幾何圖形面積計算的幾種常用方法

吳仕為

(福建省福鼎市第八中學(xué),福建 寧德 355215)

與幾何圖形面積有關(guān)的計算問題主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維與計算能力,由于幾何圖形的變化靈活多樣,從而導(dǎo)致大部分學(xué)生對這類問題感到困難與茫然,尤其是在計算不規(guī)則圖形的面積時,學(xué)生很難快速獲取解題突破口.實際上,解決與幾何圖形有關(guān)的面積問題時,只要充分掌握常用方法,熟悉常用解題套路,便能夠高效完成問題解答.鑒于此,文章圍繞典型的幾何圖形面積計算問題,分析求幾何圖形面積的幾種常用方法.

1 巧用平移法計算幾何圖形的面積

平移法,顧名思義是通過圖形的橫向、縱向水平運動進(jìn)行解題,即把幾何圖形中的部分進(jìn)行切割,然后使其橫向或縱向水平運動到恰當(dāng)位置,進(jìn)而重新組合成常見的規(guī)則幾何圖形,然后利用規(guī)則圖形的面積公式求解,以此達(dá)到簡化解題難度的目的[1].在實際解題過程中,學(xué)生可以通過觀察幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征,快速判斷是否需要利用平移法計算面積.

例1 如圖1,現(xiàn)有一塊長度為32 m、寬度為20 m的矩形地面,需在地面上按照陰影區(qū)域設(shè)計修建道路,其余非陰影區(qū)域用于綠化設(shè)計,若綠化設(shè)計面積為540 m2,請問道路修建的寬度應(yīng)為____m.

圖1 矩形地面構(gòu)造示意圖

學(xué)生在遇到此類不規(guī)則圖形的面積問題時,通過觀察已知圖形便能夠快速發(fā)現(xiàn)其結(jié)構(gòu)特征,可考慮利用平移法,將不規(guī)則幾何圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的基本圖形,然后利用規(guī)則圖形的面積公式求解面積.基于此,本題有兩種求解計算方法,求解過程如下.

方法1 如圖2,將不規(guī)則圖形經(jīng)過平移變?yōu)槿齻€規(guī)則的矩形,通過平移與組合陰影部分的圖形,能夠得到兩個規(guī)則的陰影矩形.假設(shè)道路的寬度為xm,結(jié)合題目條件能夠列出(20-x)(32-x)=540,這是一個關(guān)于x的一元二次方程,解此方程即可得到問題的答案.

圖2 平移變?yōu)槿齻€規(guī)則的矩形

解法1 設(shè)道路寬度為xm.根據(jù)題意,得(20-x)(32-x)=540,即x2-52x+100=0,解得x1=50(不合題意,舍去),x2=2.故道路的寬度應(yīng)為2 m.

方法2 如圖3,將不規(guī)則圖形平移變換為四個規(guī)則的矩形,此時綠化設(shè)計面積被分成四個規(guī)則的矩形,根據(jù)題目中的已知條件能夠得到20×32-(20+32)x+x2=540,這是關(guān)于x的一元二次方程式,解此方程即可得到問題的答案.

圖3 平移變換為四個規(guī)則的矩形

解法2 設(shè)道路寬度為xm.根據(jù)題意,得20×32-(20+32)x+x2=540,即x2-52x+100=0,解得x1=50(不合題意,舍去),x2=2.故道路修建的寬度應(yīng)為2 m.

通過典型例題講解可以發(fā)現(xiàn),利用平移法解決不規(guī)則幾何圖形的面積問題時,平移的方式不同,可能會得到不同的解題思路.教師應(yīng)抓住典型例題的“一題多解”思路,進(jìn)一步拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維,進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生突破固有思維限制.

2 巧用旋轉(zhuǎn)法計算幾何圖形面積

旋轉(zhuǎn)法主要應(yīng)用于構(gòu)造直角三角形、全等三角形等基本圖形求面積問題,這種解法的基本原理是面積的旋轉(zhuǎn)不變性[2].

例2 如圖4,點P是等邊△ABC內(nèi)的一點,PA=3,PB=4,PC=5,則△ABC的面積是( ).

圖4 等邊△ABC示意圖

根據(jù)總結(jié)的旋轉(zhuǎn)法解題技巧,應(yīng)找到旋轉(zhuǎn)中心.根據(jù)等邊三角形邊長的性質(zhì)易知AB=BC,故可考慮以點B為旋轉(zhuǎn)中心,將△BPC逆時針旋轉(zhuǎn)60°,可得到△BEA,如圖5所示.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BE=BP=4,∠PBE=60°,進(jìn)而能夠判斷△BPE是等邊三角形,PB=PE=4,∠BPE=60°.此時,在△AEP中,AE=5,AP=3,PE=4,利用勾股定理的逆定理能夠判斷△APE是直角三角形,即∠APE=90°,進(jìn)而能夠計算出∠APB的度數(shù).過點A作AF⊥BP,交BP的延長線于點F,利用三角函數(shù)可計算出AF及PF邊長,再次利用勾股定理可得出AB邊長,最終利用三角形面積公式計算得到△ABC的面積.

圖5 旋轉(zhuǎn)變換后的圖形

解因為△ABC是等邊三角形,所以BA=BC.以B點為旋轉(zhuǎn)中心,把△BPC逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BEA,連接EP,過點A作AF⊥BP,交BP的延長線于點F,則BE=BP=4,PC=AE=5,∠PBE=60°,所以△BPE是等邊三角形,所以PB=PE=4,∠BPE=60°.

在△AEP中,AE=5,AP=3,PE=4,所以AE2=PE2+PA2,所以△APE是直角三角形,∠APE=90°,所以∠APB=150°,所以∠APF=30°.

3 巧用分割法計算幾何圖形面積

在計算幾何圖形面積的過程中,分割法較為常用,其本質(zhì)是對原圖添加合適的輔助線,從而達(dá)到將原圖分隔為若干個規(guī)則的幾何圖形,如直角三角形、等腰三角形、正方形、長方形等,然后利用規(guī)則圖形的面積公式解決問題,從而求得原圖形的面積.

例3 已知⊙O為△ABC的內(nèi)切圓,其中F、D、E分別是AB、BC、AC邊上的切點,若BC=x、AC=y、AB=z,⊙O的半徑為R,請計算△ABC的面積S.

圖6 分割后的△ABC示意圖

4 巧用“補(bǔ)”法計算幾何圖形面積

“補(bǔ)”方式與“割”方式相反,“割”是指將原幾何圖形分割為若干個常見的規(guī)則圖形,而“補(bǔ)”是指利用添加輔助線方式,將原不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形,利用規(guī)則圖形的面積公式直接求解,從而達(dá)到降低實際解題難度的目的.同時也能夠根據(jù)不同的“補(bǔ)”的方式,將原不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為多樣化的規(guī)則圖形,進(jìn)而為學(xué)生提供多元化的解題路徑.

圖7 不規(guī)則陰影部分示意圖

分析本題目主要考查正方形性質(zhì)與旋轉(zhuǎn)性質(zhì),故借助圖形的旋轉(zhuǎn)不變性、正方形的性質(zhì)即可實現(xiàn)求解.如圖8所示,這是基于“補(bǔ)”方式處理后的示意圖.圖8中AECB為直角梯形,基于此便可以利用題目中所給條件與直角梯形相關(guān)公式完成陰影部分面積的分析與計算.

圖8 將陰影部分“補(bǔ)”成規(guī)則圖形

5 結(jié)束語

綜上所述,解決幾何圖形面積計算問題,對提高初中生數(shù)學(xué)成績、強(qiáng)化學(xué)生解題能力與數(shù)學(xué)思維十分有利.因此,教師應(yīng)積極通過典型的幾何圖形面積計算問題的講解與解析,幫助學(xué)生充分掌握常用的幾何圖形面積計算方法,進(jìn)而總結(jié)解題方法和技巧,熟悉常規(guī)題型的解題套路,實現(xiàn)快速、正確解題.