一道高校創(chuàng)新班招生試題的探究

張志剛

解題教學(xué)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中具有不可替代的作用.對于典型問題，教師要引導(dǎo)學(xué)生挖掘本質(zhì)，捕捉信息，抓住關(guān)鍵，尋求聯(lián)系，觸發(fā)靈感，構(gòu)建方案.讓學(xué)生在感知確認、抽象概括、合情推理、操作運算等思維活動中，全方位、多角度、多層次地思考問題，逐步學(xué)會有邏輯地思考數(shù)學(xué)問題.同時，教師追根溯源可以洞悉命題意圖，橫跨縱聯(lián)利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維.

1 試題呈現(xiàn)

本題是2023年中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)創(chuàng)新班初試第4題，為函數(shù)與數(shù)列的綜合問題.試題結(jié)構(gòu)精煉，情境新穎，突出對數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)的考查，呈現(xiàn)出更強的綜合性與選拔性，具有較高的研究價值.

2? 解法探究

第（1）問 本小問要求證明不等式恒成立，可考慮構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性證明.

首先證明：當(dāng)x>0時，sinx

設(shè)fx=sinx－xx>0，f′x=cosx－1≤0，所以fx在0，+∞上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x>0時，fx

第（2）問 本小問是數(shù)列不等式的證明問題，綜合性較強.解答時應(yīng)注重借助第（1）問的結(jié)論，結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法與放縮進行證明.

3 命制背景

本題第（1）問不等式的高等數(shù)學(xué)背景是正弦函數(shù)的泰勒（Taylor）展開式.

用多項式逼近函數(shù)是近似計算和理論分析的一個重要內(nèi)容［2］.學(xué)生在“導(dǎo)數(shù)的幾何意義”一節(jié)已學(xué)習(xí)了切線擬合——以直代曲，即用曲線上某點處的切線近似代替此點附近的曲線.例如，函數(shù)y=sinx點0，f0附近的圖象可用切線y=x擬合.然而，切線擬合在很多場合中并不能滿足精確度要求，需用二次或高于二次的多項式逼近.切線擬合啟發(fā)我們：既然用一階導(dǎo)數(shù)逼近就可在切點附近達到一定的精度，那么多次求導(dǎo)，讓擬合函數(shù)在某點處的任意階導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)的同階導(dǎo)數(shù)相等，應(yīng)會提高精確度．這正是泰勒公式的核心思想：圖1先把函數(shù)轉(zhuǎn)換（改寫）為多項式形式，

其中多項式的系數(shù)求導(dǎo)得到.然后用多項式擬合函數(shù)，其誤差是關(guān)于x－x0n的高階無窮小量.例如，由麥克

此外，將上式中的高次項舍棄，保留前部片段就得到一些常用的不等式.例如，保留展開式的前一項即得sinx

諸多高考題和模擬題以泰勒公式為科學(xué)背景；或是直接應(yīng)用泰勒公式，或是研究泰勒公式，考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).下面列舉兩例，體會泰勒公式在比較大小、不等式恒成立等問題中的功用.

A.a

C.c

本題以分數(shù)，指數(shù)式和對數(shù)式為載體，考查比較大小的問題，屬于探索創(chuàng)新情境.常見解法是構(gòu)

造函數(shù)fx=1－xex－1，gx=xex+ln1－x，利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性，進而判定代數(shù)式的大小.下面利用泰勒展開式給出兩種解法.

點評：上述兩種解法借助泰勒公式近似計算或放縮，論證簡潔高效，彰顯了泰勒展開式在函數(shù)擬合與近似計算中的獨特價值.

例2 （2020年新高考Ⅰ卷第21題）已知函數(shù)fx=aex-1－lnx+lna.（1） 當(dāng)a=e時，求曲線y=fx在點1，f1處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；（2） 若fx≥1，求a的取值范圍.

本題第（1）問變?yōu)槔脤?dǎo)數(shù)的幾何意義解決曲線的切線問題，較為容易.第（2）問為考查不等式恒成立求參數(shù)范圍問題，常見的解答思路有同構(gòu)變形、虛設(shè)零點等.下面利用分類討論思想嘗試作答.

綜上，a的取值范圍是1，+∞.

4 延伸思考

爾問題.

歐拉將方程與巴塞爾問題，創(chuàng)造性地把有限多項式的因式乘積形式類比至無限項多項式中，成功地把無窮級數(shù)和數(shù)字π聯(lián)系起來，彰顯了獨特的原創(chuàng)性和簡潔性，也成為近年高考模擬考試的熱點命題素材，下面再舉一例.

例3 （2023年湖南省永州市第三次適應(yīng)性測試第22題）已知函數(shù)fx=xe－x·lna，gx=sinx.

（1）若x=0是函數(shù)hx=fx+agx的極小值點，討論hx在區(qū)間－∞，π上的零點個數(shù)；

參考文獻

［1］ 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析（上冊）（第4版）［M］.北京：高等教育出版社，2010.7.