基于滑模觀測器的永磁同步電機(jī)無傳感器控制

何用輝，卓書芳，葛炎風(fēng)

（福建信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院，福建 福州 350003）

0 引言

近年來，隨著電力電子、自動控制和計算機(jī)等技術(shù)的發(fā)展，交流調(diào)速控制系統(tǒng)在高性能調(diào)速領(lǐng)域已逐步取代直流調(diào)速控制系統(tǒng)[1]。永磁同步電機(jī)以其功率密度高、轉(zhuǎn)矩慣量比大和動態(tài)響應(yīng)速度快的特點(diǎn)在交流調(diào)速系統(tǒng)中占據(jù)了主導(dǎo)地位[2]。永磁同步電機(jī)啟動時需要確定轉(zhuǎn)子初始位置，其除了作為閉環(huán)反饋信號外，還是坐標(biāo)變換的依據(jù)[3]。傳統(tǒng)控制系統(tǒng)多采用光電編碼器、旋轉(zhuǎn)變壓器等機(jī)械式位置傳感器獲取轉(zhuǎn)速信號[4]。機(jī)械式位置傳感器增加了系統(tǒng)成本，且安裝維護(hù)成本高，降低了魯棒性和可靠性[5]。為了克服上述機(jī)械式位置傳感器的弊端，無位置傳感器控制技術(shù)成了電機(jī)控制領(lǐng)域中的一個研究熱點(diǎn)[6]。

文獻(xiàn)[7]為了削弱滑模觀測器的抖振現(xiàn)象，將符號函數(shù)sign（·）用連續(xù)的sigmoid（·）替代?；诙ㄗ与娮柙诰€估計[8]，一種超螺旋二階滑模觀測器算法被用于永磁同步電機(jī)無位置傳感器控制。文獻(xiàn)[9]考慮采樣通道非線性引起的電壓和電流直流偏置，分析了其對電機(jī)反電動勢觀測和無速度傳感器控制的影響，并且設(shè)計了一種基于二階廣義積分器抑制直流偏置?；趦?nèi)嵌濾波器的同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系鎖相環(huán)技術(shù)[10]，有效抑制了滑模高頻抖動信號對位置辨識的影響，且無需對位置辨識值進(jìn)行相位補(bǔ)償。然而，上述關(guān)于永磁同步電機(jī)中高速的無傳感器控制都是基于兩相靜止正交坐標(biāo)上的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行研究的[6-10]，有關(guān)PMSM 在兩相同步旋轉(zhuǎn)正交坐標(biāo)系上的無傳感器研究也越來越受關(guān)注。

首先，建立PMSM 在兩相同步旋轉(zhuǎn)正交坐標(biāo)系上的動態(tài)模型，分析角速度與感應(yīng)電動勢的關(guān)系。其次，應(yīng)用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論設(shè)計滑模觀測器得到電動勢估計值。然后，引入一個低通濾波器和反正切函數(shù)提取位置信息，并對其進(jìn)行補(bǔ)償。最后，通過Matlab/Simulink 平臺搭建系統(tǒng)的模型并仿真驗(yàn)證文中所提無傳感器控制策略的有效性和魯棒性。

1 永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型

永磁同步電機(jī)的動態(tài)模型由磁鏈方程、電壓方程、電磁推力方程和運(yùn)動方程組成，其三相靜止對稱坐標(biāo)系上的數(shù)學(xué)模型具有非線性、多變量、高階和強(qiáng)耦合的特點(diǎn)。通過坐標(biāo)變換，可以得到PMSM 在兩相同步旋轉(zhuǎn)正交dq坐標(biāo)系上的數(shù)學(xué)模型。為了實(shí)現(xiàn)變量間的解耦，應(yīng)用矢量控制的思想，使電磁轉(zhuǎn)矩正比于交軸電流分量iq的大小。此外，勵磁磁場是由轉(zhuǎn)子永磁體產(chǎn)生的，所以，將直軸電流分量id的給定值設(shè)為零。最終，簡化后的PMSM 在dq坐標(biāo)系上的數(shù)學(xué)模型如式（1）～（4）所示。

其中，ud和uq分別為d軸和q軸定子繞組的電壓，Rs為定子繞組的電阻，id和iq分別為d軸和q軸定子繞組的電流，ψd和ψq分別為d軸和q軸定子繞組的磁鏈，Ld和Lq分別為d軸和q軸定子繞組的電感，ψf為永磁體磁鏈，Te為電磁轉(zhuǎn)矩，pn為極對數(shù)，J為轉(zhuǎn)動慣量，F(xiàn)為黏性摩擦系數(shù)，Tm為負(fù)載轉(zhuǎn)矩擾動，ωe和ωm分別為電角速度和機(jī)械角速度，且滿足ωe=pnωm。

永磁同步電機(jī)的無傳感器控制是基于電氣系統(tǒng)動態(tài)實(shí)現(xiàn)，對于表貼式PMSM，定子繞組電感滿足Ld=Lq=Ls，因此，由式（1）和（2）可得

將其寫成狀態(tài)空間的形式，即

其中，Ed= 0 為d軸的感應(yīng)電動勢，Eq=ωeψf為q軸的感應(yīng)電動勢，其表達(dá)式中包含了PMSM 的角速度信息。

由于滑?？刂剖且环N魯棒性很強(qiáng)的非線性控制技術(shù)[11]，下面將設(shè)計滑模觀測器提取永磁同步電機(jī)的角速度和位置信號。

2 滑模觀測器設(shè)計與無傳感器控制

將基于電流估計值與采集的反饋電流之間的誤差設(shè)計滑模觀測器，由此重構(gòu)PMSM 的電動勢，從而估算PMSM 的角速度和位置。

2.1 滑模觀測計與分析

根據(jù)狀態(tài)方程（6），設(shè)計如式（7）所示的滑模觀測器。

其中，k為滑?？刂圃鲆妫瑂ign（·）為符號函數(shù)。

應(yīng)用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論對設(shè)計滑模觀測器進(jìn)行分析。

定理1 對于設(shè)計的滑模觀測器（7），如果控制增益滿足如下條件：

那么，滑模觀測器是穩(wěn)定的，且系統(tǒng)進(jìn)入滑動模態(tài)后，存在如下的等效控制律：

證明 定義d軸和q軸的電流觀測誤差分別為

聯(lián)立式（6）（7）和（11）可得，滑模觀測器誤差系統(tǒng)的動態(tài)方程為

定義滑模面函數(shù)為

構(gòu)造如下所示的李雅普洛夫函數(shù)：

由此可知，能量函數(shù)V（S）正定。

對V（S）求時間的導(dǎo)數(shù)，即

聯(lián)立式（8），（11）～（13）和（15）可得式（16）。

為了保證式（16）滿足V˙（S）≤0，可得

即式（9）得證。

當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入滑動模態(tài)后，可以采用等效控制方法確定滑模運(yùn)動[12]，即令

由于觀測器是穩(wěn)定的，因此當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后，角速度估計誤差趨近于零。聯(lián)立式（12）和（18）可得，等效控制律如下所示：

即式（10）得證。

2.2 基于反正切函數(shù)的位置估計

由2.1 節(jié)的定理1 可知，電動勢的值為滑模控制律的大小。由于滑?？刂浦写嬖诜柡瘮?shù)，會產(chǎn)生高頻的切換信號，即抖振現(xiàn)象，導(dǎo)致無法提取角速度信號的有效值。為此，對電動勢引入一個如下所示的低通濾波器：

其中，ωo為低通濾波器的帶寬。

聯(lián)立式（8）（10）（11）和（20），可得

由于q軸的電動勢中包含了角速度信息，那么轉(zhuǎn)子角速度的估計值為

由于電動勢的估計引入了低通濾波器，會導(dǎo)致電動勢相位延遲。因此，基于反正切函數(shù)arctan（·）對轉(zhuǎn)子位置估計值進(jìn)行補(bǔ)償，其表達(dá)式為

綜上所述，基于滑模觀測器的位置估算原理如圖1 所示。

圖1 基于SMO 的估算原理

3 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所提永磁同步電機(jī)無傳感器控制策略的有效性和魯棒性。通過Matlab/Simulink 平臺搭建系統(tǒng)的模型并進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。永磁同步電機(jī)的參數(shù)見表1。滑模觀測器（SMO）、低通濾波器（LPF）參數(shù)設(shè)置見表2。永磁同步電機(jī)采用雙閉環(huán)矢量伺服控制，其速度環(huán)（外環(huán)）及電流環(huán)（內(nèi)環(huán)）均采用經(jīng)典的PI 控制器（帶限幅），其參數(shù)設(shè)置見表2。其中，電流環(huán)帶寬為ωc，電流環(huán)控制器增益由ωc確定。

表1 永磁同步電機(jī)參數(shù)設(shè)置

表2 SMO、LPF 和控制器參數(shù)設(shè)置

系統(tǒng)仿真條件設(shè)置如下：運(yùn)行時間為0.1 s，PWM波頻率為10 kHz，給定轉(zhuǎn)速1500 r/min，直流側(cè)電壓311 V，仿真求解器為固定步長ode3 算法，基本采樣時間為1 × 10-6s。經(jīng)過低通濾波器的電動勢估計值波形如圖2 所示，由圖2 可知，滑模觀測器的抖振現(xiàn)象被削弱了，d軸與q軸電動勢在穩(wěn)態(tài)時分別為零和常值，這與前面的分析結(jié)果一致。永磁同步電機(jī)角速度和轉(zhuǎn)子位置的估計曲線分別如圖3 和圖4 所示，所提控制策略實(shí)現(xiàn)了對角速度和轉(zhuǎn)子位置的精確估計，且穩(wěn)態(tài)時角速度估計誤差趨近于零。

圖2 電動勢估計曲線

圖3 角速度估計曲線

圖4 轉(zhuǎn)子位置估計曲線

為了驗(yàn)證系統(tǒng)的魯棒性，在0.05 s 施加一個10 N·m的負(fù)載擾動，從圖2～圖4 可知，無傳感器控制系統(tǒng)在受到擾動時，能夠快速恢復(fù)穩(wěn)態(tài)，具有抗干擾能力和魯棒性。

4 結(jié)語

永磁同步電機(jī)無傳感器控制方法基于滑模觀測器，引入低通濾波器，通過反正切函數(shù)對角速度和轉(zhuǎn)子位置進(jìn)行估計。該研究的新穎性在于：

（1）傳統(tǒng)的無傳感器控制都是基于兩相靜止正交坐標(biāo)上的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行研究，本研究建立了PMSM 在兩相同步旋轉(zhuǎn)正交坐標(biāo)系上的動態(tài)模型，并以此進(jìn)行無傳感器控制研究。

（2）基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論分析并設(shè)計了滑模觀測器，對其穩(wěn)定性進(jìn)行了嚴(yán)格的證明，并得到滑?？刂圃鲆娴募s束條件。

（3）引入低通濾波器削弱滑模控制固有的抖振，同時基于反正切函數(shù)對其帶來的相位延遲進(jìn)行補(bǔ)償。

（4）所提無傳感器控制策略可以實(shí)現(xiàn)角速度和轉(zhuǎn)子位置的準(zhǔn)確估計，能有效降低擾動對控制系統(tǒng)性能的影響，具有極強(qiáng)的魯棒性。