基于混合區(qū)間刪失下研究逆指數(shù)瑞利分布的可靠性，將測試時(shí)間t0以及觀測區(qū)間設(shè)為隨機(jī)選取更具有隨機(jī)性。

1? 極大似然估計(jì)

逆指數(shù)瑞利分布的分布函數(shù)（CDF）為：

（1）

其中α為形狀參數(shù)，β為比例參數(shù)。其概率密度函數(shù)（PDF）為：

（2）

其可靠度函數(shù)和失效率函數(shù)分別為：

（3）

（4）

混合區(qū)間刪失試驗(yàn)方案如下：有一批服從逆指數(shù)瑞利分布的產(chǎn)品，從中隨機(jī)選擇n個(gè)產(chǎn)品從0時(shí)刻開始進(jìn)行壽命試驗(yàn)。確定觀測時(shí)刻0＜t0＜t1…＜tk-1＜tk=+∞，對(duì)n個(gè)測試產(chǎn)品進(jìn)行跟蹤觀測到t0時(shí)刻，且能觀測到m個(gè)測試產(chǎn)品的失效時(shí)刻為，x1≤x2≤…≤xm其中m為隨機(jī)變量。對(duì)于給定的n和p（0＜p＜1），分為兩種情況：

情形1：如果m≥[np]，則試驗(yàn)終止，所有未失效的產(chǎn)品全部撤出試驗(yàn)，即為定時(shí)截尾試驗(yàn)，這樣在時(shí)刻t0之前獲得具體的觀測數(shù)據(jù)，在時(shí)刻t0之后獲得一個(gè)區(qū)間刪失數(shù)據(jù)。

情形2：如果m＜[np]，在t0之后每隔一段時(shí)間進(jìn)行1次觀測，在觀測時(shí)刻tj得到dj個(gè)產(chǎn)品在區(qū)間[tj-1，tj）（ j = 1，2，…，k）內(nèi)失效。這樣，在t0之前獲得具體的觀測數(shù)據(jù)，在t0之后獲得k個(gè)區(qū)間刪失數(shù)據(jù)。

情形1中，根據(jù)觀測樣本得到似然函數(shù)為：

（5）

將式（1）、式（2）代入式（5）中，得到：

（6）

對(duì)式（6）兩邊取對(duì)數(shù)得到：

（7）

根據(jù)式（7）對(duì)α求導(dǎo)數(shù)并且令等式等于0，得到：

（8）

根據(jù)式（7）對(duì)β求導(dǎo)數(shù)并且令等式等于0，得到：

（9）

由式（8）可得參數(shù)α的MLE為：

（10）

由式（9）可得：

（11）

將式（10）代入式（11）中，得到參數(shù)β的MLE為：

（12）

運(yùn)用Newton Iteration法可以得到β的估計(jì)值。同時(shí)，利用MLE的不變性，可以得出可靠度函數(shù)R1（t）和失效率函數(shù)h1（t）分別為：

（13）

（14）

情形2中，根據(jù)觀測樣本得到似然函數(shù)為：

對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：

將式（15）對(duì)α求導(dǎo)數(shù)并且令等式等于0，得到：

將式（16）對(duì)β求導(dǎo)數(shù)并且令等式等于0，得到：

參數(shù)α，β的MLE需要通過式（16）和式（17）求解得到，但無法獲得解析表達(dá)式，采用EM算法對(duì)參數(shù)α，β進(jìn)行估計(jì)。

EM算法（Expectation-Maximization Algor-ithm）是一種用于估計(jì)含有隱變量的概率模型參數(shù)的算法。其基本思想是通過迭代的方式，依次進(jìn)行“期望（Expectation）”和“最大化（Maxi-mization）”兩個(gè)步驟，直到收斂為止，是處理缺失數(shù)據(jù)的一種較好的方法，具有收斂速度快與迭代初值無關(guān)的特點(diǎn)?？梢园凑找韵虏襟E進(jìn)行：

1）確定模型的參數(shù)和隱變量；

2）給定觀測數(shù)據(jù)，初始化參數(shù)的值；

3）迭代進(jìn)行“期望”和“最大化”兩個(gè)步驟，直到收斂為止；

4）根據(jù)收斂后的參數(shù)值，計(jì)算模型的概率分布或分類結(jié)果。

本文運(yùn)用EM算法對(duì)參數(shù)α，β進(jìn)行估計(jì)。

情形2下，記Y = （Y1，Y2，…，Yk），Yj = （Yj1，Yj2，…，），且? 為產(chǎn)品在[tj-1，tj）內(nèi)產(chǎn)品失效時(shí)刻構(gòu)成的向量。

由條件密度公式可以得到? 的概率密度函數(shù)（PDF）為：

令 ，，則有：

令U = （x1，x2，…，xm），將U和Y結(jié)合得到W = （U，Y），其中W是偽完全數(shù)據(jù)，基于W的似然函數(shù)為：

對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：

E步：對(duì)ln Lc （w，α，β）求期望得：

其中：

M步：極大化Q（w，α，β），對(duì)Q（w，α，β）分別關(guān)于α和β求一階偏導(dǎo)數(shù)，令等式等于0，得到：

由式（18）、式（19）分別得到：

因此，得到：

由式（22）可以得到參數(shù)α的迭代公式為：

其中α（s）為α的第s次迭代值，經(jīng)過多次迭代可以得到參數(shù)α的最終估計(jì)值，記為? 根據(jù)式（23）可以得到β的迭代公式為：

利用式（25），經(jīng)過多次迭代可以得到參數(shù)β的最終估計(jì)值，記為 。其可靠度函數(shù)R2（t）和失效率函數(shù)h2（t）分別為：

2? ?漸近置信區(qū)間

令參數(shù)θ = （α，β）由式（8）和式（9）給出θ的Fisher信息矩陣I（θ）為：

情形1：

（26）

矩陣中的元素為：

由于式（26）的期望很難求解，所以我們?cè)谟?jì)算中使用觀測Fisher信息矩陣（OFI），獲得? 為：

則觀測Fisher信息矩陣的逆就是參數(shù)MLE的方差-協(xié)方差矩陣? 為：

情形2：

在觀測區(qū)間[tj-1，tj）由式（16）和式（17）計(jì)算給出θ的Fisher信息矩陣為：

矩陣中的元素為：

由于極大似然估計(jì)? 漸進(jìn)服從正態(tài)分布，期望為θ，方差-協(xié)方差矩陣為 ，其中? 為? 的逆矩陣，得到：

因此，參數(shù)θ的置信度為100（1-ε）%的漸近置信區(qū)間為：

區(qū)間長度為：

（27）

其中? 是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的? 上分位數(shù)。

3? 模擬分析

為了研究樣本量和截尾方式對(duì)參數(shù)估計(jì)精度的影響，首先給定樣本量n，參數(shù)α = 1，β = 2，生成混合區(qū)間刪失逆指數(shù)Rayleigh分布數(shù)據(jù)步驟如下：

1）給定n = 60，80，100，120，160，200。

2）從均勻分布U（0，1）中，生成n個(gè)獨(dú)立同分布樣本，記為U1，U2，…，Un。

3）令 其中（x1，x2，…，xn）為逆指數(shù)瑞利分布的樣本。

4）給定觀測點(diǎn)t0 = 1.8，t1 = 2.8，t2 = 3.4，t3 = 4.2，t4=+∞得到t0之前的觀測樣本為x1，x2，…，xm及在區(qū)間（t0，t1]，（t1，t2]，（t2，t3]，（t3，t4]內(nèi)的失效數(shù)分別為d1，d2，d3，d4，運(yùn)用Matlab模擬得到混合區(qū)間刪失樣本。

5）根據(jù)生成的樣本利用式（10）、式（24）、式（27）求得參數(shù)α，β的極大似然估計(jì)值和置信區(qū)間長度。

6）將上述步驟模擬1 000次，在不同的樣本量n下，分別計(jì)算平均相對(duì)誤差（ARE）、均方誤差（MSE），模擬數(shù)值如表1所示，其中：

當(dāng)α = 1，β = 2時(shí)，取t = 2.8，利用式（3）計(jì)算得到R（2.8） = 0.225 2。根據(jù)上述樣本計(jì)算出可靠度估計(jì)值的平均值? 以及可靠度的相對(duì)偏差（ARE）如表1所示，其中：

當(dāng)失效概率設(shè)定為p = 0.5時(shí)，95%以上的是定時(shí)截尾樣本，當(dāng)失效概率設(shè)定為p = 0.8時(shí)，90%以上的是混合區(qū)間刪失樣本，當(dāng)樣本量n保持不變時(shí)，從參數(shù)α，β的均方誤差、平均相對(duì)偏差、平均區(qū)間長度看出，基于混合區(qū)間刪失樣本所得到的參數(shù)α，β估計(jì)值都要小于定時(shí)截尾樣本下參數(shù)α，β的估計(jì)值，說明在樣本量n一樣的情況下選擇合適的混合區(qū)間刪失試驗(yàn)方案能夠提高參數(shù)的估計(jì)精度。在給定不同的樣本量n時(shí)，隨著樣本量n的增加，參數(shù)α，β的均方誤差、平均相對(duì)偏差、區(qū)間長度在不斷的變小，說明樣本量越大估計(jì)的精度越高同時(shí)估計(jì)量具有大樣本性質(zhì)。

4? 結(jié)? 論

當(dāng)產(chǎn)品壽命服從逆指數(shù)瑞利分布時(shí)，討論了基于混合區(qū)間刪失試驗(yàn)得到的參數(shù)估計(jì)和可靠度估計(jì)。結(jié)果表明：隨著樣本量的逐漸增加，混合區(qū)間刪失的平均誤差變小，均方誤差逐漸變小，區(qū)間長度變短，說明混合區(qū)間刪失試驗(yàn)的效果更優(yōu)越。從而，在混合區(qū)間刪失方案下對(duì)逆指數(shù)瑞利分布進(jìn)行可靠性估計(jì)能夠提高結(jié)果的精確度。

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作者簡介：盛會(huì)堯（1997—），男，漢族，遼寧丹東人，

碩士研究生在讀，研究方向：可靠性試驗(yàn)；通訊作者：蔡靜（1980—），女，漢族，山東濰坊人，教授，博士，研究方向：可靠性試驗(yàn)、應(yīng)用統(tǒng)計(jì)；何瑞（1995—），女，穿青人，貴州畢節(jié)人，

碩士研究生在讀，研究方向：可靠性試驗(yàn)；周莎莎（1997—），女，漢族，貴州都勻人，本科在讀，研究方向：可靠性試驗(yàn)。