窮根究底，“增解”何來？

賴呈杰 林景芳

在解三角形問題中，根據(jù)條件建立方程計(jì)算線段長(zhǎng)度或角度時(shí)經(jīng)常會(huì)產(chǎn)生“增解”問題.本文筆者以2023年全國(guó)新高考Ⅰ卷17為例，明晰“增解”來源，理清“舍根”方法，并提出避免產(chǎn)生“增解”的幾種策略，希望對(duì)讀者有所幫助.

1 問題起源

（2023年全國(guó)新高考Ⅰ卷17）已知在△ABC中，A+B=3C，2sin（A－C）=sinB．

（1）求sinA；（2）設(shè)AB=5，求AB邊上的高．

分析：第（1）小題考查三角恒等變換求三角函數(shù)值，第（2）小題可通過等面積法求AB邊上的高.即將問題轉(zhuǎn)化為“三角形中，已知兩個(gè)內(nèi)角與一條邊，求其他邊長(zhǎng)”.即求b.

可以發(fā)現(xiàn)，以上三種思路均采用余弦定理，思路2卻產(chǎn)生了增解.原因在哪里？如何舍去增解？已知“兩邊一對(duì)角”情形下，選擇哪個(gè)角使用余弦定理最佳？

2 為何有增解

2.1 “增解”的幾何解釋

2.2 “增解”的代數(shù)說明

已知a，c和角C，對(duì)角C使用余弦定理，并將其整理為關(guān)于b的一元二次方程b2－2abcosC+a2－c2=0（*）.判別式Δ=（2acosC）2－4（a2－c2），化簡(jiǎn)得Δ=4（c2－a2sin2C）=4（c+asinC）（c－asinC），則

①若方程（*）有兩個(gè)不等的正數(shù)解，則該三角形有兩解；

②若方程（*）有一個(gè)正數(shù)解，則該三角形有一解；

③若方程（*）無解或只有負(fù)數(shù)解，則該三角形無解.

限于篇幅，僅證明①.

3 如何舍去增解

4 避免產(chǎn)生增解的策略

策略1 對(duì)較大角使用余弦定理

策略2 ?運(yùn)用射影定理

策略3 運(yùn)用正弦定理

sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=

解三角問題中，只要甄別好條件，運(yùn)用余弦定理來辨析三角形解的個(gè)數(shù)也是可行的.由此，可幫助學(xué)生面對(duì)此類試題時(shí)做好決策，做到胸有成竹，事半功倍！