氣溫邊界模擬方法在大體積混凝土溫控計算中的應用研究

劉天鵬，王野，李春輝

（1.中水東北勘測設計研究有限責任公司，吉林 長春 130061；2.水利部寒區(qū)工程技術研究中心，吉林 長春 130061）

在大體積混凝土結構設計中，通常要求不出現(xiàn)拉應力或者出現(xiàn)很小的拉應力，對于自重、水壓力等外荷載，要做到這點一般并不困難。但在施工過程中和運行期間，大體積混凝土結構中往往會由于溫度的變化而產(chǎn)生較大拉應力，要把拉應力限制在允許范圍內是很困難的，當拉應力超過混凝土的抗拉強度時，混凝土結構會出現(xiàn)裂縫?；炷两Y構常見的裂縫大多數(shù)是一些不同深度的表面裂縫[1]，表面裂縫與結構形式、氣溫變化、施工過程、材料特性及運行條件等多種因素密切相關，其中，氣溫變化是重要影響因素[2]，也是大體積混凝土結構溫控計算的重要邊界條件。

氣溫年變化系指一年內月平均氣溫的變化，一般稱年周期變化。在進行混凝土溫控計算時，氣溫作為重要的邊界條件，一般采用余弦函數(shù)進行擬合。本文在余弦函數(shù)擬合氣溫的基礎上，提出一種高精度擬合方法，即傅里葉級數(shù)法。傅里葉級數(shù)擬合是一種有效的數(shù)學統(tǒng)計技術，它通過將復雜的函數(shù)分解為一系列簡單的Sinusoidal 周期函數(shù)的級數(shù)相加，有效地模擬任何曲線的抽象和重建，廣泛應用于工程和科學領域。

1 余弦函數(shù)法

余弦函數(shù)法為大體積混凝土溫控計算時氣溫擬合的常用方法，其應用較廣，多為工程進行初步設計時采用。氣溫年周期變化過程可按下式進行計算[3]：

式中：Tα為多年月平均氣溫，℃；Tαm為多年年平均氣溫，℃；Aα為多年平均氣溫年變幅，℃；ω為圓頻率；τ為時間，d；τ0為氣溫最高的時間，d；Tαi為i月多年平均氣溫，℃；τi為i月計算時點；p為溫度變化周期，p取12。

2 傅里葉級數(shù)法

式中：Tα(τ)為多年月平均氣溫，℃；n為變量，取[1，∞]；An為多年平均氣溫年變幅余弦函數(shù)系數(shù)；Bn為多年平均氣溫年變幅正弦函數(shù)系數(shù)。

由于正弦和余弦函數(shù)的正交性，系數(shù)An，Bn可由下式計算：

如取△τ=1 月，p=12△τ，則：

式中：Ti為月平均氣溫，℃

如取△τ=1 旬，p=36△τ，則：

式中：Ti為旬平均氣溫，℃

如果n=1，則式（5）變?yōu)椋?/p>

三角函數(shù)公式：

人生百年，歡嫛能幾？當其百昌，外鑠牢愁，中沍冥心，孤運往而不復。瓊樓夜冷，錦瑟春啼，結想所生，神光離合。作者、述者，各有會心。皇穹鑒其忠誠，圣人知其怨悱。辭取復意，何假蹄筌？莼農微旨，或在斯乎？[注](民國)王蘊章：《燃脂馀韻》，王英志主編《清代閨秀詩話叢刊》，第621-622頁。

式中：a為余弦函數(shù)系數(shù)；b為正弦函數(shù)系數(shù)；φ為角度值；m為弧度系數(shù)；ε為反正切函數(shù)求得的弧度值；ρ為a，b的平方根值。

利用公式（13），公式（12）可簡化為下式：

3 氣溫擬合對比分析

3.1 氣溫資料

本文選擇我國北方和南方某工程的氣象資料作為研究對象，多年各月平均氣溫見表1。

表1 某工程多年各月平均氣溫 ℃

北方某工程地處北方高寒地區(qū)，氣候特點可以總結為“冷”“熱”“風”“干”4 個字?！袄洹笔侵冈摰貐^(qū)年平均氣溫很低，只有4.90 ℃，冬季月平均氣溫在-15.00 ℃以下，并且全年寒潮頻繁，曾經(jīng)觀測到的極端最低氣溫為-42.50 ℃；“熱”是指夏季氣溫較高，夏季月平均氣溫在20.00 ℃以上，曾經(jīng)觀測到的極端最高氣溫為37.00 ℃；“風”是指工程區(qū)大風天氣較多，風力強烈；“干”是指工程區(qū)春秋季氣候干燥。這些氣候特點對RCC 重力壩的溫控防裂極為不利。

南方某工程壩址處多年平均氣溫為21.50 ℃，極端最高氣溫為39.20 ℃，極端最低氣溫為-3.30 ℃。氣溫在零度以下天數(shù)為2～8 d，30.00 ℃以上氣溫出現(xiàn)天數(shù)一般為100～150 d。由于季風的影響，雨量年內分配不均，多集中于4—8 月，約占總量的70%，年降水日數(shù)一般為160～180 d。壩址以上多年平均蒸發(fā)量為900～1 400 mm（80 cm 蒸發(fā)皿觀測），庫區(qū)多年平均蒸發(fā)量為1 322 mm。壩址處多年平均最大風速為9.70 m/s，最大風速為16.00 m/s，相應風向為E。

3.2 結果對比分析

對于北方某工程，多年平均氣溫Tαm為4.88 ℃，多年平均氣溫年變幅Aα為20.15 ℃，余弦函數(shù)法擬合公式：

如取△τ=1 月，由公式（8）和公式（9）求出A1=19.50 ℃，B1=-0.13 ℃。由公式（14）得到傅里葉級數(shù)法擬合公式：

余弦函數(shù)和傅里葉級數(shù)法的計算值與實際值比較見圖1。由圖1 可以看出，余弦函數(shù)法和傅里葉級數(shù)法擬合的多年平均氣溫的年變幅分別為20.15，19.50 ℃，余弦函數(shù)法和傅里葉級數(shù)法擬合的氣溫在水平方向分別對稱于6.50 月和6.40 月。

圖1 北方某工程計算值與實際值比較

對于南方某工程，多年平均氣溫Tαm為21.49 ℃，多年平均氣溫年變幅Aα為8.15 ℃，余弦函數(shù)法擬合公式：

如取△τ=1 月，由公式（8）和公式（9）求出A1=8.11 ℃，B1=-1.17 ℃。由公式（14）得到傅里葉級數(shù)法擬合公式：

兩種擬合法計算值與實際值比較見圖2。由圖2 可以看出，余弦函數(shù)法和傅里葉級數(shù)法擬合的多年平均氣溫的年變幅分別為8.15，8.19 ℃，余弦函數(shù)法和傅里葉級數(shù)法擬合的氣溫在水平方向分別對稱于7.00 月和6.73 月。

圖2 南方某工程計算值與實際值比較

4 結語

氣溫變化是大體積混凝土結構溫控計算的重要邊界條件，本文提出的傅里葉級數(shù)擬合法，與實際氣溫擬合較好、精度較高，如果氣象資料具備多年旬、天的平均氣溫，按旬、天采用傅里葉級數(shù)法進行擬合，精度則更高。傅里葉級數(shù)法為溫控計算提供了可靠的高精度氣溫邊界，促進了大體積混凝土溫控計算的水平，可在大體積混凝土溫控計算中推廣應用。