借助概念圖 解答數(shù)學(xué)題

鐘志偉

(昆山市新鎮(zhèn)中學(xué),江蘇 昆山 215300)

初中數(shù)學(xué)在學(xué)生整個(gè)學(xué)習(xí)生涯中起著承上啟下的作用.通過解決數(shù)學(xué)問題,不但能夠考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和掌握情況,而且也是檢驗(yàn)數(shù)學(xué)教師教學(xué)效果的重要方式.數(shù)學(xué)問題給出的條件是學(xué)生建構(gòu)解題思維的切入點(diǎn),結(jié)論則是解決問題的目標(biāo).學(xué)生只有調(diào)動(dòng)所學(xué)知識(shí)與技能,突破解題障礙,才能達(dá)成上述解題目標(biāo).概念圖作為展現(xiàn)知識(shí)間結(jié)構(gòu)關(guān)系與思維的圖形,將其應(yīng)用于解題中,可提升學(xué)生思維的靈活性,提升解題效率.

1 借助概念圖,串聯(lián)數(shù)學(xué)知識(shí)

概念圖具有顯著的層級(jí)結(jié)構(gòu)特征,即概念圖以分層形式直觀清晰地展示知識(shí)點(diǎn)間層級(jí)關(guān)系.部分領(lǐng)域的知識(shí)相互交叉連接,此交叉連接在創(chuàng)建新概念圖時(shí)直接表明知識(shí)概念間的跳躍性.與此同時(shí),概念圖也能直觀展現(xiàn)師生情感狀態(tài),反映概念圖創(chuàng)建者與學(xué)習(xí)者思想情感品質(zhì)[1].

事實(shí)上,在解題中應(yīng)用概念圖旨在幫助學(xué)生明確問題的前因與后果,其中解決問題前提條件為前因,后果即為運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)獲得的正確答案.教師指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用概念圖時(shí),需先列出題目設(shè)置問題和給出的前提條件,并在前提條件與設(shè)置問題間梳理所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系,然后學(xué)生再自主繪制概念圖,梳理解題脈絡(luò)及探索知識(shí)點(diǎn)組合成解題方式.學(xué)生在繪制概念圖中可增強(qiáng)串聯(lián)知識(shí)能力,提升解題效率.在解答幾何證明題時(shí)應(yīng)用概念圖,可使其串聯(lián)知識(shí)點(diǎn)的優(yōu)勢(shì)得到充分體現(xiàn).

以“直角三角形全等的判定”為例,教師運(yùn)用例題展示證明直角三角形全等的解答過程時(shí),可運(yùn)用概念圖劃分證明步驟,使學(xué)生清晰地認(rèn)識(shí)每個(gè)步驟對(duì)應(yīng)的知識(shí)原理.即先證明三角形為直角三角形,然后證明任意一對(duì)對(duì)應(yīng)邊與對(duì)應(yīng)銳角相等,或兩條對(duì)應(yīng)邊相等,最后獲得全等結(jié)論,如圖1所示.教師在解題中按照最初劃分的解題步驟,形成完整性與系統(tǒng)化的知識(shí)體系.學(xué)生通過概念圖可直觀認(rèn)識(shí)直角三角形全等證明方法.事實(shí)上,證明直角三角形全等時(shí)已將證明一般三角形全等的對(duì)應(yīng)角相等的條件省略,只需對(duì)任意一條對(duì)應(yīng)邊相等證明并從中獲得結(jié)論即可[2].教師運(yùn)用概念圖梳理證明直角三角形全等的思路,當(dāng)學(xué)生在解題陷入困境時(shí)就可由概念圖將思維轉(zhuǎn)至題目,再按照順序解答.

圖1 直角三角形全等證明的概念圖

2 借助概念圖,培養(yǎng)解題習(xí)慣

初中數(shù)學(xué)教師可指導(dǎo)學(xué)生針對(duì)不同類型題目積累解題經(jīng)驗(yàn).一道題目的解答分為四個(gè)步驟:第一步即理解題意,該環(huán)節(jié)也稱為審題,明確題目給出哪些條件,需要解答什么問題,從題目中獲取解答此題目的邏輯起點(diǎn)、推理目標(biāo)等信息;第二步為探索解題思路,即挖掘題目條件與結(jié)論之間的數(shù)學(xué)聯(lián)系,將條件與結(jié)論的推理驗(yàn)算作為重點(diǎn);第三步為書寫表達(dá),即梳理解題思路后運(yùn)用文字表達(dá);第四步為回顧反思,所謂反思即脫離自身認(rèn)知,作為“第三者”觀察自身在剛才做了哪些事情,把自身活動(dòng)作為思考對(duì)象,再?gòu)慕忸}層面和學(xué)會(huì)解題層面進(jìn)行回顧反思.

例1 如圖2,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=2CD,對(duì)角線AC⊥BD,垂足為點(diǎn)F,過點(diǎn)F作EF∥AB,交AD于點(diǎn)E.求證:四邊形ABFE是等腰梯形.

圖2 例1題圖

解析按照上述四大解題步驟進(jìn)行解題,解題過程如圖3所示.

圖3 等腰梯形證明概念圖

首先,理解題意.需明確題目共有幾個(gè)條件以及有何數(shù)學(xué)含義.此題條件很長(zhǎng),有四個(gè)獨(dú)立條件:四邊形ABCD為直角梯形;兩底邊滿足AB=2DC;對(duì)角線AC⊥BD;EF∥AB.本題需證明的結(jié)論為:四邊形ABFE為等腰梯形,其涵蓋的數(shù)學(xué)含義有三個(gè):①EF∥AB;②直線BF與AE不平行;③AE=BF.其中①②是已知條件,故證明本題的關(guān)鍵是證明③成立.顯然,需明確題目條件與結(jié)論之間的數(shù)學(xué)聯(lián)系以及屬于何種結(jié)構(gòu).其次,探索思路.運(yùn)用分析法,挖掘多余條件.如圖2所示,因?yàn)锳D和BD的交點(diǎn)是D,因此,欲證四邊形ABEF為梯形,可通過證明△DAB是等腰三角形來證明梯形ABFE為等腰梯形.如圖2,過點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為直角梯形,所以GD∥BC,CD∥BG,所以四邊形BCDG為平行四邊形.因?yàn)锳B=2CD,所以BG=AG.由此可見,在△DAB中,DG既是AB邊上的高,又是AB邊上的中線,所以△DAB為等腰三角形.上述解題思路中尚未應(yīng)用對(duì)角線,說明其為多余條件.再次,書寫表達(dá).如圖2所示,過點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G.在梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,所以四邊形BCDG為平行四邊形,所以BG=CD,因?yàn)锳B=2CD,所以BG=AG,所以點(diǎn)G是AB的中點(diǎn).又因?yàn)镈G垂直AB,AE與BF相交于點(diǎn)D,所以四邊形ABFE為等腰梯形.最后,回顧反思.解答此題時(shí)分為兩大步驟,先證明四邊形BCDG為平行四邊形,再證明梯形ABFE為等腰梯形.整個(gè)證明過程運(yùn)用理解題意、探索思路、書寫表達(dá)等步驟,明確思考方向,思維也呈現(xiàn)可視化,同時(shí)在解題中運(yùn)用轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合思想,有效積累解答圖形問題的經(jīng)驗(yàn),從而提升解題能力.

3 借助概念圖,實(shí)現(xiàn)舉一反三

在解答初中數(shù)學(xué)主觀題時(shí),應(yīng)用概念圖的目的是讓學(xué)生捋順數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系.根據(jù)順序明確標(biāo)注解題步驟及需開展的解題工作,順利剝離解題過程,形成系統(tǒng)解題體系,促使學(xué)生歸納總結(jié)適合自身學(xué)情的解題方式,提升其解題能力.

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師運(yùn)用概念圖指導(dǎo)學(xué)生解題時(shí),要結(jié)合圖形理清已知條件與所求量之間的關(guān)系,規(guī)范概念圖繪制,明確邏輯關(guān)系推理方向,使學(xué)生總結(jié)正確、規(guī)范且適合自身學(xué)情的解題技巧,避免在解題初期就出現(xiàn)方向性錯(cuò)誤.與此同時(shí),教師需積極鼓勵(lì)學(xué)生在習(xí)題練習(xí)中盡可能嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范地利用繪制概念圖的方式分析和解答問題,熟練梳理知識(shí)點(diǎn)之間的邏輯關(guān)系,增強(qiáng)運(yùn)用概念圖分析問題的能力,提升學(xué)生舉一反三的解題能力.例如,在解答與勾股定理相關(guān)的題目時(shí),學(xué)生只需根據(jù)勾股定理即可簡(jiǎn)單分析解答方式與順序等問題,再利用概念圖的方式在問題旁邊羅列知識(shí)點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的解題步驟,從而順利解答問題.

例2 工人在一塊直角梯形的草坪邊修建一條從點(diǎn)A至點(diǎn)D再至點(diǎn)C的小路,其中AB為直角梯形兩個(gè)直角的公共邊,已知AD=4 m,AB=12 m,BC=9 m,部分行人為減少路程,沿路線AC行走,但此方式對(duì)草坪造成破壞,請(qǐng)問路人少走了多少米路?

分析上述題目可得知,問題重點(diǎn)考查勾股定理知識(shí).若將直角梯形補(bǔ)為長(zhǎng)方形,即可運(yùn)用勾股定理獲得DC=13 m.連接AC,則△ABC是直角三角形,根據(jù)勾股定理得出AC=15 m,所以路人少走的路為4 m+13 m-15 m=2 m.學(xué)生運(yùn)用概念圖解答可有效降低題目難度,有利于學(xué)生分析題目中的已知條件和所求量之間的關(guān)系,然后基于邏輯順序順利完成問題解答.

例3 如圖4,點(diǎn)C為線段A與B的中點(diǎn),點(diǎn)D在線段BC上,其中DB=4,AD=6,求CD長(zhǎng)度.

圖4 例3題圖

在教學(xué)中,可借助如圖5所示的概念圖分析思考問題.

圖5 例3概念圖

結(jié)合題目條件,運(yùn)用以下思路分析解決.其一,采取綜合法.從已知條件至所求結(jié)論思考問題.根據(jù)線段AD與DB的長(zhǎng)即可求得線段AB的長(zhǎng),添加中點(diǎn)條件可獲得AC的長(zhǎng),再根據(jù)AD的長(zhǎng)可求出CD的長(zhǎng).其二,采取分析法.即從所求結(jié)論過渡至已知條件.由AD-AC即可獲得CD的長(zhǎng),只需求得AC或BC的長(zhǎng),即可求出AB的長(zhǎng).其中AB=AD+DB,AD與DB為已知條件.其三,通過已知與結(jié)論進(jìn)行分析,通過線段AD與DB長(zhǎng)獲取線段AB的長(zhǎng),運(yùn)用中點(diǎn)定義求出線段AC與BC的長(zhǎng),然后求出AD-AC即可求出線段CD的長(zhǎng).在此過程中已求出AC、AD、BC、DB.上述三種思路均可順利解題,以下為規(guī)范解題表達(dá)方式.

因?yàn)锳D=6,BD=4,所以AB=10.因?yàn)辄c(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn),所以AC=5,所以CD=1.

為強(qiáng)化學(xué)生思維,教師可對(duì)原題進(jìn)行變式,然后要求學(xué)生運(yùn)用概念圖分析解答.

變式1 如圖4,點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn),點(diǎn)D位于線段BC上,AD=6,CD=1,求線段BD長(zhǎng)度.

變式2 如圖4,點(diǎn)C為線段AB中點(diǎn),點(diǎn)D位于線段BC上,BD=4,CD=1,求線段AD的長(zhǎng).

上述變式題能夠鍛煉學(xué)生運(yùn)用概念圖分析問題和解決問題的能力.最重要的是,學(xué)生在解題中能夠充分感悟互逆命題,發(fā)展其思維能力,提升其解題水平.學(xué)生在解答部分常見題目時(shí),會(huì)不可避免地出現(xiàn)思維定式.為此,在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,除了教師的指導(dǎo)和督促外,更需要學(xué)生自我不懈堅(jiān)持與努力.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,受應(yīng)試觀念的影響,學(xué)生接觸的題型較為單一,且鮮少有變化,這不利于培養(yǎng)學(xué)生靈活的解題思維.概念圖作為清晰、直觀的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)知識(shí)導(dǎo)圖,應(yīng)用于解題過程中,可發(fā)揮梳理知識(shí)與理解知識(shí)作用,促使學(xué)生高效解題.

4 結(jié)束語

總之,在初中數(shù)學(xué)解題中,應(yīng)用概念圖可概括加工各種數(shù)學(xué)概念,直觀形象地反映知識(shí)點(diǎn)間組織結(jié)構(gòu)與邏輯關(guān)系,引領(lǐng)學(xué)生在腦海中構(gòu)建系統(tǒng)化數(shù)學(xué)知識(shí)體系,深入理解數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn).