二維不可壓縮Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程組的全局強(qiáng)解

劉楠,任永華,張建文

(太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,山西 晉中 030600)

1.引言

本文考慮如下不可壓縮Navier-Stokes-Landau-Lifshitz耦合模型:

其中? ∈R2為光滑有界區(qū)域,其邊界為??,ρ=ρ(x,t),u=(u1,u2)(x,t)以及P=P(x,t)分別代表密度函數(shù),速度函數(shù),壓強(qiáng)函數(shù),d=(d1,d2)(x,t)表示宏觀分子取向力,(1.1)中的項(xiàng)?d ⊙?d表示一個(gè)2×2的矩陣,其第i行j列元素可表示為?id·?jd(1≤i,j ≤2).(1.1)的初邊值條件如下所示:

其中v是??上的單位外法向量.(1.1)是不可壓縮的Navier-Stokes和Landau-Lifshitz方程耦合而成的.若u=0,則(1.1)3為Landau-Lifshitz方程;當(dāng)d為一個(gè)常值向量時(shí),(1.1)1、(1.1)2以及(1.1)4是不可壓縮的Navier-Stokes方程;若(1.1)中省略d×?d,則(1.1)是向列相液晶方程.Navier-Stokes方程反映了粘性流體流動(dòng)的基本力學(xué)規(guī)律,在流體力學(xué)中有十分重要的意義,Landau-Lifshitz方程是描述磁性物質(zhì)動(dòng)態(tài)磁化現(xiàn)象的方程,對非平衡態(tài)磁學(xué)的研究起著十分重要的作用,而這兩個(gè)方程進(jìn)行耦合之后的系統(tǒng)可以用來描述磁體磁化的色散理論.Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程目前已經(jīng)被許多作者在不同角度研究過,其中DUAN和ZHAO[1]在(ε>0)足夠小的條件下,證明了三維不可壓縮的Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程柯西問題解的全局適定性;FAN等人[2]利用精細(xì)的估計(jì),得到了Besov空間以及乘子空間中Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程光滑解的正則性準(zhǔn)則;WANG和GUO[3]通過Faedo-Galerkin近似以及弱緊性理論證明了二維空間中不可壓縮的Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程弱解的存在唯一性.

貫徹于全文,采用如下簡記的空間記號:

本文主要結(jié)論如下:

定理1.1對常數(shù)q ∈(2,∞),假設(shè)初始數(shù)據(jù)(ρ0,u0,d0)滿足

此外,假設(shè)以下初值條件成立:

那么對任何0

2.預(yù)備知識(shí)

引理2.1[4]假設(shè)初值(ρ0,u0,d0)滿足條件(1.4),則存在一個(gè)正時(shí)間T,使得問題(1.1)–(1.3)在?×(0,T)中有唯一強(qiáng)解.

引理2.2[7](Gagliardo-Nirenberg不等式) 對于任意q ∈[2,∞),r ∈(2,∞)以及s ∈(1,∞),假設(shè)f ∈H1(R2)以及g ∈Ls(R2)∩D1,r(R2),則存在依賴于q、r以及s的正常數(shù)C,滿足如下

接下來給出Stokes方程的正則性性質(zhì):

引理2.3[8]假設(shè)F ∈Lr(?),1

引理2.4[9]設(shè)(ρ,u,d)為問題(1.1)-(1.3)在(0,T)上的強(qiáng)解,假設(shè)0≤ρ ≤則

3.先驗(yàn)估計(jì)

引理3.1設(shè)(ρ,u,d)為系統(tǒng)強(qiáng)解,(ρ0,u0,d0)滿足初值條件(1.4)以及(1.5),則存在正常數(shù)C使以下成立:

證由最大值原理、方程(1.1)1、以及方程(1.1)4可得

本文假設(shè)m ≥1,則

1) 用u與方程(1.1)2做向量積,然后在R2上積分,利用分部積分與方程(1.1)4可得

2) 用-?d-|?d|2d與方程(1.1)3做向量積,并且在R2上積分可得

則由式(3.5)以及(3.6)可知,式(3.4)可寫為

將式(3.3)和(3.7)相加,并在[0,T]上積分,由Gronwall不等式可得

另一方面,由于

結(jié)合式(3.9)以及(3.10)可得

則(3.13)對t積分并由Gronwall不等式可得

則(3.1)成立.

推論3.1對任意t ∈[0,T],有以下成立:

證首先由式(3.1)以及(3.2)可直接得到

再對方程(1.1)3應(yīng)用L2估計(jì),并借助H¨older不等式、Gagliardo-Nirenberg不等式、式(3.1)以及式(3.16)可得

再次借用式(3.1)可得

則式(3.15)可直接得到.

引理3.2設(shè)(ρ,u,d)為系統(tǒng)(1.1)強(qiáng)解,且初始數(shù)據(jù)(ρ0,u0,d0)滿足條件(1.4)以及(1.5),則存在正常數(shù)C使以下成立:

證

1) 用ut與方程(1.1)2做向量積并在R2上積分可得

由式(3.2)、Holder不等式以及Gagliardo-Nirenberg不等式,可得

將(3.22)代入(3.21)中,且根據(jù)young不等式以及式(3.1)可得

由引理2.4以及式(3.23)可得

2)對方程(1.1)3作用?,再乘-??d,并在R2上積分可得

則由Gagliardo-Nirenberg不等式以及式(3.1)可得

式(3.26)與(3.24)相加,取ε足夠小可得

則由式(3.27)可得

滿足m(t)′≤Cm(t)n(t)+Cm(t)n(t)logm(t),則

則由式(3.28)、(3.1)以及Gronwall不等式可得

接著式(3.27)對t積分,并由式(3.29)以及(3.1)可得

最后由式(3.17)以及(3.29)可得

則(3.18)可由式(3.29)、(3.30)以及(3.31)得到.

引理3.3由式(2.2)、(3.1)以及(3.18)有下式成立:

一般來說，體育小鎮(zhèn)的空間布局由點(diǎn)、軸、網(wǎng)和域等4個(gè)基本要素構(gòu)成，這4個(gè)要素不是簡單意義的空間形態(tài)，而是有著特定內(nèi)涵和功能的區(qū)域[5]，每一要素的內(nèi)涵及布局要求如表1所示。

引理3.4設(shè)(ρ,u,d)為(1.1)強(qiáng)解,且(ρ0,u0,d0)滿足初始條件,則存在依賴T的正常數(shù)C使以下成立:

證1) 對方程(1.1)2關(guān)于t求導(dǎo),可得

用ut與(3.34)做向量積,并在R2上積分,由方程(1.1)1以及式(1.1)4可得

現(xiàn)對Ii進(jìn)行估計(jì),由H¨older不等式、Gagliardo-Nirenberg不等式、式(3.1)、(3.15)以及式(3.18)可得

將以上估計(jì)式代入式(3.35)中可得

2) 對方程(1.1)3關(guān)于t求導(dǎo),可得

用-?dt與方程(3.37)做向量積,并且在R2上積分可得

現(xiàn)對Mi進(jìn)行估計(jì),通過H¨older不等式、Gagliardo-Nirenberg不等式、式(3.1)以及式(3.18)可得

將以上估計(jì)式代入式(3.38)并與式(3.36)相加,取ε足夠小可得

由式(3.1)、(3.18)、(3.22)以及式(3.32)可得

式(3.39)乘以t并對T積分,再由Gronwall不等式、式(3.1)、(3.15)、(3.18)以及式(3.40)可得

3) 對方程(1.1)3關(guān)于t求導(dǎo)可得

用dtt與上面的方程做向量積,并R2在上積分可得

現(xiàn)對Ji進(jìn)行估計(jì),利用H¨older不等式、Cauchy不等式、式(3.1)、(3.15)、(3.18)以及式(3.41)可得

將Ji的估計(jì)式代入(3.42)再乘以t,并由式(3.15)、(3.18)以及(3.41)可得

4) 對方程(1.1)3作用?,再乘以??d,由(a×b)·b=0、式(3.1)、(3.15)、(3.18)以及式(3.41)可得

則由式(3.18)以及式(3.41)可得

最后由式(3.22)、(3.18)、(3.32)、(3.44)以及式(3.41)可得

則式(3.33)可由式(3.41)、(3.43)、(3.44)以及式(3.45)得到.

引理3.5對定理1.1中q ∈(2,∞),存在一個(gè)正常數(shù)C,使得對任意r ∈[2,q),有以下成立

證1) 由引理2.3、Sobolev不等式、式(3.1)、(3.18)、(3.44)以及式(3.45)可得

因此,由式(3.33)可得

2) 根據(jù)Stokes方程的正則性理論、H¨older不等式以及Gagliardo-Nirenberg不等式可得

式(3.48)對t積分,并由式(3.18)、(3.33)、(3.40)以及式(3.1)可得

顯然?ρ滿足如下方程

用q(?ρ)q-1與其做向量積,并在R2上積分且由方程(1.1)4可得

則結(jié)合Gronwall不等式以及式(3.49)可得

再次利用方程(1.1)1可得

由式(3.50)以及式(3.18)可得

則(3.46)可直接由式(3.47)、式(3.50)、以及式(3.51)可得.

4.定理1.1的證明

證由引理2.1知,存在T?>0使(1.1)-(1.3)在[0,T?]有局部唯一強(qiáng)解(ρ,u,d),因此為了證明定理1.1,只需要證明局部解可以擴(kuò)展到全局解即可.

否則,若T?<∞,由引理3.1-3.5可知,在t=T?時(shí),(ρ,u,d)滿足初始條件,因此,引理2.1意味著可以存在T??>T?使(ρ,u,d)作為(1.1)-(1.3)的強(qiáng)解可以擴(kuò)展到T?外,與(4.1)矛盾,故(4.2)成立.