化 點 為 斜
——幾類經(jīng)典解析幾何綜合問題的消參通法

范習(xí)昱 張海葉

(鎮(zhèn)江市丹徒高級中學(xué),江蘇 鎮(zhèn)江 212143)

解析幾何的本質(zhì)思想是解析法或者叫坐標(biāo)法,核心就是用代數(shù)計算的方法來處理各類幾何問題,引入很多參數(shù)或變量是解析幾何問題的常規(guī)操作,于是如何消參就顯得格外重要.解析幾何一般包含點的坐標(biāo)和斜率、截距或者其他參變量.筆者整理很多相關(guān)資料,發(fā)現(xiàn)“化點為斜”是處理消參的一種通用方法,是破解教學(xué)難點和突破學(xué)生瓶頸的不二選擇[1].

所謂“化點為斜”就是利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,通過代入消元或者作差消元或者其他方法,消去點的坐標(biāo)而保留斜率參數(shù)的一種消參方法,它是一種處理解析幾何綜合問題的最為常見的消參通法.下面筆者從幾類經(jīng)典的解析幾何綜合題加以分析.

1 弦的斜率問題,利用根與系數(shù)關(guān)系消參

解法1 過點A(0,1)且斜率為k的直線為y=kx+1.

代入橢圓方程中,消去y并整理,得

(1+4k2)x2+8kx=0.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),則

整理,得

即x1x2+4y1y2=0.

所以y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1=k(x1+x2)+1.

解法2過點A(0,1)且斜率為k的直線為y=kx+1.

代入橢圓方程中,消去y并整理,得

(1+4k2)x2+8kx=0.

設(shè)M(x,y),則

去分母,得

評析斜率問題是直線和圓錐曲線綜合問題中最為基本的一類問題,引入點的坐標(biāo)和直線的斜率是這類問題的常規(guī)方法,也是學(xué)生很容易接受和上手的方法.例1的解法1中有三個點的坐標(biāo)加上一個斜率共有7個變量,利用橢圓方程、直線方程和題目中的向量等式,消去這些點的坐標(biāo),從而得到斜率方程解出斜率;解法2考慮橢圓的弦有一個端點已知,根據(jù)聯(lián)立后的一元二次方程特點,另一個端點M(x,y)的坐標(biāo)(斜率表示)也就容易求得,適合于消參,問題得到解決[2].

2 非斜率定值問題,保留斜率參數(shù)

圖1 例2題圖

(1)求橢圓C的方程;

(2)試探究M,N的橫坐標(biāo)的乘積是否為定值,若是,請求出該定值;若不是,請說明理由.

解析(1)由已知,A,B的坐標(biāo)分別是A(a,0),B(0,-b),由于△ABC的面積為3,

①

化簡,得a=2b.

②

①②兩式聯(lián)立解得

b=1或b=-3(舍去).

所以a=2,b=1.

(2)設(shè)直線PQ的方程為y=kx+2,P,Q的坐標(biāo)分別為P(x1,y1),Q(x2,y2),則直線BP的方程為

(1+4k2)x2+16kx+12=0.

由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,得

評析各類圓錐曲線的定值問題是高考的一類熱點問題,一般也要引入點的坐標(biāo)和直線的斜率.例2(2)也有5個變量,將P,Q的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為斜率即“化點為斜”可以較容易地消去點的坐標(biāo)參數(shù),是這類問題的一種通用方法.

3 定點問題中消去點坐標(biāo)

圖2 例3題圖

(1)求軌跡C的方程;

(2)將y=kx+b代入曲線C的方程,整理得

(1+4k2)x2+8kxb+4b2-4=0.

因為直線l與曲線C交于不同的兩點P和Q,所以△=64k2b2-4(1+4k2)(4b2-4)=16(4k2-b2+1)>0.

③

設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則

④

且y1·y2=(kx1+b)(kx2+b)

=(k2x1x2)+kb(x1+x2)+b2,

顯然,曲線C與x軸的負(fù)半軸交于點A(-2,0),

(x1+2)(x2+2)+y1y2=0.

⑤

將④⑤代入上式,整理,得

12k2-16kb+5b2=0.

所以(2k-b)·(6k-5b)=0.

經(jīng)檢驗,都符合條件③.

當(dāng)b=2k時,直線l的方程為y=kx+2k.

顯然,此時直線l經(jīng)過定點(-2,0).

即直線l經(jīng)過點A,與題意不符.

評析例3是一類有關(guān)向量條件下的定點問題,也是高考中圓錐曲線綜合問題的熱點問題.解決定點問題,一般采用設(shè)點法化簡有關(guān)向量等式或其他的條件,然后聯(lián)立直線和曲線方程利用根與系數(shù)的關(guān)系探討定值或定點取得的條件,從而求出定點,運(yùn)算對學(xué)生的要求很高,難度也較大.我們依然也可以“化點為斜”消參求解[3].

4 最值問題保留斜率為主變量

例4 如圖3,過拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點F的直線交C于M(x1,y1),N(x2,y2)兩點,且x1x2=-4.

圖3 例4題圖

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)R,Q是C上的兩動點,R,Q的縱坐標(biāo)之和為1,R,Q的垂直平分線交y軸于點T,求△MNT的面積的最小值.

由題意設(shè)x1,x2是方程兩根,所以

x1x2=-p2=-4.

所以p=2.

所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y.

(2)設(shè)R(x3,y3),Q(x4,y4),T(0,t),因為T在RQ的垂直平分線上,所以|TR|=|TQ|.

所以4y3+(y3-t)2=4y4+(y4-t)2.

即4(y3-y4)=(y3+y4-2t)(y4-y3).

所以-4=y3+y4-2t.

由(1)得x1x2=-4,x1+x2=4k,

因此當(dāng)k=0時S△MNT有最小值3.

評析例4是圓錐曲線綜合問題中的最值問題,也是非常常見的.其中參變量多達(dá)6個,對于線段長度和面積的處理依然可以運(yùn)用“化點為斜”這一通法來消參化解.

5 圓錐曲線其他綜合問題

(1)求雙曲線C的方程.

(2)將y=kx+4代入雙曲線C的方程并整理,得(3-k2)x2-8kx-19=0.

當(dāng)3-k2=0時,直線與雙曲線C只有一個交點,不合題意,故3-k2≠0.

⑥

⑦

解得k2=4,驗知△>0,所以k=±2.

所以所求點Q的坐標(biāo)是(±2,0).

解法2 利用根與系數(shù)的關(guān)系,但是考慮結(jié)論中涉及的λ1+λ2怎樣用k表示,上述解法改進(jìn)后如下:

解得k2=4,驗知△>0.

所以k=±2.

故所求點Q的坐標(biāo)是(±2,0).

評析例5中的參數(shù)多達(dá)5個,通過坐標(biāo)表示參數(shù),最終還是可以化歸為斜率的表達(dá)式或者方程不等式,最后利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系化簡獲得求解.

6 結(jié)束語

解析幾何綜合問題由于計算量較大,對學(xué)生的運(yùn)算能力提出了很高的要求,很多學(xué)生都難以越過這道鴻溝.由于方法多思路廣,一般傳統(tǒng)的講解是很難突破的.從以上幾道經(jīng)典的案例中,我們不難發(fā)現(xiàn),“化點為斜”可以作為解析幾何綜合問題的一種消參通法,參數(shù)少了,這類問題一般都可以迎刃而解.