以大概念為核心，培養(yǎng)學生量感
——以三年級上冊“周長的認識”為例

浙江杭州市錢塘區(qū)江灣小學 （310018） 胡錦洪

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱《課程標準》）指出，數學課程的目標是培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)，主要包括會用數學的眼光觀察現(xiàn)實世界、會用數學的思維思考現(xiàn)實世界、會用數學的語言表達現(xiàn)實世界（簡稱“三會”）。量感是小學階段核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)之一，是對事物的可測量屬性及大小關系的直觀感知。具體來說，量感即視覺或觸覺對各種物體的規(guī)模、速度、程度等方面的感覺，是對物體大小、長短、多少、方圓、粗細、快慢、輕重等量態(tài)的感性認識。培養(yǎng)量感有助于學生養(yǎng)成用定量分析的方法認識和解決問題的習慣，為形成抽象能力和應用意識奠定基礎。筆者認為，學生量感的形成并非教師直接傳授，而是在教師精心設計下，學生在學習實踐中逐漸領悟。學生需經歷自主探索、嘗試發(fā)現(xiàn)、抽象本質、遷移運用和主動建構的過程。本文結合杭州市錢塘區(qū)文海小學樓宸瑞教師所授“周長的認識”一課，談談以大概念為核心，培養(yǎng)學生量感的策略與途徑。

一、確定大概念，架構素養(yǎng)與知識橋梁

大概念是一種抽象和概括的核心知識，具有聯(lián)系和整合的作用，并能廣泛應用于各種情境。它能夠從事實、經驗和概念中提煉出共同的核心特征，不僅在課程知識學習和核心素養(yǎng)發(fā)展中起到中介轉化整合作用，還能促進學生建構數學知識結構，深度理解數學知識本質，提高知識遷移和應用能力，有效促進學生核心素養(yǎng)的形成。關于如何確定課程對應的大概念，提供以下兩條基本途徑。

一是依據《課程標準》核心概念找大概念。例如，小學階段核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)為：數感、量感、符號意識、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理意識、數據意識、模型意識、應用意識和創(chuàng)新意識。這些核心概念經過抽象概括，符合學生的發(fā)展需求。教師可以把握這些核心概念，進而挖掘教學所需的大概念。具體而言，教師應思考核心概念培養(yǎng)與課程知識學習之間的紐帶，或者說起到課程知識學習與核心概念培養(yǎng)的抓手是什么。以“周長的認識”一課為例，核心概念是量感。教師需要明確培養(yǎng)學生量感的抓手是什么。對于“幾何與圖形”領域，課程內容是這樣描述的：認識圖形主要是對圖形的抽象，認識圖形的特征，積累和思考經驗。圖形的認識與測量有密切關系，讓學生經歷統(tǒng)一度量單位過程，感受統(tǒng)一度量單位的意義，基于度量單位理解圖形的周長。引導學生在推導一些常見圖形周長的過程中，感悟數學度量方法，逐步形成量感。教學中需引導學生發(fā)現(xiàn)，周長的認識與測量密切相關，測量的本質就是度量。因此，“周長的認識”一課對應的大概念就是度量。

二是通過對教材的深度理解去找大概念。大概念深藏于教材知識的內核與深處，要讓大概念呈現(xiàn)出來，可以從知識的產生和發(fā)展、事物的本質和屬性來理解教材，也可以從比較分析不同版本教材知識的共性去深度理解教材。以“周長的認識”一課為例，從事物的本質與屬性出發(fā)，周長可理解為繞有限面積區(qū)域邊緣的單位長度的累加，也就是圖形一周的長度。度量的對象是“周”，度量的屬性是“長”。變的是度量的對象、工具和空間，不變的是長度度量。因此，從知識本質屬性來看，“周長的認識”對應的大概念為度量。對比人教版、北師大版和蘇教版三個版本教材，均有讓學生借助不同測量工具進行測量的環(huán)節(jié)，讓學生在實際測量過程中進一步理解周長。因此，從各版本教材編寫意圖的共性中，可以發(fā)現(xiàn)周長測量的重要性，從而確立本課的大概念為度量。

二、外顯大概念，建立不同維度的目標

外顯大概念是對所培養(yǎng)學生的核心目標進行表征和表述，具體化為可以預見的學習目標。在“周長的認識”一課中，從三個維度對大概念進行描述。一是“認識什么”，即認識周長的感念。①學生能說出周長就是封閉圖形一周的長度。②學生能邊描述邊演示指出找圖形周長的一般方法，即確定起點，沿邊線一周后再回起點。③學生能辨認平面圖形（三角形、正方形、長方形、組合圖形、不封閉圖形）有沒有周長，并能通過改造使不封閉圖形具有周長。二是“理解什么”，即理解周長的含義。①學生應能自主選擇不同的度量工具，對平面圖形進行周長測量。②學生應能解釋“盡管度量工具不同，但周長保持一定”的原理，即周長為封閉圖形一周展開后線段的總長度。③學生應能總結出周長即為度量單位的累積，并能根據平面圖形周長展開后各線段間的關系特征推導出平面圖形的周長，如正方形、菱形、平行四邊形、長方形、五邊形、六邊形等。三是“能做什么”，即比較周長大小。①學生能正確辨認圖形周長的大小。②學生能運用平移的方法解釋周長不變的本質，體會周長大小比較簡便的原理。③學生能舉例說明“圖形的面積越大，周長也越大”的錯誤。

三、建構大概念，感悟度量周長的本質

建構大概念的過程，就是學生不斷探索、積累活動經驗、體會與感悟的過程，學生在學習完“周長的認識”后，除了認識周長、理解周長、掌握比較周長的方法外，學生還應領悟度量這一思想方法。具體而言，認識周長首先要確定度量單位，然后計算圖形包含多少個這樣大小的度量單位，即度量單位的累加。當學生有了這種體驗和感悟，他們在后續(xù)學習面積、角、體積等相關知識時，便能遷移這種經驗和方法。他們會發(fā)現(xiàn)面積、角、體積與周長學習之間的相通之處：面積是多個面積單位的組合，角是多個角的單位累加，體積是多個體積單位的堆積。這些都與度量有關，都是先確定度量單位，然后計算有幾個這樣的度量單位。通過計數去刻畫度量的過程，這就是以大概念為核心，逐漸發(fā)展學生量感的過程。

（一）由感知到體驗，完善周長認識

1.通過操作，感知周長

教學中，樓老師設計了“摸周長”活動，并設置了兩道問題，引導學生在實踐操作中總結規(guī)律。問題1：數學書封面和桌面是否存在周長？出示活動要求：摸一摸，摸數學書封面和桌面的一周。想一想，你有什么發(fā)現(xiàn)。說一說，和同桌交流你的想法。這一活動旨在引導學生認識到，數學書和桌面的周長實際上是它們的邊線的長度，而非邊線內的區(qū)域。問題2：如何沿著邊線完整地觸摸圖形的輪廓？學生通過實踐發(fā)現(xiàn)，要完整地觸摸圖形的輪廓，只需在邊線上選取一個起點，然后順著同一方向連續(xù)觸摸邊線，最后回到起點，這樣便能感知到圖形的周長。通過參與“摸周長”活動，學生積累了基本的實踐經驗，對周長有了直觀的認識，并初步建立了周長的概念，即圖形的一周，從起點沿邊線回到起點。

2.通過比較，完善認識

為了進一步鞏固和完善學生對周長的認識，樓老師設計了“描周長”活動。呈現(xiàn)活動要求：任何圖形都有周長嗎？如果有，用筆描出來；如果沒有，請你想辦法讓它變成有周長，再用筆描出來。通過小組談論，學生能判斷圖1-1 和圖1-2 有周長并很容易描出圖1-1 的周長。在描圖1-2 的周長時，有少部分學生錯把圖形邊線以內的線也描了。課堂交流中，教師強調為什么邊線以內不是周長，學生得出周長是圖形一周邊線的長度，與邊線以內無關。學生發(fā)現(xiàn)圖1-3 沒有周長，教師引導學生根據之前的操作及對周長的理解對圖1-3 進行改造，讓這個圖形有周長。改造過程中，大部分學生根據圖1-3的形狀特點，自然聯(lián)想到圓，將其補全為圓。這時教師呈現(xiàn)了將圖1-3 改造成不規(guī)則圖形，追問學生這樣奇形怪狀的圖形有沒有周長。經過學生小組討論得出這樣不規(guī)則的也有周長，其理由是改造后的圖形滿足從起點沿邊線能回到起點，即是一個封閉圖形。這時教師板書完整呈現(xiàn)周長的概念，即封閉圖形一周的長度。

圖1-1

圖1-2

圖1-3

（二）由測量到計算，揭示周長本質

1.自主測量，豐富操作

教學中，樓老師設計了“量周長”活動。出示活動要求：

量一量，選擇合適的工具測量三角形ABC（如圖2 所示）的周長。

圖2

想一想，你是怎么量的。

說一說，和大家交流你的想法。

測量的工具有尺子、圓規(guī)、繩子和卷紙。學生在自主測量三角形ABC的周長活動中，自主選擇測量工具，分工合作，積累了度量活動經驗。通過此過程，為后續(xù)交流和分享測量結果奠定了堅實基礎，提供了豐富的資源。

2.集體反饋，多元測量

在課堂上，樓老師收集并展示了學生三種不同的測量方法。方法1：首先使用尺子分別測量線段BA、AC和CB的長度，隨后將這三條線段的長度相加，即可得到三角形ABC的周長。方法2：用圓規(guī)測量，先用圓規(guī)量取BA的長，然后表示在尺子上。用同樣的方法，將AC和CB繼續(xù)表示在尺子上。最后通過讀取尺子上的刻度得出三角形ABC的周長。方法3：將三角形在尺子上轉動一周得到三角形ABC的周長。三種方法呈現(xiàn)后，教師提問：“這三種方法都有什么共同之處？”引導學生認識到，測量三角形ABC的周長實際上就是計算三角形展開后三條線段的總長度。

3.實踐活動，溝通長度

在教學過程中，樓老師設計“我畫你猜”活動（如圖3 所示），讓學生根據提供的三組線段，判斷它們分別可能是由哪些封閉圖形展開后得到的。對于第1 組線段，學生推斷其是由正方形或菱形展開而成，并闡述了理由：每條線段長度相等。對于第2 組線段，學生認為它們是由長方形或平行四邊形展開得到的，并通過長方形和平行四邊形的特征說明了判斷依據。對于第3 組線段，學生的結論是由五邊形展開得到的。通過“我畫你猜”活動，樓老師引導學生發(fā)現(xiàn)線段長度與圖形周長的對應關系。學生能根據圖形周長展開后的線段長度、大小關系，推斷出相應圖形，從而培養(yǎng)了學生的空間意識和想象能力。

圖3

（三）結合周長比較，感知“周、面”區(qū)別

在教學中，樓老師設計了“比周長”活動。出示活動要求：

估一估，這三個圖形誰的周長更長（如圖4所示）。

圖4

做一做，選擇合適的方法比較周長。

想一想，觀察這三個圖形的周長，你有什么發(fā)現(xiàn)？

1.直觀猜想，感知差異

教師通過提問：估一估，你覺得三個圖形中哪個周長更長？請說說你的理由。部分學生認為圖①周長更長，因為其面積最大。然而，也有學生指出，周長大小不能只看圖形面積。但更多學生還是認為，面積越大，周長就越長。在學生間的辯論過程中，教師引導學生探討周長與面積之間是否存在關系，以激發(fā)學生探究周長本質的熱情，并營造了積極的學習氛圍。

2.組織驗證，發(fā)現(xiàn)不同

關于較多學生提出的“面積越大，周長越長”的觀點，教師組織學生以小組形式，開展驗證活動。通過“計數”的方法，學生得出了①②③三個圖形的周長分別為18 厘米、18 厘米和30 厘米。為了讓學生有更深入的理解，教師提問：是否還有其他比較方法？引導學生發(fā)現(xiàn)通過平移方式來判斷周長大小。學生發(fā)現(xiàn)，將圖②四個角凹陷進去的兩條1 厘米邊長平移，可得到圖①，因此圖①與圖②的周長相等。將圖③凹陷進去的兩條1 厘米邊長向上平移，與圖①②進行周長比較，顯然③號圖形的周長更長。這一驗證活動的開展，使學生意識到面積大的圖形周長并非最長，而周長最長的圖形其面積也不一定最大。這促使學生改變了對“面積越大，周長越長”的錯誤認知。

3.整體觀察，揭示本質

在驗證活動結束后，教師進一步追問：經過周長比較的實踐，你們有什么發(fā)現(xiàn)？引導學生從一開始的“計數”方式統(tǒng)計周長所包含的1 厘米正方形邊長數量，逐步過渡到運用平移方法，直接整體觀察圖形大小關系，來判斷周長的大小關系。學生能通過平移的方法來比較周長，這一方法抓住了周長本質。盡管線段平移后，圖形的“形”發(fā)生改變，但其周長大小保持不變。

四、評價大概念，促進知識遷移及應用

評價大概念可以參照外顯大概念提出的“認識什么”“理解什么”“能做什么”三個維度設計大概念評價的框架和細則，也可以借鑒澳大利亞昆士蘭科技大學克里斯提那·查莫斯（Christina Chalmers）團隊的研究成果，設計涵蓋形成性評價和終結性評價的四類工具：①收集，即收集學生完成學習任務的作品；②展示，即提供學生課堂展示表現(xiàn)的機會；③呈現(xiàn)，即利用外部表征工具對大概念和學習過程中理解程度進行外現(xiàn)；④論證，即使用提問、訪談、觀察、測評等方法確證學生理解大概念的程度。

在大概念的評價中，應更加注重學生對知識的遷移能力，也就是學生對大概念的掌握程度，以及他們能否將所學知識應用于解決現(xiàn)實生活中的實際問題。例如，學生在學習“周長的認識”的過程中，不僅僅是對周長表面含義的理解，而是能夠深入領悟到周長實際上是長度單位的累加，任何圖形的周長都可以轉化為可測量的線段長度。還要讓學生認識到，周長的“形”在于“周”，而其屬性在于“長”。學生只有把握住“度量”這個大概念，才能夠熟練地解決生活中物體周長比較的問題。