2023年新高考Ⅱ卷第21題的推廣探究

鄧捷敏 童繼稀

本文通過(guò)對(duì)2023年新高考Ⅱ卷中的第21題，即解析幾何大題的分析，將試題結(jié)論推廣到一般情形，并類比、歸納與推理，將結(jié)論拓展到橢圓與圓中，從而得到有心圓錐曲線的一組統(tǒng)一性質(zhì)．

一、試題呈現(xiàn)與反思

本題根據(jù)解析幾何研究的兩個(gè)基本問(wèn)題來(lái)進(jìn)行設(shè)計(jì)，即第（1）問(wèn)是根據(jù)條件求曲線方程，第（2）問(wèn)是根據(jù)曲線方程來(lái)研究性質(zhì)．有趣的是兩條直線的交點(diǎn)P在垂直于x軸的定直線上，從而引發(fā)我們產(chǎn)生以下疑問(wèn)：

問(wèn)題1 為什么題意中強(qiáng)調(diào)直線MN與雙曲線相交于左支呢？如果相交于兩支，點(diǎn)P是否還在定直線上？

問(wèn)題2 直線MN可否過(guò)雙曲線焦點(diǎn)所在軸上的任意一定點(diǎn)？

問(wèn)題3 試題中的結(jié)論在一般的雙曲線中是否也成立？該結(jié)論的逆命題是否成立？

問(wèn)題4 在其他圓錐曲線中是否也有類似結(jié)論？

以下對(duì)這4個(gè)疑問(wèn)進(jìn)行綜合探究．

二、結(jié)論推廣與拓展

將問(wèn)題1、問(wèn)題2與問(wèn)題3放在一起考慮，經(jīng)探究，可得如下結(jié)論：

當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)和點(diǎn)D在y軸上時(shí)，有相同結(jié)論如下：

若將性質(zhì)1的條件與結(jié)論互換，即逆命題也成立．

性質(zhì)2 已知雙曲線C：x2a2－y2b2=1（a>0，b>0）的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，點(diǎn)P是定直線x=m上的動(dòng)點(diǎn)（m≠0，且m≠±a，P的縱坐標(biāo)yP≠0，且yP≠±ba（m±a））．直線A1P與C的另一交點(diǎn)為M，

將性質(zhì)1類比到焦點(diǎn)在x軸上的橢圓中時(shí)，可得如下3個(gè)類似的結(jié)論：

當(dāng)橢圓焦點(diǎn)和點(diǎn)D在y軸上時(shí)，有相同結(jié)論如下：

令性質(zhì)3中的a=b，從而得到圓中的一個(gè)類似結(jié)論：

以上性質(zhì)的證明與性質(zhì)1、性質(zhì)2類似，讀者可自行證明．

三、結(jié)語(yǔ)

本文在類比、歸納與推理的研究過(guò)程中，對(duì)圓錐曲線的性質(zhì)進(jìn)行推廣與拓展，得到了一般性的結(jié)論．類比、歸納與推理是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的常見(jiàn)方法，結(jié)論推廣其實(shí)就是類比和歸納的過(guò)程，也是數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的落實(shí)過(guò)程．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版2020年修訂）》指出，“數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的育人價(jià)值在于通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能在情境中抽象出數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”［1］．如果能把這種活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)運(yùn)用在高考復(fù)習(xí)備考中，讓學(xué)生體驗(yàn)和經(jīng)歷已知數(shù)學(xué)命題的推廣過(guò)程，那么學(xué)生就能夠在新的情境中選擇和運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題，自然也就能達(dá)到提升高考復(fù)習(xí)備考效果的目的．

參考文獻(xiàn)

［1］中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］童繼稀，周威.一道高考題中圓錐曲線切割線的一組性質(zhì)探究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2022（09）：47-51.

［3］童繼稀.2022年新高考Ⅱ卷第10題的推廣探究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師大），2023（07）：6-8.