圖形直觀引導(dǎo)下函數(shù)問(wèn)題的分析與解決

周裕燕

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化、空間以及信息等概念的一門(mén)學(xué)科，它本身具備“形”的因素.圖形能很好地直觀呈現(xiàn)數(shù)學(xué)信息，能讓一些比較隱蔽的數(shù)學(xué)結(jié)論和數(shù)學(xué)思想顯現(xiàn)出來(lái).很多數(shù)學(xué)問(wèn)題可以通過(guò)挖掘其中的“形”，把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，使學(xué)生能簡(jiǎn)單、清晰地找到解決問(wèn)題的思路并預(yù)測(cè)結(jié)果，避免復(fù)雜的計(jì)算和推理.

函數(shù)問(wèn)題是高考重要的考查題型，不僅類(lèi)型豐富，而且方法靈活，是考查學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的重要載體.此類(lèi)問(wèn)題由于解題思路不易尋得，且求解過(guò)程較為繁瑣，是學(xué)生分析與求解的難點(diǎn)問(wèn)題. 函數(shù)具備明顯的“形”的特征，本文以函數(shù)中的切線、零點(diǎn)及偏移問(wèn)題為例，闡述如果借助圖形，將復(fù)雜的函數(shù)問(wèn)題“直觀化”，借助圖形引導(dǎo)解題思路，揭示問(wèn)題本質(zhì)，并通過(guò)邏輯論證，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題解決.

1.運(yùn)用圖形直觀，分析和解決函數(shù)的切線問(wèn)題

例1 若過(guò)點(diǎn)（a，b）可以作曲線y=ex的兩條切線，則（? ）.

A．eb

B．ea

C．0

D．0

分析：當(dāng)x→－∞時(shí)，曲線y=ex的切線的斜率k>0且k趨向于0，當(dāng)x→+∞時(shí)，曲線y=ex的切線的斜率k>0且k趨向于+∞.結(jié)合圖象（圖1）可知，兩切線的交點(diǎn)R（a，b）應(yīng)該在x軸上方，且在曲線y=ex的下方，故0

評(píng)注：若切點(diǎn)為（x0，ex0），求出切線方程y－ex0=ex0（x－x0），由過(guò)點(diǎn)（a，b）得，b－ex0=ex0（a－x0），轉(zhuǎn)化為關(guān)于x0的方程b－ex0=ex0（a－x0）有兩解進(jìn)行判斷，運(yùn)算較為繁瑣.利用圖形直觀分析問(wèn)題，只需判斷兩條切線的交點(diǎn)（a，b）在x軸上方且在曲線y=ex下方即可解決問(wèn)題.既體現(xiàn)了借助函數(shù)的圖形分析和解決問(wèn)題的優(yōu)越性，又有助于提高直觀想象素養(yǎng).

2.運(yùn)用圖形直觀，分析和解決函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）問(wèn)題

例2 設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R 上的單調(diào)函數(shù)，且x∈R，f（f（x）－ex）=e+1.若函數(shù)g（x）=f（x）－k（x+2）有兩個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍是（? ）.

A．（e，+∞） B．（1，e］ C．（1，+∞） D．（0，1）

析解：由題意得f（x）－ex為常數(shù)，設(shè)f（x）－ex=t，f（x）=ex+t，由函數(shù)y=f（x）為增函數(shù)，及f（t）=et+t=e+1，得t=1，故f（x）=ex+1.函數(shù)y=g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)y=f（x）與y=k（x+2）的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，畫(huà)出圖象（圖2），由圖形可直觀看出，直線y=k（x+2）與曲線y=f（x）相切時(shí)的位置是關(guān)鍵.可求得經(jīng)過(guò)（－2，0）的曲線y=f（x）的切線的斜率k=1.由圖象可知，要使y=f（x）與y=k（x+2）的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，k的取值范圍為（1，+∞）.故選C.

評(píng)注：本題求得函數(shù)y=f（x）的解析式，把y=g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（x）與y=k（x+2）的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，函數(shù)y=f（x）的圖象是常見(jiàn)、確定的，而直線y=k（x+2）過(guò)定點(diǎn)（－2，0）.因此，通過(guò)圖象分析，確定關(guān)鍵（相切）位置，通過(guò)適當(dāng)計(jì)算即可解決問(wèn)題，從而避免繁瑣的數(shù)學(xué)運(yùn)算，提高解題效率.

（2）要證f（x）=sinx－ln（1+x）有兩個(gè)零點(diǎn)，可以轉(zhuǎn)圖3化為證明y=sinx與y=ln（1+x）的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象（圖3），可以直觀判斷兩個(gè)函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2），不妨設(shè)x1

評(píng)注：求解（2）問(wèn)，先通過(guò)畫(huà)圖分析，可以確定函數(shù)f（x）有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，及零點(diǎn)所在的大致區(qū)域，這是突破分類(lèi)難點(diǎn)的關(guān)鍵，也是解決本題的關(guān)鍵.明確分類(lèi)后，進(jìn)而分區(qū)域逐一證明，在證明的過(guò)程中還需要在圖形的直觀引導(dǎo)下進(jìn)行邏輯推理論證.用圖形直觀的方法可以更加簡(jiǎn)單清晰地找到解決思路及預(yù)測(cè)結(jié)果，并引導(dǎo)解題的推理過(guò)程.

3.運(yùn)用圖形直觀，分析和解決函數(shù)的偏移問(wèn)題

例4 已知函數(shù)f（x）=x（1－lnx）.

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

析解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．f′x=－lnx，當(dāng)x=1時(shí)，f′（x）=0；當(dāng)x∈（0，1）時(shí)f′（x）>0；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）<0．故f（x）在區(qū)間（0，1］上為增函數(shù)，在區(qū)間［1，+∞）上為減函數(shù).

已知條件轉(zhuǎn)化為m（1－lnm）=n（1－lnn），圖4即f（m）=f（n）.將要證不等式轉(zhuǎn)換為22．借助f（x）的大致圖象（圖4）可知，極值點(diǎn)偏向m.要證m+n>2，只需證n>2－m，由于n>2－m>1，由f（x）在區(qū)間［1，+∞）內(nèi)為減函數(shù)，只需證f（n）2．接著再證m+n

評(píng)注：本題（2）小題通過(guò)畫(huà)圖，可以直觀發(fā)現(xiàn)m，nm2，確定極值點(diǎn)偏向m，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)極值點(diǎn)的左右兩側(cè)，圖象變化趨勢(shì).結(jié)合函數(shù)圖象特征，引導(dǎo)解題思路，并通過(guò)構(gòu)造相關(guān)函數(shù)推理論證，較為簡(jiǎn)便地解決問(wèn)題.本題是極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上是函數(shù)中非軸對(duì)稱的問(wèn)題，由于其圖象的特殊性，可以把m（或n）通過(guò)直線x=1對(duì)稱，再通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性解決此類(lèi)問(wèn)題.

大致圖象（圖5）.欲證x1+x2>2，只需證x2>2－x1.由于x2>2－x1>1，因?yàn)閒（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，所以只需證f（x2）

反映了x=1更偏向x1的圖形特征.因此，本題通過(guò)數(shù)形結(jié)合分析問(wèn)題，把問(wèn)題歸為函數(shù)偏移問(wèn)題，可采用例4的解題方法較為簡(jiǎn)便地解決本題.

由上述實(shí)例分析可見(jiàn)，圖形可以為分析和解決函數(shù)問(wèn)題提供重要的直觀基礎(chǔ)和視覺(jué)支撐.在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，常常可以借助圖形直觀，將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化.利用圖形描述分析問(wèn)題的思維活動(dòng)，是課堂開(kāi)展思維活動(dòng)、培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)的重要形式之一．在數(shù)學(xué)問(wèn)題解題教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)注重滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，利用好圖形直觀的手段與方法，幫助學(xué)生直觀地尋找解決問(wèn)題的思路，培養(yǎng)學(xué)生識(shí)圖、畫(huà)圖與析圖的能力，提高用圖意識(shí)，促進(jìn)解題能力的提升和直觀想象的生成.