跨尺度結(jié)構(gòu)智能優(yōu)化方法與快速設(shè)計

霍樹林，江和昕，宋賢海，周恩臨，何智成

（1.湖南大學(xué) 汽車車身先進(jìn)設(shè)計制造國家重點實驗室，長沙，410082；2.南昌航空大學(xué) 材料科學(xué)與工程學(xué)院，南昌，330036）

拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)是一種在有限的設(shè)計領(lǐng)域中尋找最優(yōu)材料布局的強(qiáng)大的結(jié)構(gòu)設(shè)計工具，被廣泛的應(yīng)用于汽車[1-2]及航空航天[3-4]等領(lǐng)域。拓?fù)湓O(shè)計通過尋找結(jié)構(gòu)的最優(yōu)材料分布來獲得結(jié)構(gòu)的最優(yōu)性能。然而，若僅在結(jié)構(gòu)宏觀尺度進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，則難以發(fā)揮結(jié)構(gòu)的最佳性能及進(jìn)一步提升結(jié)構(gòu)的輕量化效果，而同時考慮結(jié)構(gòu)的微觀拓?fù)錁?gòu)型和宏觀材料分布能夠有效釋放設(shè)計潛力。因此，對結(jié)構(gòu)進(jìn)行跨尺度優(yōu)化設(shè)計，即同時生成宏微觀結(jié)構(gòu)是進(jìn)一步提升拓?fù)錁?gòu)型性能和輕量化效果的關(guān)鍵方法。

目前，拓?fù)鋬?yōu)化算法有固體各向同性材料懲罰法[5]（Solid isotropic material with penalization, SIMP）、進(jìn) 化 結(jié) 構(gòu) 法[6]（Evolutionary structural optimization method, ESO）/雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化算法[7]（Bi-directional evolutionary structural optimization method, BESO）

和水平集法[8]。Huang 等[9]基于BESO 實現(xiàn)了最大體積或最大剪切模量的多孔材料微觀結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計。Gao 等[10]結(jié)合水平集法和數(shù)值均質(zhì)化法對多孔復(fù)合材料的宏觀結(jié)構(gòu)和多個代表性微觀結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化。付君健等[11]為實現(xiàn)二維和三維的多層級結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化并避免其中的連接性問題，提出了一種基于子結(jié)構(gòu)法的多層級結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法。Li 等[12]基于水平集法提出了一種用于在一定激勵頻率范圍內(nèi)并發(fā)設(shè)計多相復(fù)合結(jié)構(gòu)的多尺度拓?fù)鋬?yōu)化方法并通過2D 和3D 數(shù)值算例驗證了其有效性。盡管拓?fù)鋬?yōu)化在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計中帶來了極大的便利，然而，由于拓?fù)鋬?yōu)化問題中存在大量的設(shè)計變量，并且在得到最優(yōu)設(shè)計變量之前需要進(jìn)行多次優(yōu)化迭代，因此拓?fù)鋬?yōu)化問題的計算成本非常高。而多層級拓?fù)鋬?yōu)化相對于傳統(tǒng)的單尺度拓?fù)鋬?yōu)化增加了許多參數(shù)，計算成本更高，計算效率更為低下。

在過去的幾年中，隨著高性能計算技術(shù)的快速發(fā)展，深度學(xué)習(xí)算法也得到了快速的發(fā)展。深度學(xué)習(xí)作為一種數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法，不僅是傳統(tǒng)實驗或模擬方法的有效替代模型，也是從各種數(shù)據(jù)中提取材料相關(guān)信息的革命性方法。許多學(xué)者已經(jīng)把深度學(xué)習(xí)應(yīng)用到了拓?fù)鋬?yōu)化領(lǐng)域。Yu 等[13]提出了一種深度學(xué)習(xí)模型，該模型能夠在不使用迭代方案的情況下預(yù)測給定邊界條件和優(yōu)化設(shè)置的優(yōu)化結(jié)構(gòu)。White 等[14]利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代理模型開發(fā)了彈性結(jié)構(gòu)的多尺度拓?fù)鋬?yōu)化框架。葉紅玲等[15]采用生成式對抗神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)了對跨分辨率拓?fù)錁?gòu)型的快速預(yù)測。Cheng 等[16]結(jié)合卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和長短期記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)了在各種載荷條件和體積分?jǐn)?shù)限制下，以最小柔度自動生成結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型。深度學(xué)習(xí)在拓?fù)鋬?yōu)化領(lǐng)域得到了很好的運用，然而，目前基于深度學(xué)習(xí)的拓?fù)鋬?yōu)化研究大多集中在傳統(tǒng)的單尺度拓?fù)鋬?yōu)化上，關(guān)于多層級拓?fù)鋬?yōu)化的研究少之又少。

本文提出了一種基于耦合深度學(xué)習(xí)的跨尺度拓?fù)鋬?yōu)化方法來快速生成基于各種邊界條件下最優(yōu)微觀和宏觀拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。首先，利用BESO 算法產(chǎn)生數(shù)據(jù)，建立神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的數(shù)據(jù)庫；然后，結(jié)合Resnet、U-net架構(gòu)及SEnet 中的注意力機(jī)制建立用于快速生成跨尺度拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的深度學(xué)習(xí)模型。研究結(jié)果表明該模型在快速生成跨尺度拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的同時，也能保證93%以上的準(zhǔn)確度。

1 并行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計

基于均勻化方法與BESO 優(yōu)化策略，建立雙尺度拓?fù)鋬?yōu)化模型及其分析方法，通過分別在宏觀尺度與微觀尺度上進(jìn)行靈敏度分析，獲得各尺度最優(yōu)的材料分布，為后續(xù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入提供數(shù)據(jù)支持。

1.1 雙尺度優(yōu)化系統(tǒng)

結(jié)構(gòu)雙尺度優(yōu)化即同時對宏觀構(gòu)型與微觀單胞進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。圖1）所示為雙尺度優(yōu)化系統(tǒng)示意圖，其中圖1a）灰色區(qū)域為均勻多孔材料；圖1c）黑色區(qū)域為優(yōu)化得到的實體單元，白色區(qū)域為空洞單元。在優(yōu)化中對各尺度進(jìn)行結(jié)構(gòu)離散，宏觀單元設(shè)計變量定義為 αj(j=1,2,···,M)，微觀單元設(shè)計變量定義為 βj(j=1,2,···,N)。

圖1 雙尺度優(yōu)化系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of a dual scale optimization system

為了獲得清晰的拓?fù)洌瑢⒉牧喜逯捣桨笐?yīng)用于宏觀和微觀兩個尺度上。在微觀尺度上，采用人工材料插值模型得到的單元彈性矩陣DM可以表示為

式中D0為微觀實體單元彈性矩陣。采用同樣的插值方法，宏觀單元彈性矩陣DMA可描述為

式中DH為等效彈性矩陣。等效彈性矩陣數(shù)值表達(dá)式可以用均勻化方法通過微觀尺度分析來計算，計算式為

式中： |Y|為 材料單元細(xì)胞的面積；I為一個 3×3的單位矩陣；b為應(yīng)變-位移矩陣；u為微觀結(jié)構(gòu)節(jié)點位移場。

1.2 并行設(shè)計拓?fù)鋬?yōu)化模型

雙尺度拓?fù)鋬?yōu)化的目的是宏觀上找到最優(yōu)材料分布，在微觀上優(yōu)化周期單胞。兩個尺度上的優(yōu)化過程通過均勻化理論集成到一個系統(tǒng)中，分別在宏觀尺度和微觀尺度上進(jìn)行計算。宏觀尺度上的設(shè)計變量是離散宏觀結(jié)構(gòu)的單元相對密度，微觀尺度的設(shè)計變量是離散微觀結(jié)構(gòu)的單元相對密度。本文以宏觀結(jié)構(gòu)柔度為優(yōu)化目標(biāo)，以體積為設(shè)計約束，建立雙尺度拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)表達(dá)式：

式中：C為平均柔度； αi為宏觀結(jié)構(gòu)第i號設(shè)計變量；βi為微觀結(jié)構(gòu)第j號設(shè)計變量；M和N分別表示在宏觀層級和微觀層級的有限元單元總數(shù)；Vi和Vj分別表示宏觀結(jié)構(gòu)第i號單元體積和單元細(xì)胞第j號單元體積；V和Vc分別為宏觀結(jié)構(gòu)體積和單元細(xì)胞體積大小；WMA和WMI分別表示宏觀和微觀上定義的體積分?jǐn)?shù)；xmin為單元最小相對密度。

采用伴隨方法，C目標(biāo)函數(shù)關(guān)于宏觀設(shè)計變量αi的靈敏度可表示為

其中

同理，目標(biāo)函數(shù)C關(guān)于微觀設(shè)計變量 βi的靈敏度可表示為

其中

由式（5）和式（7）可知，目標(biāo)函數(shù)在宏觀和微觀層面的敏感性是相互關(guān)聯(lián)的。宏觀結(jié)構(gòu)的位移場是評價微觀結(jié)構(gòu)設(shè)計變量的重要指標(biāo)，而微觀結(jié)構(gòu)的設(shè)計變量將改變宏觀結(jié)構(gòu)的材料有效彈性張量。

2 數(shù)據(jù)的獲取和處理

本文中用于訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的數(shù)據(jù)集主要由多對最優(yōu)微觀和宏觀構(gòu)型及其相應(yīng)的邊界條件、載荷和體積約束組成。數(shù)據(jù)集由常用的BESO 算法生成，設(shè)計域的大小為80 ×40，對拓?fù)鋬?yōu)化的體積約束、負(fù)載和邊界條件設(shè)置如下：1）體積分?jǐn)?shù)從0.5到0.8 之間的均勻分布中采樣得到，間隔為0.05；2）固定設(shè)計域的左邊緣作為邊界約束，力的施加位置從設(shè)計域右側(cè)的節(jié)點集合中選擇，力F= 1 kN，所施力的角度 θ ∈[0,175?]，每隔5°取一個測試點。根據(jù)上述參數(shù)設(shè)置，通過BESO 算法進(jìn)行相應(yīng)的計算，計算得到的最優(yōu)微觀拓?fù)錁?gòu)型和最優(yōu)宏觀拓?fù)錁?gòu)型分別保存在兩個文件夾中。把生成的數(shù)據(jù)中有錯誤的數(shù)據(jù)剔除，最終產(chǎn)生了10200 個數(shù)據(jù)對用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的訓(xùn)練。其中的一個負(fù)載和邊界條件及生成的多層級結(jié)構(gòu)如圖2 所示。

圖2 邊界約束及相應(yīng)的多層級結(jié)構(gòu)Fig.2 Boundary constraints and corresponding multi-layer structures

由于本文使用了卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，因此需要把輸入信息轉(zhuǎn)化成適合卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的數(shù)據(jù)形式。由于本文使用的拓?fù)鋬?yōu)化的設(shè)計域為80 ×40，因此總共由81 ×41 個節(jié)點。體積約束、負(fù)載和邊界條件通過圖片表示如圖3 所示。如圖3 所示，體積約束、邊界條件和負(fù)載都用含81 ×41 個像素點的圖片表示。這樣，對于邊界條件和負(fù)載，使用兩個數(shù)據(jù)矩陣表示X方向力和Y方向力的加載位置及約束位置，其中約束位置標(biāo)記為“1”，加載位置分別標(biāo)記為“Fx=Fsinθ ”, “Fy=Fcosθ”，其余位置則都標(biāo)記為“0”，如圖3a）和圖3b）所示。對于體積約束，使用像素值全為體積分?jǐn)?shù)值的圖片表示，如圖3c）所示。

圖3 X 方向力及邊界條件，Y 方向力及邊界條件， 體積約束Fig.3 X-direction force and boundary conditions, Y-direction force and boundary conditions, volume constraints

3 耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

本文主要目標(biāo)是提出一個耦合深層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型來加速跨尺度拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)的生成。該耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型結(jié)合了Resnet、U-net 架構(gòu)和SEnet 中的注意力機(jī)制。由Resnet 模塊組成的U-net 是本文的主體網(wǎng)絡(luò)，而SEnet 中的注意力機(jī)制則加入到Resnet模塊中以提高網(wǎng)絡(luò)的精度。

3.1 Resnet、U-net 和SEnet 介紹

卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種特殊架構(gòu)的前饋網(wǎng)絡(luò)，它的生物啟發(fā)類似于動物視覺皮層的組織，其中每個單獨的皮層神經(jīng)元僅對受限視覺區(qū)域中的外部刺激做出反應(yīng)。類似地，卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部的卷積層包括多個卷積濾波器。每個過濾器都與來自上一層的輸入進(jìn)行卷積，并生成特征圖作為下一層的輸入。卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)主要由若干卷積層和池化層組成，在圖像處理方面有著十分出色的表現(xiàn)。然而，隨著卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)深度的增加，其泛化能力沒有提升，反而下降。而Resnet 的出現(xiàn)解決了這一問題。Resnet中的殘差塊如圖4 所示。

圖4 Resnet 中的殘差塊示意圖Fig.4 Schematic diagram of residual blocks in Resnet

由圖4 可知，輸入經(jīng)過非線性變換后，又加上了原來的輸入，這樣子就保證了輸入經(jīng)過非線性層之后的結(jié)果不會比原來的結(jié)果差。因此，本文選取Resnet 作為主干網(wǎng)絡(luò)。

U-net 是一種全卷積的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，最初是為了解決圖像分割問題而被發(fā)現(xiàn)的。U-net 以其特殊的模型架構(gòu)命名。U-net 包括一個下采樣過程和一個上采樣過程。下采樣過程和傳統(tǒng)的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)一樣，使用池化層將少圖片的維度，并隨著網(wǎng)絡(luò)的深入，逐漸提取全局圖像特征。而上采樣過程則分兩步進(jìn)行：一是擴(kuò)展特征圖大小的反卷積算子；二是concatenate 層，它結(jié)合了不同層次的特征，這樣子可以通過下采樣和上采樣獲得全局和局部特征。同時，輸出可以調(diào)整為原始圖像大小。因此，本文采用U-net 架構(gòu)來生成跨尺度拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

SEnet 是一種全新的圖像識別結(jié)構(gòu)，它可以通過對通道的相關(guān)性進(jìn)行建模來強(qiáng)化重要的特征而提高模型的準(zhǔn)確性。SEnet 中一個模塊如圖5 所示。

圖5 SE 模塊示意圖Fig.5 Schematic diagram of SE module

SEnet 的計算過程主要分為3 步：

采用SPSS 23.0統(tǒng)計軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)分析。定量資料以均數(shù)±標(biāo)準(zhǔn)差(x±s)表示，先進(jìn)行正態(tài)性分析;正態(tài)分布資料采用兩獨立樣本t檢驗、非正態(tài)分布資料采用兩獨立樣本Mann-Whitney U檢驗，定性資料用百分?jǐn)?shù)(%)表示、采用卡方檢驗進(jìn)行組間比較。當(dāng)P＜0.05時表示差異具有統(tǒng)計學(xué)意義。

1）輸入X經(jīng)過一次卷積操作Ftr后，特征通道數(shù)由c1變成了c2，得到U。

2）U經(jīng)過全局池化Fsq降維，然后經(jīng)過兩個全連接層Fscale為每個特征通道生成權(quán)重。

3）將第二步生成的通道權(quán)重逐通道相乘到U上。

通過這3 個步驟就可以自動獲取每個通道的重要程度，然后依據(jù)這個重要程度來增強(qiáng)有用的特征而抑制對當(dāng)前任務(wù)無用的特征，從而實現(xiàn)通道的自適應(yīng)校準(zhǔn)，提高網(wǎng)絡(luò)的準(zhǔn)確度。

3.2 耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的建立

耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型架構(gòu)和 Resnet-SE 模塊如圖圖6 所示。

圖6 耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型架構(gòu) 和 Resnet-SE 模塊Fig.6 Coupled neural network model architecture and resnet-SE module

建立如圖6a）所示耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，模型的輸入包含3 張圖片，分別是X方向力及邊界條件，Y方向力及邊界條件和體積約束，大小都為41 × 81。模型的輸出包含兩張圖片，分別為最優(yōu)的宏觀構(gòu)型和最優(yōu)的微觀構(gòu)型。如圖6a）所示，主體網(wǎng)絡(luò)模型的左邊部分由Resnet-SE 模塊和池化層組成，主要提取輸入圖片的特征信息和對圖片降維；網(wǎng)絡(luò)的右邊部分由上采樣和Resnet-SE 模塊組成，用來恢復(fù)被池化計算減少的數(shù)據(jù)維數(shù)，并采用通道堆疊操作分別將左邊對應(yīng)層的輸出連接到當(dāng)前層。通過采用這種特殊的U 形架構(gòu)，可捕獲輸入的全局和局部信息，可以訓(xùn)練模型以預(yù)測最優(yōu)的多層級結(jié)構(gòu)的演變。圖6b）表示了主體神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中使用的Resnet-SE 模塊，它由批量歸一化處理、整流線性單元（ReLU） 、卷積層、全連接層和‘Sigmoid’激活函數(shù)組成。圖中右邊的通道表示SEnet 在Resnet-SE 模塊的實現(xiàn)，中間和左邊的連個通道則為Resnet 的實現(xiàn)。

4 結(jié)果分析

在建立了適合用于生成跨尺度拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型后，利用生成的數(shù)據(jù)樣本對模型進(jìn)行訓(xùn)練。共有102000 對數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練、驗證及測試數(shù)據(jù)。圖7 和圖8 展示了模型損失函數(shù)和準(zhǔn)確率的收斂歷史。隨著訓(xùn)練次數(shù)的增加，損失函數(shù)值逐漸降低，準(zhǔn)確度逐漸增大，訓(xùn)練和驗證過程的損失函數(shù)值和準(zhǔn)確度的趨勢都一致且相差很小，訓(xùn)練模型的總體質(zhì)量較好，過擬合度在可接受的范圍內(nèi)。

圖7 針對宏觀構(gòu)型的訓(xùn)練歷史參數(shù)的變化Fig.7 Changes in training history parameters for macroscopic configurations

圖8 針對微觀構(gòu)型的訓(xùn)練歷史參數(shù)的變化Fig.8 Changes in training history parameters for micro configurations

訓(xùn)練過程完成后，通過使用與訓(xùn)練數(shù)據(jù)集和驗證數(shù)據(jù)集不同的測試數(shù)據(jù)集來對模型進(jìn)行最終評估。同時，Dice 系數(shù)也被計算來定量評價模型的性能，Dice 的定義表達(dá)式為

式（9）用來計算兩張圖片 [y,]（y表示真實的圖片，表示預(yù)測的圖片）的相似度。最后，通過從測試數(shù)據(jù)集中隨機(jī)挑選的最優(yōu)跨尺度拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)來與真實的最優(yōu)跨尺度拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行比較來進(jìn)行定性評估。

表1 表示一些BESO 生成的跨尺度結(jié)構(gòu)和耦合深度學(xué)習(xí)模型生成的跨尺度結(jié)構(gòu)的比較及計算得到的Dice 系數(shù)（表中的例子為從測試集中隨機(jī)選取的10 個樣本）。結(jié)果表明，耦合深度學(xué)習(xí)模型生成的跨尺度結(jié)構(gòu)與BESO 的結(jié)果幾乎一樣，深度學(xué)習(xí)模型在模擬BESO 的優(yōu)化過程中有著很好的性能。計算深度學(xué)習(xí)模型生成的跨尺度結(jié)構(gòu)和BESO 的結(jié)果的Dice 系數(shù)，無論是宏觀結(jié)構(gòu)還是微觀結(jié)構(gòu)，Dice 系數(shù)均在0.93 以上，其平均Dice 系數(shù)分別為0.954 和0.946。Dice 系數(shù)表明提出的深度學(xué)習(xí)模型生成的多層級結(jié)構(gòu)與BESO 的結(jié)果的相似性在93%以上，耦合深度學(xué)習(xí)模型生成的最優(yōu)多層級結(jié)構(gòu)是非?？煽康摹?/p>

表1 深度學(xué)習(xí)模型和BESO 方法生成的二維多層級拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)的比較（從測試集中隨機(jī)選取的10 個樣本）Tab.1 Comparison of 2D multi-level topology optimization structures generated by deep learning models and BESO methods(10 samples randomly selected from the test set)

表2 對耦合深度學(xué)習(xí)模型生成最優(yōu)跨尺度拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的計算時間和基于有限元的BESO 方法生成最優(yōu)跨尺度拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的計算時間進(jìn)行了對比（表中數(shù)據(jù)為表1 中的10 個樣本對應(yīng)的計算時間）。

表2 有限元方法與耦合深度學(xué)習(xí)方法計算時間的比較Tab.2 Comparison of computational time between finite element method and coupled deep learning method

由表2 可知，對于有限元方法，生成一個最優(yōu)跨尺度拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的平均時間為143.56 s，而對于深度學(xué)習(xí)方法而言，從讀取數(shù)據(jù)、生成結(jié)構(gòu)、計算Dice 系數(shù)及保存數(shù)據(jù)，平均時間為5.37 s，相對于有限元方法節(jié)約了96%的時間，本文提出的耦合深度學(xué)習(xí)方法在效率上遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于傳統(tǒng)的有限元方法。綜上所述，本文提出的耦合深度學(xué)習(xí)方法能在保證結(jié)果的高準(zhǔn)確性的情況下，高效的生成最優(yōu)跨尺度拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

5 結(jié)論

本文提出了一種能快速生成基于各種邊界條件下最優(yōu)微觀和宏觀拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的耦合深度學(xué)習(xí)方法。作為一種數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法，該耦合深度學(xué)習(xí)模型由BESO 生成的數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行訓(xùn)練，以獲得用于生成跨尺度拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。與傳統(tǒng)的基于有限元方法的結(jié)果相比，該耦合深度學(xué)習(xí)模型生成的結(jié)果的準(zhǔn)確性在93%以上，深度學(xué)習(xí)模型生成的結(jié)構(gòu)與BESO 生成的結(jié)構(gòu)幾乎一樣。與此同時，深度學(xué)習(xí)生成跨尺度拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的時間比基于有限元的BESO 方法節(jié)約了96%以上，大幅提高了跨尺度拓?fù)鋬?yōu)化的效率。