2021年鹽城市中考?jí)狠S題的解法探究與啟示

劉 敏

(揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇 揚(yáng)州 225002)

近年來(lái),圖形的旋轉(zhuǎn)變換已成為中考試題的熱點(diǎn)之一,現(xiàn)有大量文章基于旋轉(zhuǎn)變換多種模型進(jìn)行研究,常見(jiàn)的旋轉(zhuǎn)模型有“手拉手”模型、“夾半角”模型和“對(duì)角互補(bǔ)”模型[1].經(jīng)對(duì)比發(fā)現(xiàn),通過(guò)旋轉(zhuǎn)來(lái)實(shí)現(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)變換的這一類(lèi)題型中隱含著“手拉手”模型.“手拉手”模型指共頂點(diǎn)且兩個(gè)頂角相等的等腰三角形(或等邊三角形)組成的圖形,圖形中兩個(gè)頂角相等,若它們減去(或加上)公共部分后所得的角相等[2],則可構(gòu)造全等三角形.本文研究的題型中隱含“手拉手”全等三角形模型.

1 原題呈現(xiàn)

學(xué)習(xí)了圖形的旋轉(zhuǎn)之后,小明知道,將點(diǎn)P繞著某定點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度α,能得到一個(gè)新的點(diǎn)P′,經(jīng)過(guò)進(jìn)一步探究,小明發(fā)現(xiàn),當(dāng)上述點(diǎn)P在某函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)P′也隨之運(yùn)動(dòng),并且點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡能形成一個(gè)新的圖形.

初步感知如圖1,設(shè)點(diǎn)A(1,1),α=90°,P是一次函數(shù)y=kx+b圖象上的動(dòng)點(diǎn),已知該一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1(-1,1).

圖1 函數(shù)

2 解題思路分析

深入感悟由旋轉(zhuǎn)可知,本題應(yīng)分類(lèi)討論點(diǎn)P的位置,分為三種情況,當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)小于-1時(shí),當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)大于-1小于0時(shí),當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)等于-1時(shí).由于P是反比例函數(shù)上的動(dòng)點(diǎn),運(yùn)用中學(xué)知識(shí)很難求出旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡.當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)小于-1時(shí),基于旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得OP=OP′,∠P′OP等于直線OM與x軸形成的銳角,則它們減去公共部分∠MOP后所得的角仍相等,聯(lián)想到構(gòu)造“手拉手”全等三角形模型,添加同樣的輔助線,過(guò)點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N,抓住“手拉手”模型的兩個(gè)等腰△OP′P和△OMN,構(gòu)造全等三角形,以靜制動(dòng),將無(wú)法確定的動(dòng)點(diǎn)P′轉(zhuǎn)化為已知運(yùn)動(dòng)軌跡的動(dòng)點(diǎn)P,根據(jù)全等三角形性質(zhì)即將△OMP′的面積轉(zhuǎn)化為求△ONP的面積,再運(yùn)用反比例函數(shù)k的幾何意義即可得到答案.當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)大于-1小于0時(shí),∠MOQ和∠P′OP加上公共部分∠MOP后所得的角仍相等,即∠POQ=∠P′OM,同理可構(gòu)造“手拉手”全等三角形模型.在思考該題時(shí),可緊扣“以靜制動(dòng),構(gòu)造全等,巧妙轉(zhuǎn)化”.

靈活運(yùn)用運(yùn)用中學(xué)知識(shí),很難求出二次函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)P繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后點(diǎn)P′的運(yùn)動(dòng)軌跡,故“反其道而行之”,運(yùn)用逆向思維,將點(diǎn)B、C繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得到點(diǎn)B′、C′,將求△BCP′面積的最小值轉(zhuǎn)化為求△B′C′P面積的最小值.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△ACC′和△ABB′是等邊三角形,頂角∠B′AB和C′AC減去公共部分∠C′AB后所得的角仍相等,則構(gòu)造“手拉手”全等三角形模型,即△ABC和△AB′C′全等,即可求出線段B′C′的長(zhǎng)度和B′C′的函數(shù)表達(dá)式.需求△B′C′P面積的最小值,即求點(diǎn)P到直線B′C′的距離最小值,因?yàn)辄c(diǎn)到直線之間垂線段最短,從而發(fā)現(xiàn)當(dāng)平行與B′C′的直線與拋物線相切時(shí),切點(diǎn)到直線B′C′的距離最小,此切點(diǎn)與點(diǎn)B′、C′組成的三角形面積最小.在思考該題時(shí),可緊扣“逆向思考,巧妙轉(zhuǎn)化”.

3 問(wèn)題解析

圖4 過(guò)點(diǎn)P作PN⊥x軸與點(diǎn)N

圖5 過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸與點(diǎn)Q

圖6 過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸與點(diǎn)H

圖7 連接AB, AC,將點(diǎn)B、C繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°

4 解題反思

關(guān)于上述解題過(guò)程中,所提到的以靜制動(dòng),并不是把動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為定點(diǎn),此時(shí)的“靜”并不是絕對(duì)的靜止,而是運(yùn)用逆向思維的方法后,此時(shí)的點(diǎn)可能還是動(dòng)點(diǎn),但更易于掌握,也就相當(dāng)于“靜”了[4].例如,在[靈活運(yùn)用]中,我們難以求出動(dòng)點(diǎn)P′的運(yùn)動(dòng)軌跡,但我們已知?jiǎng)狱c(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡,因此保持二次函數(shù)不動(dòng),將點(diǎn)B、C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后可得到B′、C′將求解△BCP′的面積最小值轉(zhuǎn)化為求解△B′C′P的面積最小值,大大降低了求解的難度.因此,這里提到的“以靜制動(dòng)”的實(shí)質(zhì)就是將難以掌握的“動(dòng)”轉(zhuǎn)化為已知的“動(dòng)”,最終化繁為簡(jiǎn),將直線的“動(dòng)”和函數(shù)圖像的“動(dòng)”,最終都看作是點(diǎn)的“動(dòng)”.

5 教學(xué)啟示

5.1 夯實(shí)基礎(chǔ),注重知識(shí)的綜合運(yùn)用,組織專(zhuān)題復(fù)習(xí)

一道壓軸題蘊(yùn)含多個(gè)知識(shí)點(diǎn),例如上述試題綜合考查了函數(shù)圖象與性質(zhì)、圖形的旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、一元二次方程的根、三角形面積求解等多個(gè)知識(shí)點(diǎn).教師研讀教材時(shí)如果能夠從系統(tǒng)角度思考,著眼于知識(shí)之間的聯(lián)系與規(guī)律,把表面看來(lái)不相同的概念、定理、法則,通過(guò)數(shù)學(xué)本質(zhì)的揭示,使之處于一個(gè)統(tǒng)一體中,會(huì)有意外的收獲[5].因此,教師在中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時(shí)要組織專(zhuān)題復(fù)習(xí),注重知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系,運(yùn)用框架法梳理知識(shí),幫助學(xué)生進(jìn)行有效的知識(shí)遷移,進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)間的同化.

對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深刻理解關(guān)鍵還是在學(xué)生的自我建構(gòu),為了促成這種建構(gòu),通過(guò)對(duì)經(jīng)典問(wèn)題的系列變式、深度探究就是一條有效的途徑.教師的教學(xué)不能“照本宣科”完全按照教材去教,要結(jié)合學(xué)生實(shí)際,對(duì)教材內(nèi)容再創(chuàng)造,再組織.為了防止題型的機(jī)械練習(xí),教師應(yīng)圍繞考點(diǎn)創(chuàng)造性地挑選試題,分析題干的條件和結(jié)論,鼓勵(lì)學(xué)生積極思考、主動(dòng)參與、拓展思維、合作探究、歸納總結(jié),提高復(fù)習(xí)效率,做到“解一道題會(huì)一類(lèi)題”,真正實(shí)現(xiàn)問(wèn)題解決.

5.2 抓住解題關(guān)鍵,深入探究解題思路

通過(guò)上述研究,“圖形旋轉(zhuǎn)—點(diǎn)的坐標(biāo)變換”這一類(lèi)題型,解題的關(guān)鍵主要有以下幾點(diǎn):一是當(dāng)難以求出旋轉(zhuǎn)后P′的運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí),會(huì)用轉(zhuǎn)化思想和逆向思維,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為易于求解的問(wèn)題.二是抓住旋轉(zhuǎn)的特殊角45°,60°,90°,120°等,巧用旋轉(zhuǎn)角,構(gòu)造特殊圖形(等腰直角三角形、等邊三角形等)簡(jiǎn)便計(jì)算,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的構(gòu)造思想.例如,在[深入探究]中,巧用45°角,直線y=-x繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后恰好與x軸重合,大大降低了畫(huà)圖和計(jì)算難度.三是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,構(gòu)造圖形中隱含的“手拉手”全等三角形模型,利用全等三角形面積相等的性質(zhì)轉(zhuǎn)化問(wèn)題的求解.在課堂中,教師可以運(yùn)用信息技術(shù)的演示或者實(shí)物的操作,讓學(xué)生感悟圖形變化的基本特征,并且知道平移、軸對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小和形狀.

5.3 巧用逆向思維,探索解題新路徑

首先,逆向思維的培養(yǎng)不是一蹴而就的,應(yīng)滲透于平時(shí)的教學(xué)環(huán)節(jié)中.例如,幾何性質(zhì)定理和判定定理中存在許多互逆命題,如角平分線定理,在教學(xué)中,教師應(yīng)抓住時(shí)機(jī),讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識(shí)間存在的雙向關(guān)系.其次,逆向思維應(yīng)在數(shù)學(xué)應(yīng)用過(guò)程中培養(yǎng),例如數(shù)學(xué)運(yùn)算中存在很多互逆思想,加法法則可以轉(zhuǎn)化為減法法則.最后,反證法也是一種常見(jiàn)的逆向思維的運(yùn)用.

6 結(jié)束語(yǔ)

逆向思維的培養(yǎng)需要經(jīng)歷一段時(shí)間的訓(xùn)練,讓學(xué)生在潛移默化中形成雙向思考,突破思維定式,激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣,以獲得解題的新途徑,最終提高學(xué)生的逆向思維能力.