結(jié)合面法向接觸阻尼能量耗散彈塑性分形模型*

孫 萬(wàn),姚志廣,任曉霞,郭政堃,蘭國(guó)生

(1.山西能源學(xué)院機(jī)電工程系,晉中 030600;2.太原科技大學(xué)環(huán)境與資源學(xué)院,太原 030024)

0 引言

眾所周知,制造業(yè)是我國(guó)戰(zhàn)略規(guī)劃的主要產(chǎn)業(yè)之一,機(jī)床特別是數(shù)控機(jī)床在由原先只為滿(mǎn)足預(yù)定功能的要求逐漸向性能好、精度高、速度快、運(yùn)行穩(wěn)定等方面發(fā)展。然而結(jié)合面在機(jī)械系統(tǒng)中是不可缺少的,對(duì)機(jī)械系統(tǒng)的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)行為都有顯著影響[1-2]。表面之間的接觸在許多自然現(xiàn)象和工程應(yīng)用中起著重要作用。大多數(shù)表面在微觀尺度上是粗糙的,因此實(shí)際接觸面積僅為名義面積的一小部分。表面之間的相互作用,如電流、熱量、法向力和剪切力的流動(dòng),都發(fā)生在這個(gè)小的實(shí)際接觸面積上。

機(jī)械結(jié)合面的形式和材料各異,根據(jù)具體應(yīng)用需求,可選擇例如螺紋連接、鍵槽連接、鎖定套筒連接、正圓錐連接等不同的結(jié)合方式。機(jī)械結(jié)合面的材料也有很多選擇,例如鑄鐵、鋁合金、鋼等。在機(jī)械制造過(guò)程中,機(jī)械結(jié)合面需要經(jīng)過(guò)加工工藝,例如銑削、車(chē)削、磨削等加工方法,以達(dá)到精確的尺寸和光潔度。此外,機(jī)械結(jié)合面的表面質(zhì)量對(duì)于機(jī)械配合的性能和壽命有很大的影響,光潔度和平整度越高,使用壽命就越長(zhǎng)。機(jī)械接觸特性由許多因素決定:表面形貌、材料參數(shù)、施加的載荷、滑動(dòng)速度等。

REN等[3]指出機(jī)床總剛度的60%～80%都來(lái)自其結(jié)合面。IBRAHIM等[4]指出機(jī)械總阻尼的90%都來(lái)自結(jié)合面。為此,許多學(xué)者從理論、實(shí)驗(yàn)和數(shù)值分析等方面對(duì)結(jié)合面接觸特性進(jìn)行了深入研究。CHANG、GAO等[5-6]針對(duì)特定機(jī)械結(jié)構(gòu),通過(guò)試驗(yàn)?zāi)B(tài)或頻率響應(yīng)分析與結(jié)構(gòu)的集中參數(shù)、分布參數(shù)或有限元模型結(jié)合,分析結(jié)合面接觸特性參數(shù)(剛度、阻尼),但是這些方法所需工作量大,通用性差,無(wú)法分析結(jié)合面的普遍規(guī)律;尤晉閩等[7-8]針對(duì)大部分粗糙面具有分形特性,建立了結(jié)合面接觸特性分形模型,但忽略了分布域擴(kuò)展因子這一因素;LAN等[9]考慮了微凸體的變形過(guò)程,建立了結(jié)合面法向剛度和阻尼預(yù)測(cè)模型;PAN等[10]針對(duì)結(jié)合面存在干摩擦的情況,通過(guò)建立三維接觸模型,研究了結(jié)合面接觸阻尼特性;王慶朋、傅衛(wèi)平等[11-12]依據(jù)微凸體變形過(guò)程,結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)理論對(duì)結(jié)合面接觸阻尼進(jìn)行量化,但是這種方法受儀器精度的影響,其研究結(jié)果并不具備唯一性;文獻(xiàn)[7]～文獻(xiàn)[12]所建模型與結(jié)合面基體質(zhì)量有關(guān),不同基體質(zhì)量的結(jié)合面接觸阻尼并不相同,這就使得模型不再具有普適性。陳永會(huì)等[13]以彈簧和黏性阻尼器等效結(jié)合面法向動(dòng)力學(xué)特性,由此所建阻尼模型與基體質(zhì)量無(wú)關(guān),所得規(guī)律更具普適性;陳永會(huì)等[14]使用彈性力學(xué)表達(dá)式和塑性力學(xué)表達(dá)式擬合了彈塑性力學(xué)表達(dá)式,根據(jù)這種特定的彈塑性力學(xué)表達(dá)式獲得了處于彈塑性變形階段的微凸體的能量?jī)?chǔ)存與損耗,進(jìn)而建立了彈塑性阻尼模型,但這種分離彈塑性能量?jī)?chǔ)存和耗散方法通用性差。綜上所述,在結(jié)合面法向接觸阻尼能量耗散的理論建模研究工作較少。

鑒于此,本文考慮了分布域擴(kuò)展因子和彈塑性變形機(jī)制對(duì)結(jié)合面特性的影響,通過(guò)引入微凸體的加卸載模型,推導(dǎo)出處于彈塑性變形的微凸體的能量?jī)?chǔ)存與耗散表達(dá)式,建立了更為符合實(shí)際接觸情況的結(jié)合面法向接觸阻尼能量耗散模型及其損耗因子彈塑性分形模型。通過(guò)仿真分析研究相關(guān)參數(shù)對(duì)結(jié)合面法向接觸阻尼能量耗散的影響,通過(guò)與經(jīng)典模型比較驗(yàn)證模型的有效性。

1 結(jié)合面微凸體加卸載接觸力學(xué)模型

為方便研究將結(jié)合面的接觸等效為一粗糙表面和一剛性平面的接觸。等效粗糙表面上有不同曲率的半球體。設(shè)其等效曲率半徑為R,當(dāng)在法向力的作用下,接觸區(qū)域半徑為r,法向接觸變形為ω。若此時(shí)去除法向力的作用,微凸體恢復(fù)變形,由于存在殘余變形,所以完全卸載后殘余變形量為ωres。

圖1 微凸體加卸示意圖

1.1 彈性變形

彈性微凸體接觸載荷和接觸面積與變形量之間的關(guān)系分別為:

(1)

a=πRω

(2)

由式(1)和式(2)可得:

(3)

其彈性應(yīng)變能為wine,若此時(shí)去除作用在微凸體上的力,微凸體恢復(fù)原始形態(tài),所以彈性?xún)?chǔ)能等于彈性應(yīng)變能,即:

(4)

1.2 彈塑性變形

微凸體的彈性臨界變形量為[15]:

(5)

式中:H為較軟材料的硬度,K硬度系數(shù),硬度系數(shù)和較軟材料的泊松比之間的關(guān)系為K=0.454+0.41v。

兩段彈塑性微凸體接觸載荷和接觸面積與變形量之間的關(guān)系分別為[16]:

(6)

(7)

由式(5)～式(7)可得,一段彈塑性臨界接觸面積為aepc=7.1197aec,二段彈塑性臨界接觸面積為apc=205.3827aec,處于兩段彈塑性微凸體接觸載荷分別為:

(8)

(9)

由式(6)和式(8)可得,一段彈塑性微凸體的應(yīng)變能為:

(10)

由式(7)和式(9)可得,二段彈塑性微凸體的應(yīng)變能為:

(11)

彈塑性微凸體在卸載過(guò)程中接觸載荷和接觸面積與接觸變形量之間的關(guān)系分別為[17]:

(12)

(13)

式中:pu和au分別為微凸體加載變形量為ωmax時(shí),對(duì)應(yīng)的接觸載荷和接觸面積。殘余變形量ωres與加載最大變形量的ωmax關(guān)系如下:

(14)

由式(12)、式(13)可得:

(15)

(16)

由式(6)、式(8)、式(14)和式(16)可得,一段彈塑性微凸體所儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能為:

(17)

由式(7)、式(9)、式(14)和式(16)可得,二段彈塑性微凸體所儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能為:

(18)

1.3 塑性變形

塑性微凸體接觸載荷和接觸面積與接觸變形量之間的關(guān)系分別為[18]:

pp=2πHRω

(19)

a=2πRω

(20)

由式(19)和式(20)可得:

pp=Ha

(21)

由式(20)和式(21)可得,塑性微凸體應(yīng)變能為winp,若此時(shí)去除作用在微凸體上的力,微凸體已經(jīng)屈服不會(huì)復(fù)原,因此能量耗損等于塑性應(yīng)變能,即:

(22)

2 結(jié)合面法向接觸阻尼分形模型

2.1 分形理論

根據(jù)文獻(xiàn)[19]可知,改進(jìn)的等效單變量W-M函數(shù)的余弦項(xiàng)為:

(23)

式中:r為微凸體接觸半徑,φ1,n0為(0,2π)范圍內(nèi)均勻分布的隨機(jī)相位,G為分形粗糙度參數(shù),D為粗糙表面分形維數(shù),γ為隨機(jī)輪廓的空間頻率,一般取值為1.5。

等效微凸體的曲率半徑為:

(24)

式中:g1(D)=21-D×π1+0.5D(lnγ)0.5GD-1,a=πr2為微凸體截?cái)嘟佑|面積。

微凸體接觸面積的分布函數(shù)為[20-21]:

(25)

式中:al為最大的微凸體接觸面積,ψ微接觸分布域擴(kuò)展因子,它與粗糙表面分形維數(shù)的關(guān)系為:

[ψ(2-D)/2-(1+ψ-D/2)-(2-D)/D]/[(2-D)/D]=1,(ψ>1)

當(dāng)微凸體接觸面積a小于其彈性臨界接觸面積aec時(shí),微凸體將處于彈性變形階段,即:

(26)

當(dāng)微凸體的接觸面積a大于其彈性臨界接觸面積aec,小于其一段彈塑性臨界接觸面積aepc時(shí),微凸體將處于一段彈性變形階段,即:

(27)

當(dāng)微凸體的接觸面積a大于其一段彈塑性臨界接觸面積aepc時(shí),小于其二段彈塑性臨界接觸面積apc時(shí),微凸體將處于二段彈性變形階段,即:

(28)

當(dāng)微凸體的接觸面積a大于其二段彈塑性臨界接觸面積apc時(shí),微凸體將處于塑性變形階段,即a≤ac2。

2.2 結(jié)合面法向接觸阻尼能量耗散建模

結(jié)合面的真實(shí)接觸面積為:

(29)

由式(3)、式(5)、式(8)、式(9)、式(21)、式(24)和式(25)可得,結(jié)合面總法向載荷為:

(30)

由式(4)、式(5)、式(10)、式(11)、式(22)、式(24)和式(25)可得,結(jié)合面總的應(yīng)變能為:

(31)

由式(4)、式(5)、式(17)、式(18)、式(24)和式(25)可得,結(jié)合面總的彈性勢(shì)能為:

(32)

由式(31)和式(32)可得,結(jié)合面總的能量損耗即為結(jié)合面總的法向力所做功減去儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能:

Wd=Win-Ws

(33)

由式(32)和式(33)可得結(jié)合面的阻尼損耗因子η為:

(34)

對(duì)所建模型無(wú)量化處理:

(35)

3 所建模型的仿真與分析

3.1 仿真計(jì)算

等效粗糙表面的計(jì)算參數(shù)如表1所示,根據(jù)上文中推導(dǎo)出的結(jié)合面實(shí)際接觸面積,法向接觸載荷,法向接觸阻尼能量耗散,法向彈性?xún)?chǔ)能無(wú)量綱形式的計(jì)算公式,將表1中的參數(shù)輸入計(jì)算機(jī)用MATLAB程序計(jì)算可以得到無(wú)量綱理論結(jié)果的數(shù)值解。

表1 等效三維粗糙表面力學(xué)特性計(jì)算參數(shù)

3.2 仿真結(jié)果分析

(a) G*=10-11

(a) D=1.3 (b) D=1.5

(a) G*=10-11

(a) D=1.3 (b) D=1.5

基于考慮彈塑性變形機(jī)制的法向接觸載荷和法向接觸阻尼能量耗散及其損耗因子分析,本文研究了結(jié)合面法向載荷和粗糙表面分形參數(shù)對(duì)法向接觸阻尼能量耗散及其損耗因子的影響。本文所建模型其變化趨勢(shì)與經(jīng)典模型[9-11、22-23]以及實(shí)驗(yàn)[10]變化趨勢(shì)一致。因此本文的建模方法以及所建模型的預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)于工程應(yīng)用有一定的參考價(jià)值。

(2)由圖6可得,處于彈塑性一階段變形的微凸體,隨著其接觸面積的減小,下壓變形量與臨界變形量比值由6減小到1,可恢復(fù)變形量與下壓變形量比值由72.01%增加到99.92%,能量耗損與彈塑性一段應(yīng)變能比值由27.65%減小到2.92%;處于彈塑性二階段變形的微凸體,隨著其接觸面積的減小,下壓變形量與臨界變形量比值由110減小到6,可恢復(fù)變形量與下壓變形量比值由31.95%增加到70.56%,能量耗損與彈塑性一段應(yīng)變能比值由72.51%減小到29.67%。

(a) 彈塑性一階段 (b) 彈塑性二階段

(3)由圖7可得,無(wú)論G*取何值,隨著結(jié)合面分形維數(shù)D增大,處于彈塑性一階段變形的所有微凸體的能量耗損與彈塑性一段應(yīng)變能比值由3.28%增加到13.06%,其能量?jī)?chǔ)存大于能量耗散;處于彈塑性二階段變形的所有微凸體的能量耗損與彈塑性一段應(yīng)變能比值由33.70%增加到52.05%,當(dāng)D=1.1～1.7時(shí),其能量?jī)?chǔ)存大于能量耗散,當(dāng)D=1.8～1.9時(shí),其能量?jī)?chǔ)存小于能量耗散。

(a) 彈塑性一階段 (b) 彈塑性二階段

(4)由圖8可得,無(wú)論G*取何值,隨著結(jié)合面分形維數(shù)D增大,結(jié)合面上彈塑性區(qū)的能耗與其彈塑性應(yīng)變能之比由3.28%增加到36.13%;結(jié)合面上彈塑性一區(qū)能耗與總能耗比值由99.99%減小到3.14%;結(jié)合面上彈塑性二區(qū)能耗與總能耗比值先由0%增加到53.92%再減小到18.13%,在D=1.6時(shí),比值最大;結(jié)合面上塑性能耗與總能耗比值由0%增加到78.72%。當(dāng)D=1.1～1.52時(shí),彈塑性一區(qū)能耗占比最大,當(dāng)D=1.52～1.74時(shí),彈塑性二區(qū)能耗占比最大,當(dāng)D=1.74～1.9時(shí),塑性能耗占比最大。

(a) G*=10-11～10-9 (b) G*=10-11～10-9

(a) D=1.3,G*=10-11 (b) D=1.5,G*=10-10

4 結(jié)論

(1)結(jié)合面法向接觸阻尼能量耗散及其損耗因子隨著分形粗糙度參數(shù)的增大而增大;隨著分形維數(shù)的增大先減小后增大,且在1.2附近出現(xiàn)最小值。

(2)結(jié)合面法向接觸阻尼能量耗散隨著法向接觸載荷的增大而增大,損耗因子隨著法向接觸載荷的增大而減小。

(3)通過(guò)與經(jīng)典模型比較,證明了本文模型的有效性,并揭示了未考慮彈塑性變形機(jī)制會(huì)高估結(jié)合面法向接觸阻尼能量耗散。本文模型可為結(jié)合面接觸阻尼的研究提供理論基礎(chǔ),有助于加深對(duì)粗糙表面摩擦及磨損機(jī)理的認(rèn)識(shí)。