平行線中的魔法

文／江蘇省太倉市第一中學(xué) 陳明子

提到幾何，相信大家都不陌生。有時(shí)，我們掌握一個(gè)幾何模型，就可以解決很多與這個(gè)模型有關(guān)的問題，這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的互通性。最近，我做了幾道習(xí)題，發(fā)現(xiàn)平行線中就有這樣的魔法。

問題1 如圖1，已知AB//CD，求∠A、∠C、∠AEC的數(shù)量關(guān)系。

圖1

問題2 如圖2，已知AB//CD，求∠B、∠BEF、∠EFG、∠DGF、∠D的數(shù) 量關(guān)系。

圖2

這兩道題是有共性的，我都是通過作平行線的方式來解決的。對(duì)于問題1，我過點(diǎn)E，作EF//AB，如圖3。

圖3

∵AB//CD，

∴AB//CD//EF。

∴∠1=∠A，∠2=∠C。

∴∠AEC=∠1+∠2=∠A+∠C。

對(duì)于問題2，我作EH//AB，IF//EH，GJ//CD，如圖4。

圖4

圖5

∵AB//CD，∴EH//GJ。

∴AB//CD//EH//IF//GJ。

∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8。

∵∠BEF=∠3+∠2，∠DGF=∠6+∠7，

又∵∠EFG=∠4+∠5，

∴∠B+∠EFG+∠D=∠BEF+∠DGF。

解了這兩道題之后，我不禁產(chǎn)生一個(gè)疑問：如果平行線間的拐點(diǎn)繼續(xù)增多，還能利用作平行線的方法來解決類似的題嗎？于是，我思考起下面這個(gè)問題。

問題3 已知a//b，求∠Q1，∠Q2，…，∠Qn與∠P1，∠P2，…，∠Pn-1的數(shù)量關(guān)系（n≥3）。

我又用了作平行線的方法，作了（2n-3）條平行線，還真解決了這道題。

解：如圖6，過點(diǎn)P1、Q2、P2、Q3、…、Pn-1，分別作a的平行線，得到l1、h1、l2、h2、…、hn-2、ln-1。

圖6

∵a//b，

∴a//l1//h1//…//ln-1//b。

∴∠1=∠2，∠3=∠4，…，∠（4n-3）=∠（4n-4）。

∴∠Q1+∠Q2+…+∠Qn=∠P1+∠P2+…+∠Pn-1。

通過解答這三道幾何題，我收獲許多，領(lǐng)略到了平行線中的魔法。所以，小伙伴們做數(shù)學(xué)題時(shí)，要學(xué)會(huì)舉一反三，這樣可能會(huì)有意想不到的收獲哦。

教 師 點(diǎn) 評(píng)

這是學(xué)完“平面圖形的認(rèn)識(shí)（二）”后，小作者對(duì)“豬蹄”模型的所想所悟。初識(shí)幾何，小作者能在構(gòu)建模型的基礎(chǔ)上，擴(kuò)充，探索，領(lǐng)悟，舉一反三，獲得一般性的結(jié)論，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)思維，強(qiáng)化了數(shù)學(xué)語言，展現(xiàn)了非同一般的數(shù)學(xué)能力。這也激勵(lì)同學(xué)們，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，要學(xué)會(huì)分析問題，學(xué)會(huì)從特殊到一般對(duì)問題進(jìn)行更深層次的思考，從而享受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣。