在數(shù)學(xué)解題中培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力

郭 敏 夏正亮

(江蘇省灌云高級(jí)中學(xué),江蘇 連云港 222200)

高中數(shù)學(xué)是一門對(duì)邏輯思維要求較高的學(xué)科,細(xì)致的觀察是縝密思維的基礎(chǔ).為此,在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師要將培養(yǎng)學(xué)生良好的觀察能力寓于平時(shí)的數(shù)學(xué)解題中,助力學(xué)生數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng)的不斷提升.

1 立足整體,確立基本思想

要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察能力,首先要讓學(xué)生在審題觀察時(shí)立足整體,對(duì)整體有一個(gè)基本的了解,尋找出在這個(gè)整體中涉及相關(guān)問(wèn)題的思想方法和核心本質(zhì),只有將相關(guān)思想方法確定,再運(yùn)用已知條件解決問(wèn)題才會(huì)事半功倍[1].

如:一個(gè)細(xì)胞在進(jìn)行分裂時(shí),需要10分鐘完成一次分裂,由1個(gè)分裂成2個(gè),2個(gè)分裂為4個(gè),4個(gè)分裂為8個(gè),以此類推,問(wèn)1個(gè)細(xì)胞一小時(shí)后分裂為多少個(gè)?教師在課堂上呈現(xiàn)問(wèn)題后讓學(xué)生進(jìn)行觀察,通過(guò)整體觀察,確定這個(gè)問(wèn)題考查的是指數(shù)函數(shù),進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生將求解過(guò)程寫(xiě)下來(lái).學(xué)生在思考后得出解題思路,設(shè)細(xì)胞分裂次數(shù)為x,則對(duì)于細(xì)胞個(gè)數(shù)為y,得到指數(shù)函數(shù)y=2x,因?yàn)樗髥?wèn)題為一小時(shí)后細(xì)胞個(gè)數(shù),則x有了對(duì)應(yīng)值,當(dāng)x=6時(shí),得到y(tǒng)=26,求得y=64,即1個(gè)細(xì)胞分裂一小時(shí)后數(shù)量為64個(gè).學(xué)生通過(guò)對(duì)問(wèn)題的整體觀察,能夠快速地得到這個(gè)問(wèn)題的基本思想,隨后分析出這個(gè)問(wèn)題給出的條件為10分鐘完成一次分裂,求解一小時(shí)分裂的數(shù)量,得出這一小時(shí)細(xì)胞分裂了6次,進(jìn)而得到解題方法,讓學(xué)生逐步運(yùn)用已知條件進(jìn)行解題.

立足整體并觀察整體,在其中找出問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn),對(duì)于學(xué)生解題來(lái)說(shuō),能夠讓學(xué)生從多角度進(jìn)行思考,并且運(yùn)用所學(xué)知識(shí)點(diǎn)得到不同的解題方法,使學(xué)生在解題時(shí)能夠舉一反三、融會(huì)貫通,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的拓展與深化、訓(xùn)練思維的靈活性和發(fā)散性.

2 抓住隱含,掌握數(shù)值關(guān)系

在整體的問(wèn)題中,有的已知條件非常明顯,但是有的條件是含而不露,需要學(xué)生通過(guò)觀察再聯(lián)系所學(xué)知識(shí)才能明確這些隱含的已知條件,將所有條件聯(lián)系起來(lái)才能使學(xué)生進(jìn)一步掌握所有數(shù)值之間的關(guān)系,進(jìn)而解決問(wèn)題.為抓住隱含條件,僅僅通過(guò)觀察整體是不夠的,還要在整體的基礎(chǔ)上進(jìn)一步深入,掌握關(guān)鍵性問(wèn)題,這需要教師進(jìn)行合理的引導(dǎo),讓學(xué)生在觀察中逐步形成習(xí)慣.

隱含條件在問(wèn)題中通常是作為連接橋梁存在的,只有將隱含條件找出,問(wèn)題才會(huì)轉(zhuǎn)化為一個(gè)熟悉的等式.比如一個(gè)細(xì)胞在進(jìn)行分裂時(shí),需要10分鐘完成一次分裂,由1個(gè)分裂成2個(gè),2個(gè)分裂為4個(gè),4個(gè)分裂為8個(gè),以此類推,問(wèn)1個(gè)細(xì)胞一小時(shí)后分裂為多少個(gè)?通過(guò)觀察問(wèn)題整體,除了能夠得到表面條件,也能夠發(fā)現(xiàn)其隱含條件,即一個(gè)小時(shí),問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為1個(gè)細(xì)胞60分鐘的數(shù)量,已知1個(gè)細(xì)胞10分鐘完成一次分裂,那么這個(gè)細(xì)胞分裂了6次.抓住這個(gè)條件后,學(xué)生得出指數(shù)函數(shù)y=2x,最后求得答案.在平常解題過(guò)程中,這樣的隱含條件通常會(huì)以常識(shí)性知識(shí)點(diǎn)存在于問(wèn)題中,比如三角形的內(nèi)角和、圓周率等.這需要學(xué)生在觀察問(wèn)題整體時(shí)要注意條件的銜接,通過(guò)聯(lián)系問(wèn)題中的上下文尋找需要的條件,當(dāng)然這也需要學(xué)生在掌握基礎(chǔ)問(wèn)題的基礎(chǔ)上能夠完整地將知識(shí)點(diǎn)銜接,逐步將條件清晰化,讓問(wèn)題中數(shù)值相聯(lián)系,這樣才能逐步找到解題方法,最終鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察能力.

3 分析結(jié)構(gòu),探索具體思路

在觀察問(wèn)題過(guò)程中,有部分?jǐn)?shù)學(xué)問(wèn)題具有一定結(jié)構(gòu)特征和數(shù)形特征,把握住這些問(wèn)題特定的結(jié)構(gòu)特征能夠使學(xué)生得到具體的思路.所以,在觀察過(guò)程中要注意分析問(wèn)題結(jié)構(gòu),從結(jié)構(gòu)中逐步探索具體思路.

學(xué)生平時(shí)在解數(shù)學(xué)習(xí)題時(shí),經(jīng)常會(huì)碰到具有特定結(jié)構(gòu)的問(wèn)題,比如x2+y2-xy=1,求解x+y的最大值.對(duì)于這樣的問(wèn)題,教師在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察時(shí),要讓學(xué)生注意問(wèn)題的結(jié)構(gòu),再通過(guò)結(jié)構(gòu)探索解題思路.而對(duì)于上面這一例題,通過(guò)x2+y2、x+y、xy的結(jié)構(gòu),進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想,可聯(lián)想到均值不等式,這樣就有了初步的解題思路,得到x2+y2-xy=(x+y)2-3xy=1,最終解得x+y≤2.通過(guò)觀察問(wèn)題結(jié)構(gòu)能夠讓學(xué)生在解題過(guò)程中找到思路,但是這種問(wèn)題也不僅僅是觀察結(jié)構(gòu)就能夠完全尋找到解題方法的,還需要學(xué)生對(duì)其他知識(shí)也能夠靈活運(yùn)用,兩者相結(jié)合才能順利解題,不然只會(huì)使學(xué)生在考試中將分?jǐn)?shù)丟掉.所以教師在教學(xué)過(guò)程不能只注重對(duì)教學(xué)方法的訓(xùn)練,也加強(qiáng)學(xué)生對(duì)教材知識(shí)的掌握,這樣才能在解題中引導(dǎo)學(xué)生快速分析出思路.邏輯思維能力的培養(yǎng)是建立在學(xué)生牢固掌握教材知識(shí)點(diǎn)的基礎(chǔ)之上的,如果學(xué)生在解題過(guò)程中無(wú)法靈活運(yùn)用知識(shí)點(diǎn),那么在下次遇到相似的問(wèn)題時(shí)還是會(huì)無(wú)從下手.

4 注意特值,進(jìn)行合理猜測(cè)

對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析是解題前的基本要求,只有先找出其中的規(guī)律才能逐步探索出思路,最后將問(wèn)題解出答案.在部分問(wèn)題中,有一些特值會(huì)在問(wèn)題中出現(xiàn),學(xué)生在觀察時(shí)需把握這些特值,通過(guò)特值進(jìn)行大膽猜測(cè).雖然特值是一定的,但是也需要學(xué)生在觀察時(shí)要有直接性,這需要學(xué)生在課下多多積累[2].

某礦泉水經(jīng)營(yíng)部每桶水的進(jìn)價(jià)為5元,每天的固定房租、工人工資等固定成本為200元,銷售單價(jià)每增加1元,日均銷售量就會(huì)減少40桶,單價(jià)為6元銷售量為480桶,單價(jià)為7元銷售量為440桶,單價(jià)為8元銷售量為400桶,以此類推,單價(jià)為12元銷售量為240桶,根據(jù)以上數(shù)據(jù)求解這個(gè)經(jīng)營(yíng)部怎樣定價(jià)才能獲得最大利潤(rùn).通過(guò)這個(gè)問(wèn)題,教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察,會(huì)發(fā)現(xiàn)單價(jià)每上漲1元,日均銷售量就會(huì)下降40桶,基于這個(gè)條件教師引導(dǎo)學(xué)生猜測(cè)根據(jù)這個(gè)下降數(shù)量,應(yīng)該定價(jià)為多少呢?由于是初步猜測(cè),答案可能很多種.隨后引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)數(shù)據(jù)列出函數(shù)模型進(jìn)行驗(yàn)證,設(shè)在進(jìn)價(jià)基礎(chǔ)上增加x元后,日均經(jīng)營(yíng)利潤(rùn)為y元,則日均銷量為480-40(x-1)=520-40x,即0

為培養(yǎng)學(xué)生的直接觀察能力,讓學(xué)生在觀察過(guò)程中發(fā)現(xiàn)特值,教師要在引導(dǎo)過(guò)程中經(jīng)常提醒學(xué)生,加深學(xué)生對(duì)特值的記憶,進(jìn)而提高解決問(wèn)題的效率.

5 數(shù)形結(jié)合,尋找最優(yōu)解法

數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,將其合理利用到數(shù)學(xué)解題過(guò)程中往往可以起到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的良好效果.這種解題方法在函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、解析幾何及不等式最值等多種題目中都可以應(yīng)用.教師要培養(yǎng)學(xué)生解題先想圖、以圖助解題的習(xí)慣,通過(guò)分析數(shù)與式的結(jié)構(gòu)并適時(shí)將它們相互轉(zhuǎn)換,尋找題目的最優(yōu)解法.

圖1 y=x2+2與圖象

教學(xué)中,我們可以從實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系、函數(shù)與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系、曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系以及復(fù)數(shù)、三角函數(shù)、不等式等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)入手,建立起抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形之間的聯(lián)系,綜合利用以形助數(shù)或以數(shù)解形的方法來(lái)找到解題的切入點(diǎn),提升解題效率.

6 構(gòu)造函數(shù),實(shí)現(xiàn)條件轉(zhuǎn)化

構(gòu)造函數(shù)法指的是學(xué)生在解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),通過(guò)挖掘題目中潛在的信息,觀察已知式子的結(jié)構(gòu)特征,可以利用作差法、分離參數(shù)、換元法、放縮法等方法構(gòu)造與原函數(shù)相關(guān)的適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),以此將陌生問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉問(wèn)題,實(shí)現(xiàn)題目的順利解決.這種解題方法適用于求解導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性等類型的題目,需要學(xué)生熟悉掌握并能巧妙運(yùn)用到解題過(guò)程中去.

如:設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(1)=0,當(dāng)x<0時(shí),有xf′(x)-f(x)>0恒成立,則不等式f(x)>0的解集為_(kāi)___.我們觀察到題目中出現(xiàn)了“-”的形式,要想解答這道題目,就需要學(xué)生用到構(gòu)造法的解題策略.構(gòu)造F(x)=f(x)/x,則F′(x)=f′(x)x-f(x)/x2.當(dāng)x<0時(shí),f′(x)x-f(x)>0,即當(dāng)x<0時(shí),F′(x)>0,F(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增.根據(jù)已知條件f(x)是定義在R上的偶函數(shù),y=x為奇函數(shù),則F(x)為奇函數(shù),順勢(shì)推出F(x)在(0,+∞)上也單調(diào)遞增.接著,利用f(1)=0,則F(1)=0,綜合函數(shù)奇偶性、單調(diào)性等條件便可大致畫(huà)出F(x)的函數(shù)圖象,觀察圖象便可直接確定不等式f(x)>0的解集為(-∞,1)∪(1,+∞).

7 結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)觀察能力的水平高低在一定程度上影響了學(xué)生的解題能力,尤其新課標(biāo)已明確提出要發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng),提高學(xué)生的綜合素質(zhì)能力.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察能力不僅能夠提高學(xué)生解題能力,也能夠鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力,通過(guò)觀察與數(shù)學(xué)思維相結(jié)合,促使學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量得到提升.