對(duì)稱五對(duì)角矩陣加箭型矩陣的廣義逆譜問題

蘇 然，雷英杰，李繁華

（中北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，太原 030051）

0 引言

研究了具有形如式（1）的矩陣A，其中，ai（i＝1，2，…，n）為實(shí)數(shù)，bi＞0（i＝1，2，…，n），1≤m≤n。當(dāng)m＝1時(shí)，矩陣A為對(duì)稱的箭型矩陣［1－2］，當(dāng)m＝n時(shí)，矩陣A就變成對(duì)稱的五對(duì)角矩陣［3－4］。

箭型帶狀的逆譜問題起源于文獻(xiàn)［5－6］關(guān)于三對(duì)角矩陣和箭型矩陣的討論，三對(duì)角矩陣和箭型矩陣的逆譜問題廣泛應(yīng)用在信號(hào)處理和數(shù)學(xué)建模等領(lǐng)域，關(guān)于此類箭狀矩陣的類似問題已得到研究，詳細(xì)見文獻(xiàn)［7－10］。五對(duì)角矩陣的逆譜問題應(yīng)用于梁系模型中，梁系結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為梁模型時(shí)，系統(tǒng)必須滿足一定的特殊結(jié)構(gòu)，此時(shí)，系統(tǒng)的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)是一類五對(duì)角矩陣。文獻(xiàn)［11］討論了由3個(gè)交錯(cuò)特征值構(gòu)造對(duì)稱五對(duì)角矩陣，文獻(xiàn)［12］研究了由3個(gè)混合特征數(shù)據(jù)構(gòu)造一類廣義的對(duì)稱五對(duì)角矩陣。

在文獻(xiàn)［8］中，作者已研究了三對(duì)角矩陣加箭型矩陣的逆譜問題，但未討論五對(duì)角矩陣加箭型矩陣的逆譜問題。相比文獻(xiàn)［8］，將箭型帶狀矩陣從經(jīng)典的三對(duì)角矩陣［13－17］推廣到了特殊五對(duì)角矩陣。給定所有主子陣的極端特征值，通過順序主子陣間的遞推關(guān)系來構(gòu)造此類箭狀矩陣明顯存在困難。結(jié)合幾何學(xué)上圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì)，通過考慮一個(gè)非退化二次圓錐曲線的存在性，研究了此類特殊箭狀矩陣的廣義逆譜問題。

問題給定實(shí)數(shù)和實(shí)數(shù)d＞0，構(gòu)造具有形如式（1）的n階對(duì)稱實(shí)矩陣A，使得分別是矩陣A的j階順序主子陣Aj的最小、最大特征值，其中bm＝d。

1 預(yù)備知識(shí)

引理1給定形如式（1）的對(duì)稱矩陣A，其各階順序主子陣的特征多項(xiàng)式序列滿足下列遞推關(guān)系：

其中：Q1（λ）＝1和Qj－1（λ），j＝3，…，m是矩陣A通過刪除順序主子矩陣Aj－1的第j－2行和第j－2列得到其對(duì)應(yīng)的特征多項(xiàng)式。

引理2［8］給定形如式（1）的對(duì)稱矩陣A，、分別是其對(duì)應(yīng)順序主子陣Aj的最小、最大特征值的充要條件為：

推論1如果形如式（1）的對(duì)稱矩陣A的主子陣Aj的最小、最大特征值分別為i≤n－1）為矩陣A的對(duì)角元，Pj（λ）為Aj的特征多項(xiàng)式，那么

簡(jiǎn)化計(jì)算定義的記號(hào)如下：

2 問題有解的充分條件

定理1給定實(shí)數(shù)和實(shí)數(shù)d＞0且bm＝d，存在一個(gè)n階實(shí)矩陣A，使得、是矩陣A的j階順序主子陣的最小、最大特征值的充分條件為：

和

證明充分性。假設(shè)條件（3）—（5）成立，矩陣A存在等價(jià)于方程組（6）的實(shí)數(shù)解。

當(dāng)j＝1時(shí)，由引理1和式（6）得

當(dāng)j＝2，…，m－1時(shí)，由引理1和式（6）得

由式（2）（3）和推論1知

當(dāng)j＝m時(shí)，由引理1和式（6）得

式（9）可以寫為：

其中

為了求解式（10），由式（2）得

其中

點(diǎn)（X，Y）＝（bm－1，bm）一定屬于集合C：

集合C包含在圓錐曲線中。不管它是否退化，圓錐曲線始終存在。

等式（11）可以寫為L(zhǎng)MLΤ＝0，其中

當(dāng)detM＝0時(shí)，圓錐曲線C是退化的，且不存在。

當(dāng)detN＞0和（Um＋Vm）detM＞0時(shí)，圓錐曲線是虛橢圓，即C＝?。

由條件（3）和推論1得－（Um＋Vm）Wm＞0。

因此，如果detN＞0，有（Um＋Vm）detM＝（Um＋Vm）WmdetN＜0，此時(shí)，圓錐曲線是橢圓，且圓錐曲線C始終存在，所以bm－1、bm存在且滿足式（10）。

當(dāng)bm＝d，X＝bm－1時(shí)，由式（11）得

由定理1中條件（4）和（5）解得

由條件（5）知，bm－1有2個(gè)解，選bm－1＞0。

由式（10）和推論1得

當(dāng)bm－1＝d，Y＝bm時(shí)，類似上述證明，解得

當(dāng)j＝m＋1時(shí)，由引理1和式（6）得

由推論1得

當(dāng)j＝m＋2，…，n時(shí)，由引理1知

由引理2和推論1得

證畢。

注1

1）在定理1重構(gòu)對(duì)稱矩陣A的順序主子陣Am時(shí)，主子陣Am的所有項(xiàng)都是唯一的，除了am。

2）定理1保證了圓錐曲線C總是存在的，不管它是否退化，設(shè)bm＝d，相當(dāng)于在平面內(nèi)考慮直線X＝d，這條直線可能與圓錐曲線C相交，也可能不相交。定理1中條件（4）保證了直線X＝d與圓錐曲線至少有一個(gè)交點(diǎn)。

推論2基于定理1的相同假設(shè)和表示下：

2）如果滿足條件（3）和bm＝d。則存在形如式（1）的主子陣Am，使得j＝1，…，m是矩陣A的j階順序主子陣的最小、最大特征值，且滿足條件（3）和bm＝d。

注2在幾何學(xué)上，推論2的建立可能得出不同類型的圓錐曲線，有2種情況：

1）如果Um（Vmd2＋Wm）＝0，detM＝detN＝0時(shí)，圓錐曲線是退化的，當(dāng)Wm（Um＋Vm）＜0，圓錐曲線是由2條平行線組成，在這種情況下，任何直線X＝d與圓錐曲線相交。如果Um（Vmd2＋Wm）＞0，detM≠0和detN＜0，圓錐曲線X＝d是一個(gè)雙曲線，在這種情況下，任何直線X＝d與雙曲線相交。

2）如果detN＞0，（Um＋Vm）detM＜0，圓錐曲線C是一個(gè)橢圓，由于橢圓的中心在Y軸上，任何直線X＝d＞0，d在一個(gè)適當(dāng)?shù)膮^(qū)間內(nèi)與橢圓相交。

3 數(shù)值算法與實(shí)例

3.1 數(shù)值算法

步驟1輸入實(shí)數(shù)和實(shí)數(shù)d＞0且bm＝d；

步驟2若滿足定理1中的條件（3）則繼續(xù)；否則算法結(jié)束；

步驟3當(dāng)j＝1時(shí)，計(jì)算a1＝；

步驟4當(dāng)j＝2，…，m－1時(shí)，計(jì)算

步驟5當(dāng)j＝m時(shí)，計(jì)算UmVm，Um（Vmd2＋Wm），再進(jìn)行判斷UmVm＜0且Um（Vmd2＋Wm）＜0，如果成立，執(zhí)行步驟6，否則停止；

步驟6計(jì)算

步驟7當(dāng)j＝m＋1時(shí)，計(jì)算

步驟8當(dāng)j＝m＋2時(shí)，計(jì)算

步驟9輸出矩陣A。

3.2 數(shù)值實(shí)例

表1所示為初始特征數(shù)據(jù)，設(shè)定m＝4，n＝6。

解當(dāng)d＝1時(shí)，滿足表1，通過3.1節(jié)的數(shù)值算法和Matlab R2021b計(jì)算得矩陣A6的主子陣A4為：

當(dāng)d＝3時(shí)，意味著矩陣A6不存在主子陣A4。根據(jù)推論2得即d∈（0，2.463 7），此時(shí)，矩陣A6存在主子陣A4且b4＝d。

通過3.1節(jié)的數(shù)值算法和Matlab R2021b計(jì)算得到矩陣為：

再通過Matlab R2021b計(jì)算矩陣A6的順序主子陣的特征值如下：

圖1為矩陣A6所有主子陣特征值的演示結(jié)果。

圖1 定理1中低階A j特征值的分布

4 結(jié)論

基于三對(duì)角矩陣和箭型矩陣的研究，討論了對(duì)稱五對(duì)角矩陣加箭型矩陣的廣義逆譜問題。前人利用特征值的交錯(cuò)性解決了三對(duì)角矩陣加箭型矩陣的逆譜問題，然而通過該方法重構(gòu)五對(duì)角矩陣加箭型矩陣時(shí)，明顯存在困難，故在其基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，通過加入其他約束條件保證了二次曲線一般方程的存在性，實(shí)現(xiàn)了特殊箭型帶狀矩陣的重構(gòu)。給定各主子陣的極端特征值，通過順序主子陣間的遞推關(guān)系，將矩陣的逆譜問題轉(zhuǎn)換為求解圓錐曲線方程的問題，獲得了問題有解的充分條件和解的表達(dá)式。這對(duì)研究其他矩陣的逆譜問題有一定的借鑒意義。