空間向量基底法妙解立體幾何問題

雷 譽(yù)

(湖北省咸寧市青龍山高級中學(xué),湖北 咸寧 437000)

利用空間向量基底法解決立體幾何問題,首先要選取合適的基向量,盡量選取長度和夾角已知的向量;其次,把要解決的立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題,通過向量的運(yùn)算解決向量問題;最后,再把向量關(guān)系翻譯成幾何關(guān)系,最終解決問題.

1 求距離

例1已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,底面邊長和側(cè)棱長均為2,∠A1AB=∠A1AD=60°,則對角線AC1的長為____.

=4+4+4+2×2×2cos60°×2=20.

2 求軌跡

例2 (2023年武漢二月調(diào)考第8題)設(shè)A,B是半徑為3的球體O表面上兩定點,且∠AOB=60°,球體O表面上動點P滿足PA=2PB,則點P的軌跡長度為( ).

圖1 兩球相交的截面圖

設(shè)P(x,y),由PA=2PB,得

所求的軌跡為阿氏球C與球O的交線圓,交線圓的半徑r即為以O(shè)為圓心,3為半徑的圓與以C為圓心,2為半徑的圓的公共弦長的一半,兩圓圓心距

點評本題以阿氏圓為背景情境,過渡到阿氏球上,更加靈活,對空間想象力的要求極高.把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面解析幾何問題,即把兩球相交的問題轉(zhuǎn)化為兩圓相交的問題,運(yùn)算較為繁瑣.

空間向量的基本定理:已知三個非零向量a,b,c不共面,那么對于空間任意向量p,存在唯一的實數(shù)對x,y,z滿足p=xa+yb+zc.其中a,b,c為一組空間向量的基向量,叫做基底.當(dāng)我們遇到某些立體幾何圖形本身沒有很明顯的垂直關(guān)系或是點坐標(biāo)不易求得等問題時,不妨嘗試尋找空間中三個不共面的基向量,無需建立空間直角坐標(biāo)系,通過基底法解決問題.本題的具體解法如下:

|a|=|b|=|c|=3,〈a,b〉=60°.

整理,得c·(4b-a)=27.

所以點P到4b-a方向上的距離為

點評利用基底法解題時,選取合適的基底十分關(guān)鍵,應(yīng)盡可能選擇三個模長已知的向量,且向量的夾角也容易得出.本題使用向量基底法更簡潔快速,是一個出彩的方法,不容易想到,難點在于先利用數(shù)量積的幾何意義求出投影,再把點P的軌跡的圓周長的半徑轉(zhuǎn)化為距離[1].

3 證明空間的位置關(guān)系和計算空間角

圖2 四棱臺ABCD-A1B1C1D1

(1)證明:直線A1B∥平面AD1E;

(2)若CC1⊥平面ABCD,且CC1=3,求直線BB1與平面AD1E所成角的正弦值.

解法1 (1)延長D1E和DC交于點M,連接MA交BC于點N,連接D1N,如圖3.

所以CM=4=AB.

則N為BC中點.

此時A1D1∥B1C1∥BN,且A1D1=BN.

故四邊形A1BND1為平行四邊形.

所以A1B∥D1N.

又D1N?平面AD1E,A1B?平面AD1E,

所以A1B∥平面AD1E.

點評第(1)問輔助線的想法是把平面AD1E延展開來,補(bǔ)形成四邊形AD1EN,而這種輔助線的作法又是學(xué)生比較畏懼的.相比較而言,第(2)問三條直線兩兩垂直關(guān)系顯而易見,學(xué)生毫不費(fèi)力地建立空間直角坐標(biāo)系,用空間向量坐標(biāo)法直接計算,第(2)問本文不再贅述.

平面向量的基本定理:如果兩個非零向量a,b不共線,那么向量c與a,b共面的充要條件是存在唯一的一對有序?qū)崝?shù)x,y,使c=xa+yb.如果平面外一條直線的方向向量可以用這個平面內(nèi)不共線的兩個向量來表示,就可以判定直線和平面平行.

所以直線A1B∥平面AD1E.

設(shè)平面AD1E的法向量為n=xa+yb+zc,則

取x=-1,則z=2,y=2.

所以n=-a+2b+2c.

4 證明比例關(guān)系

例4 (2023年圓創(chuàng)教育三月測評第12題)如圖4,在正四面體ABCD中,棱AB的中點為M,棱CD的中點為N,過MN的平面交棱BC于點P,交棱AD于點Q,記多面體CAMPNQ的體積為V1,多面體BDMPNQ的體積為V2,則( ).

圖4 正四面體ABCD

A.直線MQ與PN平行

C.點C與點D到平面MPNQ的距離相等

D.V1=V2

所以m=n,B正確;

CD選項本文不做說明,此外也可以將正四面體放置于正方體中研究AB選項.

5 結(jié)束語

空間向量基底法是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的薄弱應(yīng)用,往往被人忽視,如果平時不注意使用和練習(xí),久而久之向量的思維就會固化和鈍化,以至于一說到向量法就只想到坐標(biāo)法.通過以上例題的分析,利用空間向量基底法求解也是一種簡潔實用的方法,希望引起大家對這種方法的注意,加深認(rèn)識和體會.