最大SNR準(zhǔn)則的共形陣列波束合成方法*

張華健,李聰穎,黃治磊,周文斐,曾 浩

(1.北京衛(wèi)星信息工程研究所,北京 100095;2.海軍研究院系統(tǒng)研究所,北京 100036;3重慶大學(xué) 微電子與通信工程學(xué)院,重慶 400044)

0 引 言

共形陣列是將天線單元共形貼附于載體表面而構(gòu)成的天線陣列[1]。一般來說,共形陣列具有安裝簡單、節(jié)省空間、空氣阻力小和波束掃描范圍廣等優(yōu)點,在星載、機載、彈載平臺上有著廣泛的應(yīng)用[2-3]。共形陣雖然有著突出的優(yōu)勢和應(yīng)用潛力,但共形陣列載體彎曲引起的陣元各向異性和遮擋效應(yīng)制約著波束形成,通常的平面相控陣波束合成與綜合算法已不能適用于共形相控陣[4-6]。文獻(xiàn)[7]指出,在大多數(shù)共形陣列的波束形成算法中,最常見的解決方案是通過調(diào)用歐拉旋轉(zhuǎn)矩陣將天線的全局坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為其局部坐標(biāo)獲得陣元因子再進(jìn)行波束合成。文獻(xiàn)[8]指出,在共形陣中,陣面曲率影響造成輻射單元的指向各不相同,并且各個單元的極化各不相同,導(dǎo)致產(chǎn)生嚴(yán)重的交叉極化分量。文獻(xiàn)[9]研究了一種新的混合進(jìn)化算法在共形相控陣方向圖綜合中的應(yīng)用,該混合算法在共形天線陣綜合的實際問題上優(yōu)于遺傳算法和粒子群算法。文獻(xiàn)[10]提出了一種寬帶寬掃描圓柱共形相控陣的實用實現(xiàn)方法。但是,以上文獻(xiàn)在進(jìn)行共形陣波束合成時,將所有的陣元都參與波束合成中,那些信噪比(Signal-to-Noise Ratio,SNR)很小的陣元,其實會導(dǎo)致陣列輸出總的SNR降低。

為此,本文對共形陣接收信號進(jìn)行建模,根據(jù)每個陣元的接收信噪比,通過迭代方法對陣元是否參與波束合成進(jìn)行判斷,以確保陣列輸出滿足最大SNR準(zhǔn)則。

1 經(jīng)典共形陣波束合成方法

1.1 理想點源共形陣模型

在共形陣列中,圓柱陣使用最廣,因此本文研究以此為例,但本文方法對其他任意共形陣列同樣適合?？紤]如圖1所示的圓柱共形陣,此時,先假設(shè)每個陣元都是理想點源,則陣列方向圖僅僅由陣因子決定,與單元方向圖無關(guān)。

圖1 圓柱共形陣陣列結(jié)構(gòu)Fig.1 Structural diagram of cylindrical conformal array

在圖1中,圓柱陣列的表面上有E個等距的圓環(huán),相鄰兩圓環(huán)之間間距為M。每個圓環(huán)上有D個相同陣元,以XOZ面對稱,不同圓環(huán)上D個陣元布局完全相同。圓柱的半徑為r。原點位于圓柱陣母線中點所在圓截面的圓心。在同一圓環(huán)上,相鄰兩陣元之間的夾角為α。第d行e列陣元三維坐標(biāo)(pdex,pdev,pdez)可表示為

(1)

式中:d=1,2,…,D;e=1,2,…,E。

矩陣表示在陣列信號處理中更為方便,所以,陣列接收信號矩陣x(t)為

(2)

式中:s(t)為遠(yuǎn)場入射信號,入射角度為(θ0,φ0);v(θ0,φ0)為入射角度為(θ0,φ0)時的信號方向矩陣;τde是第d行e列的陣元相對于坐標(biāo)原點的延時,表達(dá)式為

(3)

1.2 歐拉坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)

信號在全局坐標(biāo)系(X,Y,Z)下的入射角度(θ0,φ0)是已知量,為了獲得每個陣元接收信號表示,定義每個陣元自身的局部坐標(biāo)系(Xde,Yde,Zde)。根據(jù)陣元局部坐標(biāo)系和全局坐標(biāo)系關(guān)系,把信號入射角度(θ0,φ0)轉(zhuǎn)換為每個單元的局部坐標(biāo)系下的入射角度(θde,φde)。

對于圖1的圓柱共形陣,觀察第d行e列的陣元其局部坐標(biāo)系與全局坐標(biāo)系的關(guān)系,發(fā)現(xiàn)全局坐標(biāo)系只需繞X軸旋轉(zhuǎn)一定的角度就可得到該陣元的局部坐標(biāo)系,所以歐拉旋轉(zhuǎn)需要旋轉(zhuǎn)的角度(αdex,αdey,αdez)分別為

(4)

通過歐拉坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)方法,得到第d行e列陣元的局部坐標(biāo)系下的入射角度(θde,φde)為

θde=arctan(sinθ0sinφ0sinαdex+cosθ0cosαdex)

1.3 共形陣列波束合成方法

真實的共形陣列方向圖,需要考慮單元方向圖的影響。在共形陣列中,陣元具有自身的本地坐標(biāo)系,通過1.2節(jié)的歐拉旋轉(zhuǎn)變換,由信號在全局坐標(biāo)系下的入射角度(θ0,φ0)獲得每個單元的局部坐標(biāo)系下的入射角度信息(θde,φde)。假設(shè)天線單元在自身坐標(biāo)系下的方向圖為

E(θ,φ)=A(θ,φ)ejB(θ,φ)

(5)

顯然,A(θ,φ)和B(θ,φ)分別是幅度和相位方向圖。當(dāng)信號從全局坐標(biāo)系下角度(θ0,φ0)入射時,信號在第d行e列的陣元的響應(yīng)為

E(θde,φde)=A(θde,φde)ejb(θde,φde)

(6)

從而,根據(jù)方向圖乘積定理,得到該入射信號在全局坐標(biāo)系下方向矢量為

(7)

經(jīng)典共形陣列波束合成采用的權(quán)矩陣由所有天線單元對應(yīng)加權(quán)值組成,權(quán)值僅僅是與方向矢量中相位部分相同,而不考慮方向矢量中幅度的不同,即

(8)

信號經(jīng)過波束合成后的表達(dá)式為

(9)

式中:符號“°”表示兩個同階矩陣的Hadamard積。此時,由于低SNR單元的信號也參與了波束合成,陣列輸出SNR無法確保最優(yōu)。

2 共形陣陣元選擇方法

2.1 陣列輸出信噪比計算

運用相控陣模型進(jìn)行接收信號處理的最終目的就是提高接收信號的信噪比,對于常用的平面相控陣模型,設(shè)陣元個數(shù)為L個,波束合成后接收信號的信噪比會提高L倍。對于共形相控陣來說,由于單元增益不同,情況會有所不同。

計算噪聲功率時,本文僅考慮了相控陣天線及其后端接收機的熱噪聲。設(shè)入射信號s(t)的功率為P0,每個陣元產(chǎn)生的噪聲功率為Pn,則Pn的表達(dá)式為

Pn=kBTB

(10)

式中:kB為玻爾茲曼常數(shù);T是絕對溫度;B為后級接收機帶寬。不同的陣元,其接收的噪聲功率是完全相同的。所以陣元個數(shù)為L的共形陣,接收信號的信噪比可以表示為

(11)

式中:Al是第l個陣元的單元幅度增益,由陣元的單元方向圖和入射信號相對該陣元的入射角度共同決定。

2.2 陣元啟用閾值條件理論推導(dǎo)

為了使得共形陣列輸出SNR最大,需要從所有陣元中選擇SNR較大的部分陣元進(jìn)行波束合成,即確定一個單元SNR閾值。當(dāng)單元SNR大于閾值,就選擇該陣元進(jìn)行波束合成,否則放棄該陣元。尋找閾值條件的初始步驟是要將所有陣元按單元幅度增益的大小由大到小進(jìn)行排序,選擇單元幅度增益最大的陣元作為第一個啟用陣元。

已啟用N-1個陣元的信噪比RSNN-1可以寫為

(12)

如果啟用第N個陣元,則信噪比RSNN為

(13)

式中:A為待考察的第N個陣元的單元幅度增益。比較兩者的大小,將兩者做差得到

(14)

式中:α為已啟用的N-1個陣元的幅度增益的均值,表達(dá)式為

(15)

對于式(14),令f(A)=(N-1)(α2-2Aα)-A2,問題轉(zhuǎn)變成考察函數(shù)f(A)的符號:若f(A)>0,表明啟用第N個陣元會導(dǎo)致接收信號信噪比下降,則不能啟用該陣元進(jìn)行信號處理;若f(A)<0,則可以啟用該陣元。

假設(shè)天線單元幅度增益的范圍為[0,Amax],所以函數(shù)f(A)的定義域為[0,Amax]。又函數(shù)f(A)在定義域內(nèi)是連續(xù)的,對函數(shù)f(A)求導(dǎo),得

f′(A)=-2A-2α(N-1)

(16)

由于f′(A)在定義域內(nèi)恒小于0,所以函數(shù)f(A)在定義域內(nèi)連續(xù)單調(diào)遞減。令f(A)=0并求解得

(17)

該點就是待考察的第N個陣元閾值條件。當(dāng)?shù)贜個陣元的單元幅度增益A

2.3 陣元啟用算法步驟

通過2.2節(jié)可以知道,算法具體實現(xiàn)步驟如下:

步驟1 由歐拉轉(zhuǎn)換公式把信號在全局坐標(biāo)系下的入射角度轉(zhuǎn)換為陣元坐標(biāo)系下的入射角度,進(jìn)而得到每個陣元的單元幅度增益Al;將所有陣元按單元幅度增益的大小由大到小進(jìn)行排序,選取增益最大的一個陣元作為信號接收的第1個陣元,N=2。

步驟3 根據(jù)式(17)計算閾值A(chǔ)0。將待考察的第N個陣元的單元幅度增益A與閾值A(chǔ)0進(jìn)行對比,若A>A0,表示此時需要啟用該陣元進(jìn)行波束合成,N=N+1,跳轉(zhuǎn)到步驟2,考察下一個陣元;若A

步驟4 輸出此時的閾值條件A0,此時Alast=A0,算法結(jié)束。

3 仿真分析

3.1 仿真條件

如前文所述,式(17)陣元的閾值條件Alast是用于判斷陣元是否開啟用于波束合成的關(guān)鍵參數(shù)。下面通過仿真驗證閾值條件Alast計算方法的正確性。

采用圓柱陣列,仿真條件如表1所示。

表1 圓柱共形相控陣仿真參數(shù)Tab.1 Simulation parameters of cylindrical conformal phased array

此時,陣列布局的三維圖如圖2所示。

圖2 8×18陣列布局Fig.2 Layout diagram of 8×18 array

微帶圓貼片俯仰面單元方向圖如圖3所示,該方向圖是在陣元局部坐標(biāo)系下定義的。

圖3 單元幅度方向圖Fig.3 Unit amplitude direction diagram

3.2 陣元選擇方法仿真

根據(jù)入射信號在全局坐標(biāo)系下的入射角度(30°,90°),按照歐拉旋轉(zhuǎn),可以計算每個陣元局部坐標(biāo)系下信號相對陣元入射角度,代入圖3單元方向圖表示,可以獲得每個陣元在該角度下的單元增益,如圖4所示。根據(jù)圖4,可以選擇編號為(8,12)的陣元作為初始條件,按照2.3節(jié)介紹的陣元啟用閾值條件算法步驟找到最終的閾值條件Alast,通過陣元的單元幅度增益和閾值條件Alast判斷是否啟用該陣元進(jìn)行波束合成,作出最終的啟用陣元位置示意圖(圖5),此時開啟陣元數(shù)量為80個,計算得到的接收信號信噪比為79.34·(P0/kBTB)。從圖5可以看出,由于信號入射角度為(30°,90°),開啟陣元的確是入射俯仰角較小的陣元,即單元增益較大的陣元。

圖4 所有陣元的單元幅度增益Fig.4 Unit amplitude gain of all array elements

圖5 啟用陣元示意圖(實心圓啟用)Fig.5 Schematic diagram of enabling array elements(solid circle enabled)

3.3 輸出SNR驗證

為了驗證通過閾值條件判斷啟用陣元是否使得波束合成輸出SNR最大,可以對所有陣元按照單元幅度增益由大到小的順序逐步增加陣元進(jìn)行波束合成,計算其輸出信噪比得到圖6。

圖6 啟用陣元個數(shù)與接收信號SNR關(guān)系Fig.6 Relationship between the number of enabled arrays and the SNR of the received signal

從圖6可以看到,隨著陣元個數(shù)的增加接收信號SNR并不隨著陣元個數(shù)的增加而一直增大,而是先增大后減小。當(dāng)參與波束合成的陣元個數(shù)為80個,接收信號的SNR為79.34·(P0/kBTB),達(dá)到最大值。該結(jié)果與3.2節(jié)仿真結(jié)果一致。所以,通過圖5和圖6的對比證明,本文提出的陣元啟用閾值條件計算和陣元選擇方法是正確的,可以確保共形陣列波束合成輸出SNR最大。

3.4 曲率半徑對輸出SNR的影響

共形陣列的曲率半徑影響著天線在陣列上的位置分布,曲率半徑越大,天線的分布就越類似于平面陣列,通過本文提出的方法找到不同曲率半徑下最大SNR輸出所需的陣元個數(shù),作出不同曲率半徑下SNR與參與波束合成的陣元個數(shù)關(guān)系圖(圖7),其他仿真條件不變。

圖7 不同曲率半徑下SNR與參與波束合成的陣元個數(shù)關(guān)系Fig.7 Relationship between SNR and the number of elements participating in beamforming under different curvature radii

由圖7可以看出,曲率半徑增大,輸出信號SNR最大所需要的陣元個數(shù)逐漸增多。這是因為此時天線的分布逐漸類似于平面陣,各天線的單元幅度增益的差別越來越小,更多的陣元參與波束合成就會帶來更大的SNR提升。因此,在曲率半徑較小時,本文算法的實用性更強。

3.5 信號波長對輸出SNR的影響

共形陣列的陣列規(guī)模與曲率半徑一定時,信號波長影響著天線在陣列上的位置分布,信號波長越小,陣元間距越小,天線的分布就越類似于平面陣列。通過本文提出的方法找到不同波長下最大SNR輸出所需的陣元個數(shù),作出不同波長下SNR與參與波束合成的陣元個數(shù)關(guān)系圖(圖8),此時曲率半徑為120 mm,其他仿真條件不變。

圖8 不同波長下SNR與參與波束合成的陣元個數(shù)關(guān)系Fig.8 Relationship between SNR and the number of array elements participating in beamforming at different wavelengths

從圖8可以看出,當(dāng)波長較大時,輸出信號SNR最大所需要的陣元個數(shù)逐漸減少。這是因為此時天線的分布更趨近于曲面陣,各個天線相對于同一入射信號的入射角度差異越大導(dǎo)致各天線的單元幅度增益的差別越來越大,通過本文算法選擇合適的的陣元參與波束合成才能實現(xiàn)最大SNR輸出。因此,在波長較大時,本文算法的實用性也更強。

4 結(jié) 論

由于共形陣陣面是彎曲的,入射信號相對每個陣元的入射角度不一致,各個陣元具有不同的接收信噪比。本文通過設(shè)計一種啟用陣元閾值條件算法,根據(jù)閾值條件對不同角度的入射信號合理選擇共形陣部分陣元進(jìn)行波束合成,從而確保輸出信號SNR最大。Matlab仿真實驗驗證了算法的正確性,對于共形陣信號接收處理具有參考價值。