關(guān)注通性通法 提升運(yùn)算素養(yǎng)
——對(duì)2023年天津卷第18題的解法探究

周宗杰 周 鑫 濮偉宇

(1.山南市第二高級(jí)中學(xué),西藏 山南 856099;2.淮北市第一中學(xué),安徽 淮北 235000)

“解析法”與“幾何法”是解決解析幾何問(wèn)題必不可少的重要數(shù)學(xué)方法,也是解決解析幾何問(wèn)題的通性通法,如果學(xué)生能夠?qū)@兩種方法熟練掌握,那么對(duì)于大部分解析幾何問(wèn)題都會(huì)迎刃而解.下面就結(jié)合2023年高考天津卷第18題對(duì)“解析法”與“幾何法”在解析幾何中的應(yīng)用進(jìn)行分析,為我們的教學(xué)提供借鑒與參考,以期起到拋磚引玉的作用.

1 原題再現(xiàn)

(1)求橢圓方程及其離心率;

(2)已知點(diǎn)P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合),直線A2P交y軸于點(diǎn)Q,若△A1PQ的面積是△A2FP面積的二倍,求直線A2P的方程.

2 解法分析

對(duì)于解析幾何問(wèn)題通?？梢詮摹敖馕觥焙汀皫缀巍眱蓚€(gè)角度進(jìn)行分析.從解析法來(lái)處理問(wèn)題,可以選擇“設(shè)點(diǎn)”為突破口,或者“設(shè)線”為突破口,下面就從“設(shè)點(diǎn)”和“設(shè)線”的角度,用解析法來(lái)處理該問(wèn)題.

解法1解析法——“設(shè)點(diǎn)”.

解法1從設(shè)橢圓上動(dòng)點(diǎn)P(x0,y0)的坐標(biāo)為入手點(diǎn),直接翻譯題目所給信息S△A1PQ=2S△A2FP,同時(shí)結(jié)合三角形面積公式,獲得關(guān)于x0的方程,求得點(diǎn)P的坐標(biāo),最終求出直線A2P的方程.

解法2 解析法——“設(shè)線”.

設(shè)直線A2P的方程為y=k(x-2),令x=0,可得yQ=-2k,即點(diǎn)Q坐標(biāo)為Q(0,-2k).

(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.

結(jié)合S△A1PQ=2S△A2FP可知12|k|=|16k3-12k|,

解法2從設(shè)直線A2P的方程入手,由于該直線A2P與橢圓恒有一個(gè)交點(diǎn)A2(2,0),因此考慮聯(lián)立直線A2P與橢圓的方程,消去y整理成關(guān)于x的一元二次方程,則xA2=2必為該方程的一解,由此結(jié)合韋達(dá)定理可以求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)xP,進(jìn)而結(jié)合三角形面積公式,直接翻譯S△A1PQ=2S△A2FP,獲得關(guān)于斜率k的方程,解得斜率,進(jìn)而寫出直線A2P方程.

“解析幾何”問(wèn)題本質(zhì)上仍然是“幾何”問(wèn)題,“解析”只是解決“幾何”問(wèn)題的方法,因此很多情況下我們不妨返璞歸真,從幾何的角度來(lái)分析問(wèn)題,用“幾何法”來(lái)解決問(wèn)題.

解法3幾何法.

即S△A2A1P=2S△A1PQ.

將△A1A2P與△A1QP看成以A2P和QP為底的三角形,則它們的高相同,結(jié)合S△A2A1P=2S△A1PQ,可知|A2P|=2|QP|.

解法3從幾何關(guān)系S△A1PQ=2S△A2FP出發(fā),并結(jié)合橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)進(jìn)行分析,獲得A2P與PQ的長(zhǎng)度關(guān)系|A2P|=2|QP|,接下來(lái)通過(guò)分類討論來(lái)處理問(wèn)題,獲得問(wèn)題的解.

3 追根溯源

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)求直線l的方程.

本題中的直線l恒過(guò)定點(diǎn)F(1,0),該點(diǎn)是橢圓C的焦點(diǎn),不在橢圓上.因此如果將直線l與橢圓C聯(lián)立,消掉y(或x),得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程,該方程的兩個(gè)解均不易求出.如果采用引例解法1和解法2處理該題,運(yùn)算量顯然比較大,而且不易解決.

由韋達(dá)定理可得

4 結(jié)束語(yǔ)

對(duì)比引例和本題的解法可以發(fā)現(xiàn),兩題的題干信息十分相似,在解決問(wèn)題的方法上也有一定的可借鑒性,但是,由于細(xì)微的差別,導(dǎo)致同一種方法在解決這兩個(gè)問(wèn)題時(shí)所面對(duì)的運(yùn)算量是不同的,這就要求我們要善于開(kāi)展數(shù)學(xué)變式教學(xué),組織學(xué)生開(kāi)展數(shù)學(xué)探究活動(dòng),關(guān)注問(wèn)題處理的通性通法和不同問(wèn)題的細(xì)微差別,提高學(xué)生的運(yùn)算能力和運(yùn)算素養(yǎng)[1].