Isn-I-Fréchet-Urysohn 空間上的相關性質研究

胡星宇

（北京工業(yè)大學 理學部，北京 100124）

拓撲空間中的序列收斂是數學里面的一個基礎和重要的概念。此外序列的通常收斂、統(tǒng)計收斂、理想收斂甚至是G-收斂近些年吸引了大量學者的關注［1-3］。理想收斂是一種特殊的序列收斂，最早是在2000 年Kostyrko［4］首先對它進行了研究，通過使用正整數的理想子集的概念給出了統(tǒng)計收斂的兩個很有趣的一般化結論，把它命名為I 和I*-收斂，并且在度量空間中研究了I 和I*-收斂的一些性質。隨后在2004 年，Lahiri 等［5］在拓撲空間中討論了I 和I*-收斂的一些性質。通常情況下，拓撲空間的拓撲性質一般不由空間中的序列收斂決定，這導致了人們考慮網的收斂。2019 年，周先耕［6］介紹了被I-收斂決定性質的幾種不同類型的拓撲空間，并且研究了它們的性質。更多關于I 和I*-收斂的一些結論可以在文獻［7-14］中找到。在一般拓撲空間中，有許多由序列收斂定義的典型空間是第一可數空間，比方說Fréchet-Urysohn空間、序列空間［15-16］。在統(tǒng)計收斂和I-收斂的意義下，統(tǒng)計Fréchet-Urysohn空間和I-Fréchet-Urysohn空間、統(tǒng)計序列空間和I-序列空間在文獻［2，17-19］中被廣泛討論。近些年，理想收斂已經變成一般拓撲學和集合論上的一個熱點問題［11，20-22］。2021 年，林壽在文獻［23］的基礎上繼續(xù)研究理想收斂，在開集和I-開集之間給出了Isn-開集的概念，并且在此基礎上給出了I-領域空間、Isn-開拓撲空間、I-連續(xù)、Isn-連續(xù)、I-商映射、Isn-商映射的定義，并且結合文獻［18］給出的I-序列空間概念，在一起總的討論了它們彼此的關系和性質。

本文在文獻［23］的基礎上提出了Isn-I-Fréchet-Urysohn空間的概念，并且結合文獻［24］中引入的Isn-序列空間的概念，討論它們之間的關系和一些相關性質，比如遺傳性、連續(xù)性等。最后討論了這些空間和理想收斂中其他空間之間的關系。

1 基本概念

定義1［23］令I 是N 的子集構成的集族，考慮以下條件：

（1）如果A，B∈I，那么A∪B∈I；

（2）如果B?A∈I，那么B∈I；

（4）I 是N 的一個覆蓋。

集族I 被稱作N 上的一個理想如果它滿足條件（1）和（2）；I 被稱作N 上非平凡理想如果它滿足條件（1）～（3）；I 被稱作N 上的一個admissible 理想如果它滿足條件（1）～（4）。此文的理想都是admissible理想。

定義2［23］令I 是N 上的一個理想，并且X 是一個拓撲空間。對于X 中的一個序列｛xn｝，如果對于x的任意一個領域U 有｛n∈N：xnU｝∈I，那么稱｛xn｝I-收斂于點x，記做。

定義3［23］N 上的所有有限子集構成的集族記做Ifin，那么Ifin是最小的非平凡理想包含在每個admissible 理想中，此時X 上的I-收斂和X 上通常的序列收斂是一樣的，為了表述簡潔，如果沒有特殊提示，本文使用I 去表示N 上的一個admissible 理想，并且用Ifin表示N 上的一個最小理想，它是N 上所有有限子集構成的集族。

定義4［23］令X 是拓撲空間，并且P?X。X 中的序列｛xn｝被稱作I-終于P 如果｛n∈N：xnP｝∈I；對于任意x∈X，集合P 被稱作x 的一個I-序列領域如果每個I-收斂于x 的序列都I-終于P；集合P被稱作是X 的Isn-開集如果對于每個x∈P，P 是x 的I-序列領域。集合P 被稱作是X 的Isn-閉集如果XP 是X 的Isn-開集。集合P 被稱作是X 的I-閉集如果當P 中的序列，x∈P 成立；集合P 被稱作是X 的I-開集如果XP 是I-閉集。

定義5［23］考慮下面拓撲空間X 和X 的子集A 的條件：

（1）A 是X 的一個開集；

（2）A 是X 的一個Isn-開集；

（3）A 是X 的一個I-開集；

（5）A 是X 的一個序列開集。

有（1）?（2）?（3）?（4）?（5）成立。

定義6［23］拓撲空間X 被稱作是一個I-FU 空間如果對于每一個A?X 和x∈，那么在A 中一定存在一個序列｛xn｝滿足在X 中。從文獻［3］可知每個第一可數空間是I-FU 空間并且每個I-FU空間是I-序列空間。

如果I=Ifin，那么一個點的I-序列領域被稱作是這個點的序列領域，此時Isn-開集、Isn-閉集、I-開集、I-閉集和I-序列空間被稱作是sn-開集、sn-閉集、序列開集、序列閉集和序列空間，根據文獻［23］有下列結論成立。

定義7［23］下列稱述成立：

（1）序列開集和sn 開集在拓撲空間中是一致的；

（2）每個序列空間都是一個I-序列空間。

沿用文獻［23］中的記號，令：［A］Is=｛x∈X：在A 中存在一個序列｛xn｝滿足｝，=｛x∈X：在XA 中不存在序列｛xn｝滿足。=｛x∈X：如果U 是x 的一個I-序列領域，那么U∩A≠?｝，=｛x∈X：A 是x 的一個I-序列領域｝。

很容易知道集合A 被稱作是X 中的一個I-閉集當且僅當 A=，并且集合A 被稱作是X 中的一個I-開集當且僅當 A=。集合A 被稱作是X 中的一個Isn-閉集當且僅當 A=，并且集合A被稱作是X 中的一個Isn-開集當且僅當 A=。

定義8［23］令X，Y 是拓撲空間。給定一個映射f：X→Y，則：

（1）f 被稱作是一個I-連續(xù)如果U 是Y 的一個I-開集，那么f-1（U）是X 的一個I-開集；

（2）f 被稱作是一個Isn-連續(xù)如果U 是Y 的一個Isn-開集，那么f-1（U）是X 的一個Isn-開集；

（3）f 被稱作是保持I-收斂映射，如果對于X 中的每個滿足的序列｛xn｝，Y 中的序列｛f（xn）｝都I-收斂到f（x）。

定義9［23］令X，Y 是拓撲空間，并且映射f：X→Y 是一個滿射，則：

（1）f 被稱作是一個商映射（I-商映射）如果對于每個U?Y，集合f-1（U）是X 的開集（I-開集）當且僅當U 是Y 的一個開集（I-開集），在這里空間Y 被稱作是映射f 和理想I生成的一個商空間（I-商空間）；

（2）f 被稱作是一個Isn-商映射如果對于每個U?Y，集合f-1（U）是X 的Isn-開集當且僅當U 是Y的一個Isn-開集，在這里空間Y 被稱作是映射f 和理想I生成的一個Isn-商空間。

定義10［6］X 被稱作是一個I-序列空間，如果X 的每個I-開子集A 是X 的開集。

定義11［23］X 被稱作是一個I-領域空間，如果X 的每個I-開子集A 是X 的Isn-開集。

定義12［24］X 被稱作是一個Isn-序列空間，如果X 的每個Isn-開子集A 是X 的開集。

定義13［24］一個拓撲空間X 被稱作是一個Isn-Fréchet-Urysohn空間如果X 每個點的任何一個I-序列領域都是這一點的領域。

2 主要結果

定義14 一個拓撲空間X 被稱作是一個Isn-I-Fréchet-Urysohn空間如果對于每一個A?X 和x∈，那么在A 中一定存在一個序列｛xn｝滿足在X 中。

由此定義容易知道一個拓撲空間X 被稱作是一個Isn-I-Fréchet-Urysohn空間當且僅當對于每個A?X，都有并且。

根據Zorn’s 引理，由文獻［6］可以證明在N 中的所有admissible 理想I 形成的集族中一定存在一個最大理想。如果J 是N 的一個最大理想，那么對于每個A?N，有A∈J 或者A∈NJ 成立。對于N 的每一個理想I，N 的所有最大理想J 滿足I ?J 組成的集合由Θ（I）表示。由文獻［25］可知I=∩J∈Θ(I)J。

引理1［6］如果J 是N 的一個最大理想，那么每個拓撲空間都是J-領域空間。

引理2［6］令J 是N 的一個最大理想，并且X 是一個拓撲空間。那么A?X 是J-開集當且僅當對于任意x∈A，X 中每個J-收斂于x 的序列都J-終于A。

從此引理可以看出，令J 是N 的一個最大理想或者最小理想，當I=J 時，如果A 是X 的I-開集，那么A 同時也是X 的Isn-開集，再結合引理1，很容易得到如下定理。

定理1 令J 是N 的一個最大理想或者最小理想，并且X 是一個拓撲空間，取I=J。如果X 是一個Isn-序列空間，那么X 也是一個I-序列空間。

推論1 令J 是N 的一個最大理想或者最小理想，并且X 是一個拓撲空間，取I=J。如果X 是一個Isn-Fréchet-Urysohn 空間，那么X 同時也是一個I-Fréchet-Urysohn 空間。

定理2 Isn-I-Fréchet-Urysohn 空間（Isn-Fréchet-Urysohn 空間）的每個子空間是Isn-IFréchet-Urysohn 空間（Isn-Fréchet-Urysohn空間）。

證明 令X 是一個Isn-I-Fréchet-Urysohn空間，令Y 是X 的一個非空子空間，并且對于任意A?X，有。令F=A∩Y，因為F?X，所以，并且，又因為F?Y，所以Y 也是Isn-I-Fréchet-Urysohn空間。同理，當X 是Isn-Fréchet-Urysohn空間時，它的每個子空間同樣是Isn-Fréchet-Urysohn空間。

定理3 X 是一個I-序列空間當且僅當X 是一個I-領域空間同時也是一個Isn-序列空間。

證明 根據定義，假設X 是一個I-序列空間，那么對于X 中的任意一個I-開集，它一定是一個開集，根據定義5，它一定是一個Isn-開集。反之對于X 中的任意一個Isn-開集，根據定義5，它一定是一個I-開集，所以它是一個I-領域空間。同理，對于X 中的任意一個Isn-開集，根據定義5，它一定是I-開集，根據條件，它一定是開集，所以X 是一個Isn-序列空間。

反之，若X 是一個I-領域空間并且也是一個Isn-序列空間，對于X 中的任意一個I-開集，它肯定也是一個Isn-開集，因為X 是一個Isn-序列空間，所以它肯定是一個開集，所以X 是一個I-序列空間。

回想一下拓撲空間X 的可數tightness 定義，如果在X 中A?X，并且 x∈，那么存在可數子集C?A 滿足 x∈。由此定理知一個I-序列空間是I-領域空間，同時也是一個Isn-序列空間，又根據文獻［6］可知，每個I-序列空間滿足可數tightness，所以Isn-序列空間和I-領域空間都滿足可數tightness。

定理4 Isn-序列空間具有如下性質：

（1）每個Isn-序列空間在Isn-開集（Isn-閉集）下是遺傳的；

（2）在拓撲和下仍然是Isn-序列空間。

證明（1）令X 是一個Isn-序列空間。令Y 是X 的一個Isn-開子集并且A 是子空間Y 的一個Isn-開子集。那么根據文獻［23］，A 是X 的一個Isn-開子集。因為X 是一個Isn-序列空間，所以A 是X 的一個開子集，可以得到A 是子空間Y 的一個開子集，所以Y 是一個Isn-序列空間。

令Y 是X 的一個Isn-閉子集并且F 是子空間Y 的一個Isn-閉子集。那么根據文獻［23］，F 是X 的一個Isn-閉子集。因為X 是一個Isn-序列空間，所以F 是X 的一個閉子集，可以得到F 是子空間Y 的一個閉子集，所以Y 是一個Isn-序列空間。

（2）令｛Xα｝α∈A是Isn-序列空間組成的一個集族。令X=⊕α∈ΛXα是｛Xα｝α∈Λ組成的拓撲和。本文將會證明拓撲和X 是一個Isn-序列空間。令F 是X 中的一個Isn-閉子集。對于每個α∈Λ，因為Xα是X 中的閉集，F∩Xα是X 中的Isn-閉子集。又因為（F∩Xα）?Xα，根據文獻［23］，有F∩Xα是Xα中的Isn-閉子集。根據假設，有F∩Xα是Xα中的閉集。根據拓撲和的定義，可以發(fā)現F 是X 中的閉集，因此，拓撲和X是一個Isn-序列空間。

定理5 拓撲空間X 是一個Isn-序列空間當且僅當X 上的每個Isn-連續(xù)映射是一個連續(xù)映射。

證明 假設X 是一個Isn-序列空間并且映射f：X→Y 是Isn-連續(xù)映射。令U 是Y 的一個開子集，因為同時U 是Y 的一個Isn-開子集并且f：X→Y 是一個Isn-連續(xù)映射，所以f-1（U）是X 的一個Isn-開子集。又因為X 是一個Isn-序列空間，所以f-1（U）是X 的一個開子集。因此，f：X→Y 是一個連續(xù)映射。

相反的，假設X 不是一個Isn-序列空間。那么存在X 的一個Isn-開子集O 滿足O 不是X 的開子集。令Y=｛0，1｝并且在集合Y 上賦予以下拓撲：集合?，｛0｝和Y 是Y 中的開集，并且集合｛1｝是Y 中的開集當且僅當集合O 是X 中的Isn-閉子集。定義映射f：X→Y 如下：如果x∈O，那么f（x）=0。如果x∈XO，那么f（x）=1。首先，先證明f：X→Y 是Isn-連續(xù)映射。令U 是Y 的Isn-開子集，因為O 是X 的一個Isn-開子集，可以假設U=｛1｝。如果｛1｝不是Y 的開子集，可以在Y 中定義一個序列｛yn｝并且yn=0，那么很明顯yn→1，因此。因為U 是一個Y 的Isn-開子集，所以U 是一個Y 的I-開子集，根據文獻［23］，?=｛n∈N：yn∈U｝?I。這產生了矛盾。因此｛1｝是Y 的開子集，并且O 是X 中的Isn-閉子集。那么很顯然f-1（U）是X 的Isn-開子集。這說明了f：X→Y 是Isn-連續(xù)映射。因為｛0｝是Y 的開子集并且f-1（｛0｝）=O 不是X 的開子集，所以f：X→Y 不是連續(xù)映射。

定理6 每個Isn-I-Fréchet-Urysohn 空間（Isn-Fréchet-Urysohn 空間）都是I-領域空間（Isn-序列空間）。

證明 若X 是一個Isn-I-Fréchet-Urysohn 空間，對于任意A?X，都有，若F 是X 中的I-閉集，那么，所以F 是X 中的Isn-閉集，容易知道它一定是一個I-領域空間。同理，若X是一個Isn-Fréchet-Urysohn 空間，自然可以推出它一定是一個Isn-序列空間。

定理7 如果空間X 的每個子空間是I-領域空間（Isn-序列空間），那么X 是一個Isn-IFréchet-Urysohn 空間（Isn-Fréchet-Urysohn 空間）。

證明 假設空間X 的每個子空間是I-領域空間，令A?X，并且 x∈，如果 x∈A，那么這個證明是顯然的。如果x?A，那么A 不是X 中的Isn-閉集。現在令Y=A∪｛x｝，那么A 不是Y 中的閉集。但是通過假設，Y 是I-領域空間。因此存在序列｛xn｝?A 滿足。同理，若X 的每個子空間是Isn-序列空間，那么很容易知道X 是一個Isn-Fréchet-Urysohn 空間。

定理8 假設X 和Y 都是拓撲空間并且f：X→Y 是一個映射，那么下述結論成立：

（1）令X 是一個Isn-序列空間，如果f 是一個連續(xù)的商映射，那么f 是一個Isn-商映射并且Y 是一個Isn-序列空間；

（2）令Y 是一個Isn-序列空間，如果f 是Isn-商映射，那么f 是一個商映射。

證明（1）令X 是一個Isn-序列空間，并且f 是一個商映射，假設f-1（U）是X 中的一個Isn-開集，容易知道f-1（U）也是X 中的一個開集，所以U 是Y 中的一個開集，U 是Y 中的一個Isn-開集。假設U 是Y 中的一個Isn-開集，因為f 是一個連續(xù)映射，所以由文獻［6］可知f 是保持I-收斂映射。在X 中任意取一個序列｛xn：n∈N｝?X 滿足∈f-1（U）。因為f 是保持I-收斂映射，所以有∈U。因為U 是Y 中的一個Isn-開集，所以根據文獻［23］，有｛n∈N：f（xn）?U｝∈I 成立，很容易得到｛n∈N：xn?f-1（U）｝∈I 也成立。因此f-1（U）也是X 中的一個Isn-開集，所以f 是一個Isn-商映射。

假設U?Y 并且滿足U 是Y 中的一個Isn-開集，因為f 是一個Isn-商映射，所以f-1（U）是X 的一個Isn-開集。因為X 是一個Isn-序列空間，所以f-1（U）是X 中的一個開集。又因為f 是一個連續(xù)的商映射，所以U 是Y 中的一個開集，那么可以知道Y 也是一個Isn-序列空間。

（2）令Y 是一個Isn-序列空間并且f 是Isn-商映射。如果f-1（U）是X 中的一個開集，那么f-1（U）是X 中的一個Isn-開集。因為f 是Isn-商映射，所以U 是Y 中的一個Isn-開集。在這里注意到Y 是一個Isn-序列空間，所以U 是Y 中的一個開集。反之，如果U 是Y 中的一個開集，那么U 是Y 中的一個Isn-開集。因為f 是Isn-商映射，所以f-1（U）是X 中的一個Isn-開集，因為X 是一個Isn-序列空間，所以f-1（U）是X 中的一個開集，因此f 是一個商映射。