再談構(gòu)造法求an+1=kan+f(n)型遞推關(guān)系數(shù)列的通項

李秀元

(湖北省武穴市實驗高級中學(xué),湖北 武穴 435400)

數(shù)列遞推關(guān)系是考查學(xué)生探究能力的重要載體,探究數(shù)列的性質(zhì),探究如何求數(shù)列的通項.在解答題中,擔(dān)心學(xué)生能力不足,命題者一般會設(shè)置解題坡度,學(xué)生只需按圖索驥就能解決問題.但這并不影響我們對遞推關(guān)系的研究,從簡單到復(fù)雜,不斷開拓視野,提升學(xué)生應(yīng)變和解決問題的能力.形如an+1=kan+f(n)的遞推關(guān)系是一類比較常見的問題,如何求數(shù)列的通項公式,方法是多樣的.下面以系數(shù)k為第一分類標(biāo)準(zhǔn),分別討論f(n)的常見類型,統(tǒng)一采取構(gòu)造法,實現(xiàn)求數(shù)列通項的目的.

1 系數(shù)k=1的類等差型

an+1-an=f(n)是等差數(shù)列定義的升級版.當(dāng)f(n)為常數(shù)時,遞推關(guān)系表明{an}就是等差數(shù)列,直接套用公式就可以得到通項.下面主要考查f(n)不為常數(shù)的情形.

1.1 f(n)為一次式,構(gòu)造常數(shù)列求通項

例1 在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1-an=7-2n,求數(shù)列{an}的通項公式.

分析我們知道,當(dāng)f(n)是關(guān)于n的一次式時,通常采取疊加法求數(shù)列的通項.如果能將f(n)改寫成某個數(shù)列相鄰兩項之差,則遞推關(guān)系重組后出現(xiàn)相鄰兩項相等,從而得到一個常數(shù)列.設(shè)7-2n=g(n+1)-g(n),顯然,當(dāng)g(n)是關(guān)于n的一次式時,g(n+1)-g(n)為常數(shù),不符合條件,這時必需“升級”g(n)為常數(shù)項為0的二次式[1].

解析由an+1-an=7-2n,可設(shè)

an+1-[k(n+1)2+b(n+1)]=an-(kn2+bn).

則an+1-an=[k(n+1)2+b(n+1)]-(kn2+bn)=2kn+k+b.

所以2kn+k+b=7-2n,

解得k=-1,b=8.

則an+1-[-(n+1)2+8(n+1)]=an-(-n2+8n).

故數(shù)列{an-(-n2+8n)}是常數(shù)列.

所以an-(-n2+8n)=a1-(-1+8)=-6.

則an=-n2+8n-6.

小結(jié)疊加是差為一次式的遞推關(guān)系求通項的通法,雖然構(gòu)造法看起來“復(fù)雜”,但如果差是二次式或更高次,除了需要應(yīng)用特殊公式(如前n個正整數(shù)的平方和公式)外,構(gòu)造應(yīng)該是比較合理又好操作的方法.一般利用相鄰高次式相減得低次式,待定系數(shù)完成多項式的“分配”[2].

1.2 f(n)為指數(shù)式的倍數(shù),構(gòu)造常數(shù)列求通項

例2 設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1-an=3·22n-1,則an=____.

分析由于同底數(shù)的高次冪減低次冪,結(jié)果為低次冪,因此,將指數(shù)冪的倍數(shù)分解給an+1和an,只需要配置一個系數(shù)即可.

解析由an+1-an=3·22n-1,

設(shè)an+1-k·22n+1=an-k·22n-1,

則an+1-an=k·22n+1-k·22n-1

=3k·22n-1.

所以k=1.

即an+1-22n+1=an-22n-1.

所以數(shù)列{an-22n-1}是常數(shù)列.

從而an-22n-1=a1-2=0.

即an=22n-1.

1.3 f(n)為指數(shù)式加常數(shù),構(gòu)造等差數(shù)列求通項

例3在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1-an=2n+1,則數(shù)列{an}的通項公式是____.

分析通過疊加,借助等比數(shù)列前n項和公式是可以確定數(shù)列的通項公式,但由于指數(shù)式可以對應(yīng)分解成相鄰兩項的差,因此可以構(gòu)造一個等差數(shù)列.

解析因為2n=2n+1-2n,

所以由an+1-an=2n+1可得

(an+1-2n+1)-(an-2n)=1.

則數(shù)列{an-2n}是公差為1的等差數(shù)列.

因為a1-2=-1,

所以an-2n=-1+(n-1)=n-2.

則an=2n+(n-2).

1.4 f(n)為指數(shù)式加一次式,構(gòu)造常數(shù)列求通項

例4 若a1=1,an+1-an=2n-n,n∈N*,則an=____.

分析雖然疊加法可求通項,但這是類型1和2的合并,因此可以構(gòu)造常數(shù)列求通項.

解析因為2n=2n+1-2n,且

所以由an+1-an=2n-n,可得

2 系數(shù)k≠1的類等比型

當(dāng)系數(shù)k不等于1時,遞推關(guān)系是等比數(shù)列的升級版.

2.1 f(n)為常數(shù),構(gòu)造等比數(shù)列求通項

例5 已知數(shù)列{an}中,an+1=4an-6,則an=____.

解析由an+1=4an-6,得

an+1-2=4(an-2).

當(dāng)a1-2=0,即a1=2時,由遞推關(guān)系得an-2=0,所以an=2;

所以{an-2}是首項為a1-2,公比為4的等比數(shù)列.

因此an-2=(a1-2)·4n-1.

即an=(a1-2)·4n-1+2.

顯然a1=2時也符合上式.

因此,an=(a1-2)·4n-1+2.

2.2 f(n)為一次式,構(gòu)造等比數(shù)列求通項

例6 已知數(shù)列{an}滿足a1=5,an+1=3an-4n+2(n∈N*).數(shù)列{bn}滿足bn=an-2n,則數(shù)列{bn},{an}的通項公式分別為____.

解析由an+1=3an-4n+2,得

an+1-2(n+1)=3[an-2n].

即bn+1=3bn.

因為b1=a1-2=3≠0,

所以數(shù)列{bn}是首項為3,公比為3的等比數(shù)列.

所以bn=3n.

從而an=3n+2n.

評析為求數(shù)列{an}的通項公式,需要對數(shù)列遞推關(guān)系式進(jìn)行重構(gòu).設(shè)置數(shù)列{bn},既是解題梯度,也是構(gòu)造方向.為了“處理”掉一次項,相對于系數(shù)為1的遞推關(guān)系,為什么是一次式而不是二次式,主要原因就在于系數(shù).由于an+1和an兩項的系數(shù)不相等,因此相鄰一次項的差運算后就不會抵消掉一次項.故只需設(shè)an+1-[k(n+1)+b]=3[an-(kn+b)],待定系數(shù)得到f(n)的分解,即an+1-2(n+1)=3(an-2n)[3].

2.3 f(n)為指數(shù)式,指數(shù)式的底數(shù)與系數(shù)相等,構(gòu)造等差數(shù)列求通項

例7 已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=3an+3n,則an=____.

則an=n·3n-1.

2.4 f(n)為指數(shù)式,指數(shù)式的底數(shù)與系數(shù)不相等,構(gòu)造等比數(shù)列求通項

例8 數(shù)列{an}中,已知a1=26,an=3an-1+2·5n(n∈N*,n≥2).求證:數(shù)列{an-5n+1}是等比數(shù)列.

分析當(dāng)系數(shù)和冪底數(shù)不相等時,指數(shù)冪的轉(zhuǎn)化有兩種方式,一是同時除以冪,轉(zhuǎn)化為線性遞推關(guān)系,兩次轉(zhuǎn)化求解;二是分解冪,直接得到等比結(jié)構(gòu).

證法1(同除構(gòu)造)等式an=3an-1+2·5n兩邊同時除以5n,得

證法2(分解構(gòu)造)設(shè)an-k·5n+1=3(an-1-k·5n),則an=3an-1+2k·5n.

所以k=1.又a1-52=1,

所以{an-5n+1}是公比為3的等比數(shù)列.

所以an-5n+1=3n-1.

即an=5n+1+3n-1.

2.5 f(n)為指數(shù)式加常數(shù),構(gòu)造等差數(shù)列求通項

證明依題意,得an-1=2(an-1-1)+2n.

小結(jié)由于系數(shù)和冪底數(shù)相等,先處理常數(shù),再采取同除構(gòu)造法比較簡單;如果系數(shù)和冪底數(shù)不相等,先分解指數(shù)冪,轉(zhuǎn)化為線性遞推關(guān)系,再處理常數(shù).

至于說f(n)的其他結(jié)構(gòu)如分式,構(gòu)造方式大同小異,本文不再贅述,讀者可自行參閱相關(guān)文獻(xiàn).

3 結(jié)束語

關(guān)于an+1=kan+f(n)型數(shù)列遞推關(guān)系,系數(shù)k為1是等差數(shù)列升級版,系數(shù)不為1則是等比數(shù)列的升級版.等差型遞推關(guān)系一般采取疊加法,僅僅只能解決f(n)為一次式或可裂項的分式結(jié)構(gòu),等比型遞推關(guān)系一般采取累乘法,解決的類型也不多.以等差和等比數(shù)列的定義為核心,基于構(gòu)造法,通過改變遞推關(guān)系式的結(jié)構(gòu),巧妙構(gòu)造等差(常)數(shù)列和等比數(shù)列,實現(xiàn)求通項公式的自由.