基于多時間尺度Cholesky分解AEKF的鋰電池SOC估計

徐潔玉, 王冬青

(青島大學電氣工程學院, 山東 青島 266071)

1 引言

準確估計電池的荷電狀態(tài)是電動汽車合理實施電池管理的前提和重要依據(jù),能夠保證電池的良好使用性能和提高電池使用壽命[1,2]。然而,電池在實際工作過程中存在著非線性、多工況運行、多時間尺度動態(tài)等復雜特性,對鋰電池的建模和估算帶來了困難和挑戰(zhàn)[3-5]。

目前主流的荷電狀態(tài)(State Of Charge, SOC)識別方法有開路電壓法、安時積分法、數(shù)據(jù)驅動法和基于模型估計法[6]。通常,開路電壓法為其他鋰電池估計方法提供初始SOC。安時積分法的優(yōu)點是測量簡單,但積分過程中累積的誤差無法消除。數(shù)據(jù)驅動法不需要建立等效電路來描述電池行為,但是依賴數(shù)據(jù)量構建數(shù)據(jù)驅動模型[7,8]。與上述SOC估計方法相比,基于模型的估計方法可以結合多種方法進行SOC估計,具有呈現(xiàn)鋰電池物理意義的優(yōu)勢。因此,基于模型方法在SOC估計領域得到普遍關注[9]。

通常,鋰電池模型可分為等效電路模型、電化學模型和機器學習模型三類[10,11]?；诘刃щ娐纺Ｐ偷目柭鼮V波方法具有簡單和能夠在線辨識的優(yōu)勢,被廣泛應用于鋰電池SOC估計中[12,13]。擴展卡爾曼濾波(Extended Kalman Filter, EKF)是解決非線性系統(tǒng)問題的有效方法[14]?；谔├照归_原理,EKF忽略了二階和高階項,使算法結構變得簡單。然而,這種線性化方法直接忽略了高階項,通常會引入較大的誤差[15,16]。無跡卡爾曼濾波器(Unsented Kalman Filter, UKF)將系統(tǒng)視為黑匣子,它使用sigma點的集合來近似概率分布,并避免求解雅可比矩陣[17],但是當使用UKF算法時,誤差協(xié)方差矩陣必須是正定矩陣,非正定誤差協(xié)方差矩陣將在中途終止算法[18]。在傳統(tǒng)的EKF算法中,一般假設系統(tǒng)噪聲是恒定的高斯白噪聲,然而電池系統(tǒng)中噪聲會受環(huán)境條件等因素的影響而發(fā)生變化。因此采用自適應擴展卡爾曼濾波算法(Adaptive Extended Kalman Filter, AEKF)對噪聲在線估計,實時更新系統(tǒng)和過程噪聲的均值和誤差協(xié)方差,以提高算法估算精度[19,20]。

本文在考慮鋰電池成組的基礎上,針對鋰電池SOC估計存在的問題,以二階等效電路模型為研究對象:①對應不同狀態(tài)變量子方程,選擇不同采樣周期,解決不同狀態(tài)變量的不同時間尺度問題;②考慮噪聲變化影響,對鋰離子電池SOC值自適應調節(jié)和校正,引入矩陣Cholesky分解方法,解決誤差協(xié)方差矩陣非負定性問題;③為了證明本文算法的有效性和普適性,利用NEWARE鋰電池測試平臺獲取不同型號鋰電池在不同工況下的實驗數(shù)據(jù),并通過Matlab仿真進行了實驗驗證。

2 理論分析

2.1 等效電路模型

二階RC等效電路模型如圖1所示,其中Uoc為開路電壓,R0為歐姆內阻,R1和R2為極化電阻,C1和C2為極化電容,UT為端電壓,I為端電流,規(guī)定其放電方向為正,充電方向為負。

圖1 鋰離子電池二階RC等效電路模型Fig.1 Second order equivalent circuit model of lithium battery

由基爾霍夫定律可知:

UT,k=Uoc,k(SOCk)-IkR0-U1,k-U2,k+vk

(1)

式中,k為采樣點;vk為均值為rk、協(xié)方差為Rk的觀測噪聲。

R1C1和R2C2回路離散形式的全響應分別為:

(2)

SOC采用安培小時積分法計算如下:

(3)

式中,η為充放電效率;Cn為電池的標稱容量。

假設k時刻,鋰電池狀態(tài)變量為:

xk=[SOCkU1,kU2,k]T

(4)

由式(2)～式(4)可得鋰電池狀態(tài)方程為:

(5)

式中,wk-1為均值為qk-1、協(xié)方差為Qk-1的輸入過程白噪聲。

2.2 多時間尺度AEKF算法

對于鋰電池,在充電和放電過程中,電池內部會發(fā)生不同的過程,導致不同時間尺度上的復雜動態(tài)變化,這反映在已建立的等效電路模型中不同RC環(huán)節(jié)的不同時間常數(shù)中。因此對于不同RC環(huán)節(jié)相關的不同電壓狀態(tài)方程采用不同的采樣率。Δt1、Δt2為不同環(huán)節(jié)采樣周期,利用不同環(huán)節(jié)的采樣周期建立多時間尺度狀態(tài)空間方程如下:

(6)

首先列出系統(tǒng)的多時間尺度狀態(tài)和觀測方程為:

xk=Akxk-1+BkIk-1+Lkwk-1

(7)

zk=UT,k=Hkxk+vk

(8)

(9)

(10)

(11)

式中,Ak為傳遞矩陣;Bk為系統(tǒng)控制矩陣;Hk為觀測矩陣;?為求導;Lk為噪聲驅動單位矩陣。

自適應卡爾曼濾波算法流程如下:

(1)初始化。

(12)

(13)

(2)更新狀態(tài)估計矩陣及誤差協(xié)方差矩陣。

(14)

Pk,k-1=AkPk-1AkT+LkQk-1LkT

(15)

(3)更新卡爾曼增益Kk。

(16)

(4)計算殘差。

(17)

(5)更新當前時刻狀態(tài)估計和均方誤差方程。

(18)

Pk=(F-KkHk)Pk,k-1

(19)

式中,F為單位矩陣。

(6)計算加權系數(shù)。

(20)

式中,b為遺忘因子,通常取0.95～1。

(21)

(22)

(23)

(24)

(8)返回第2步繼續(xù)迭代計算,直到滿足要求。

2.3 基于Cholesky分解的多時間尺度AEKF估計方法

在濾波過程中,Pk應保持非負定性,但是在計算過程中,由于計算機字長有限,存在舍入誤差,Pk將失去非負定性,濾波增益出現(xiàn)失真,導致濾波發(fā)散。引入矩陣Cholesky分解方法可以使Pk保持非負定性,協(xié)方差分解矩陣Gk將代替誤差協(xié)方差矩陣Pk進行迭代更新。

根據(jù)Pk,k-1的定義,Pk,k-1應保持正定性,即:

(25)

式中,Lk-1為下三角矩陣;Dk-1為對角矩陣,且對角元素全為正。此時若:

(26)

則

(27)

式中,Gk-1為下三角陣,是協(xié)方差分解矩陣,這種分解叫做Cholesky分解。根據(jù)卡爾曼濾波方程,一步預測方程可以進行如下變形:

(28)

其中

Gk,k-1=Ak-1Gk-1

(29)

此時可以得到k時刻誤差協(xié)方差矩陣:

(30)

其中

(31)

設

(32)

則

(33)

其中

(34)

則

(35)

因此不難解得:

(36)

(37)

利用Gk可以得到Kk的表示方程:

Kk=mkGk,k-1Sk

(38)

基于Cholesky分解的多時間尺度AEKF (Cholesky-based decomposition Multi-scale AEKF,CMAEKF)算法的自適應更新方程為:

(39)

(40)

Kk=mkGk,k-1Sk

(41)

(42)

(43)

(44)

3 實驗結果與討論

為了驗證本文提出算法的普適性和有效性,以鋰電池NCR-18650和BTCAP-21700為實驗對象,表1為不同型號鋰電池具體參數(shù),考慮電池老化等因素的影響通過降低電池容量來模擬電池老化的現(xiàn)象。在混合功率脈沖特性工況(Hybrid Pulse Power Characteristic, HPPC)、城市道路循環(huán)工況(Urban Dynamometer Driving Schedule, UDDS)和動態(tài)應力測試工況(Dynamic Stress Test, DST)等不同的復雜工況進行實驗并與其他算法進行對比驗證。

表1 電池參數(shù)Tab.1 Battery parameters

3.1 實驗平臺搭建

本文采用電池測試平臺為新威電池測試儀NEWARE CT-4008-5V12A-TB,如圖2所示。

圖2 電池測試平臺Fig.2 Battery test platform

3.2 模型參數(shù)在線辨識

3.2.1 開路電壓與荷電狀態(tài)關系標定實驗

本節(jié)選用HPPC工況,采集放電數(shù)據(jù),端電壓如圖3所示。

圖3 HPPC端電壓Fig.3 Terminal voltage under HPPC condition

結合基于最小二乘法的8次多項式擬合,得到良好的開路電壓(Open Circuit Voltage, OCV)和荷電狀態(tài)SOC函數(shù)關系動態(tài)擬合效果:

(45)

3.2.2 基于最小二乘算法在線參數(shù)辨識

基于最小二乘法的鋰離子電池模型參數(shù)辨識算法得到了廣泛的應用。本文使用該算法實現(xiàn)了模型參數(shù)在線識別,參數(shù)辨識結果見表2。

表2 參數(shù)辨識結果Tab.2 Identification result of the parameters

3.3 基于Cholesky分解的多時間尺度AEKF實驗驗證

本文選擇 UDDS和DST工況下的實驗數(shù)據(jù)來對四種算法進行對比仿真驗證,實際SOC值是通過安培小時積分法獲得的。b設置為0.96 ,小采樣周期Δt1設置為1 s,大采樣周期Δt2設置為20 s。

SOC1、SOC2、SOC3、SOC4分別對應安時積分法、單時間EKF算法(Single time EKF, SEKF)、單時間AEKF算法(Sigle time AEKF,SAEKF)、CMAEKF算法的SOC估計。估算誤差Err1～Err3分別與SOC2～SOC4相對應。

圖4為NCR-18650鋰電池在UDDS和DST條件下的電壓和電流變化,SOC估計結果對比和估算誤差對比分別如圖5和圖6所示。圖7為BTCAP-21700鋰電池在UDDS工況下的電壓和電流變化,SOC估計結果對比和估算誤差對比分別如圖8所示。表3和表4為所有模擬結果的平均絕對誤差(Mean Absolute Error, MAE)、均方根誤差(Root Mean Square Error, RMSE)和計算效率的比較。

表3 NCR-18650鋰電池在不同工況下不同算法結果評價Tab.3 Evaluation of different algorithm results of NCR-18650 lithium battery under different working conditions

表4 BTCAP-21700在UDDS工況下不同算法結果評價Tab.4 Evaluation of different algorithm results of BTCAP-21700 under UDDS condition

圖4 不同工況下NCR-18650鋰電池的電壓和電流變化Fig.4 Voltage and current of NCR-18650 lithium battery

圖5 NCR-18650在不同工況下SOC估計效果Fig.5 Results of NCR-18650 SOC estimation

圖6 NCR-18650不同工況下SOC誤差曲線Fig.6 Results of NCR-18650 SOC estimation error

圖7 UDDS工況下BTCAP-21700鋰電池的電壓和電流變化Fig.7 Voltage and current variation of the BTCAP-21700 lithium battery under UDDS condition

圖8 UDDS工況下BTCAP-21700鋰電池的SOC結果Fig.8 Results of BTCAP-21700 SOC estimation under UDDS condition

由圖5、圖6和圖8可以看出,在放電后期,SEKF算法誤差積累明顯,SAEKF算法通過噪聲自適應噪聲矯正,可以有效地減少誤差積累,基于Cholesky分解的多時間尺度AEKF算法在不同工作條件下,都具有一定的精度和穩(wěn)定性,比較SAEKF算法,能更好地克服濾波發(fā)散和計算發(fā)散問題,跟蹤SOC真實值變化。在表3和表4中可以看出在不同工況下,即使電池老化,CMAEKF算法的均方根誤差仍然可以控制在0.6% 以下,計算效率可以比普通的AEKF算法提高至少25%。

4 結論

本文提出了一種基于Cholesky分解原理優(yōu)化的多時間尺度AEKF的SOC估計方法,通過自適應卡爾曼濾波方法考慮了噪聲的變化,實現(xiàn)了噪聲的自適應矯正。結合Cholesky矩陣分解方法保證了誤差協(xié)方差矩陣的非負定性,進而抑制了卡爾曼濾波器的濾波發(fā)散和計算發(fā)散。在不同工況下不同型號鋰離子SOC估計上誤差都在1%以下,相比傳統(tǒng)的AEKF算法,計算效率可以提高至少25%。該算法在精度、穩(wěn)定性和計算復雜度上都有明顯優(yōu)勢。