基于UbD理論的初中數(shù)學(xué)逆向教學(xué)設(shè)計(jì)
——以“二元一次方程組”為例

張曉君 張昕麗

(山東省聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東 聊城 252000)

傳統(tǒng)課堂的教學(xué)有兩大問題:一是記憶型知識(shí)易被遺忘,二是學(xué)生對(duì)這樣的知識(shí)缺乏深入理解[1].當(dāng)下,有效學(xué)習(xí)的視角從強(qiáng)調(diào)學(xué)生的勤學(xué)苦練轉(zhuǎn)變?yōu)樽⒅乩斫夂瓦\(yùn)用知識(shí),理解性學(xué)習(xí)成為國際教育研究熱點(diǎn).由格蘭特·威金斯和杰伊·麥克泰格提出的“追求理解的教學(xué)設(shè)計(jì)”(Understanding by Design,簡稱UbD)正在逐漸發(fā)展完善.UbD理論的核心即理解,教學(xué)目標(biāo)、評(píng)估證據(jù)、教學(xué)活動(dòng)都是幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)理解的手段,整個(gè)教學(xué)活動(dòng)的完成都是圍繞著“理解”進(jìn)行的[2].UbD理論認(rèn)為,為達(dá)到“理解”這一教學(xué)目標(biāo),最好的設(shè)計(jì)應(yīng)該“以終為始”,UbD理論指導(dǎo)下的教學(xué)設(shè)計(jì)就是一種逆向教學(xué)設(shè)計(jì),其與傳統(tǒng)教學(xué)設(shè)計(jì)模式的差異是,傳統(tǒng)教學(xué)著眼于“輸入端”,逆向教學(xué)則是聚焦“輸出端”,認(rèn)為“輸出”可以倒逼“輸入”[3].

1 逆向教學(xué)設(shè)計(jì)操作程序

本部分以威金斯提出的逆向設(shè)計(jì)階段為基礎(chǔ),闡述逆向教學(xué)設(shè)計(jì)的操作程序.逆向教學(xué)設(shè)計(jì)可以分為明確預(yù)期的學(xué)習(xí)結(jié)果、確定合適的評(píng)估依據(jù)、設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)體驗(yàn)和教學(xué)三個(gè)階段,在這里設(shè)計(jì)者要注意三個(gè)階段不是相互獨(dú)立的,下一個(gè)階段是在上一個(gè)階段基礎(chǔ)上得到的.

1.1 階段一:明確預(yù)期的學(xué)習(xí)結(jié)果

預(yù)期的學(xué)習(xí)結(jié)果要界定出學(xué)生通過學(xué)習(xí)要獲得哪些知識(shí)、能運(yùn)用這些知識(shí)干什么,可以從“確定單元目標(biāo)、確定課時(shí)目標(biāo)、預(yù)期的學(xué)習(xí)結(jié)果”三個(gè)步驟來確定.預(yù)期的學(xué)習(xí)結(jié)果可以分為四部分,“預(yù)期的遷移”是學(xué)生深入理解所學(xué)知識(shí),能夠?qū)⑺鶎W(xué)內(nèi)容進(jìn)行遷移運(yùn)用.“預(yù)期的理解”是在可以掌握基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上,更深層次的理解,實(shí)現(xiàn)知識(shí)結(jié)構(gòu)構(gòu)建.“基本問題”是“是什么”“為什么學(xué)”“怎么理解”等.“知識(shí)與技能”是基礎(chǔ)性目標(biāo),主要是學(xué)生學(xué)完后能學(xué)會(huì)什么知識(shí)技能.

1.2 階段二:確定合適的評(píng)估依據(jù)

在逆向教學(xué)設(shè)計(jì)中,教學(xué)活動(dòng)不是在確定了預(yù)期結(jié)果后直接計(jì)劃的,而是先針對(duì)第一階段的預(yù)期結(jié)果設(shè)計(jì)評(píng)估依據(jù),再設(shè)計(jì)教學(xué).在這一階段,需要解決的問題是“怎樣證明學(xué)生已經(jīng)理解、怎樣證明學(xué)生達(dá)成了預(yù)期的學(xué)習(xí)結(jié)果”.這里的評(píng)估依據(jù)應(yīng)當(dāng)貫穿整個(gè)學(xué)習(xí)的過程,既包括學(xué)習(xí)活動(dòng)結(jié)束后的測試,還包括在學(xué)習(xí)過程中收集大量的證據(jù),如觀察、提問、探究問題等等.評(píng)估依據(jù)可以從表現(xiàn)性任務(wù)、其他證據(jù)、自我評(píng)估和反饋三部分確立.

1.3 階段三:設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)體驗(yàn)和教學(xué)

在確定了清晰的預(yù)期結(jié)果和評(píng)估依據(jù)后,就可以規(guī)劃相應(yīng)的教學(xué)活動(dòng)了,依據(jù)即為階段一和階段二的預(yù)定目標(biāo)以及評(píng)估依據(jù).在該階段,設(shè)計(jì)者可以運(yùn)用威金斯和邁克泰格提出的WHERETO七元素.WHERETO元素中W指學(xué)習(xí)方向和原因,H指吸引和保持,E1指探索和體驗(yàn)、準(zhǔn)備和使能夠,R指反思、重新考慮及修改,E2指評(píng)價(jià)工作及進(jìn)展,T指量身定制,O指為最佳效果而組織.

2 案例設(shè)計(jì)——以二元一次方程組為例

二元一次方程組是方程組的內(nèi)容主體之一,本階段的學(xué)生已經(jīng)具有一元一次方程的相關(guān)知識(shí),但只是初步體會(huì)了方程思想.學(xué)習(xí)二元一次方程組會(huì)為將來的一次函數(shù)、二次函數(shù)、不等式等內(nèi)容打下基礎(chǔ).

2.1 階段一:明確預(yù)期的學(xué)習(xí)結(jié)果

2.1.1確定單元目標(biāo)

①對(duì)方程發(fā)展史進(jìn)行基礎(chǔ)了解,理解相關(guān)概念;②能遷移解一元一次方程的內(nèi)容,并思考如何利用一元來研究二元;③掌握二元一次方程組的解題過程,掌握代入消元法及加減消元法,會(huì)驗(yàn)證解的合理性;④體會(huì)“消元”的思想,推導(dǎo)三元一次方程組的解法,初步體會(huì)化歸思想;⑤體會(huì)方程組的應(yīng)用價(jià)值,培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模意識(shí)和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng),同時(shí)提高解決問題的能力.

2.1.2確定課時(shí)目標(biāo)

①類比一元一次方程,掌握二元一次方程和二元一次方程組的有關(guān)概念并學(xué)會(huì)辨別,知道二者解的定義;②可以由具體問題抽象出二元一次方程組,可以運(yùn)用數(shù)學(xué)思維將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的能力;③能找出實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系并建立方程的數(shù)學(xué)模型,培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng);④提高問題意識(shí),加強(qiáng)應(yīng)用意識(shí).

2.1.3預(yù)期的學(xué)習(xí)結(jié)果

(1)預(yù)期的遷移.一方面,能夠遷移一元一次方程的知識(shí)來學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容;另一方面,能將生活中的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二元一次方程組,可以將本節(jié)課涉及的思想和方法遷移到其他數(shù)學(xué)問題.

(2)預(yù)期的理解.首先,可以從“元”、“次”來理解二元一次方程.同時(shí),知道二元一次方程組是表達(dá)實(shí)際問題的一種數(shù)學(xué)模型.再者,能自己總結(jié)這節(jié)課的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容.最后,能理解出題者的意圖.

(3)基本問題.①什么是二元一次方程?它與一元一次方程有何聯(lián)系?②什么是二元一次方程組?什么是二元一次方程的解?什么是二元一次方程組的解?③本節(jié)課學(xué)習(xí)的意義是什么?④如何根據(jù)具體的問題列二元一次方程組?

(4)知識(shí)與技能.①掌握本節(jié)課涉及的四個(gè)定義,清楚二元和一元的區(qū)別,清楚方程的解和方程組的解的區(qū)別和聯(lián)系;②可以根據(jù)實(shí)際問題列出二元一次方程組,初步擁有數(shù)學(xué)抽象思維,知道嘗試用建模方式解決實(shí)際問題.

2.2 階段二:確定合適的評(píng)估依據(jù)

2.2.1表現(xiàn)性任務(wù)

任務(wù)1:學(xué)生在上課前閱讀關(guān)于方程發(fā)展背景的文章,研究其在數(shù)學(xué)史上的作用.

任務(wù)2:讓學(xué)生做小老師,將本節(jié)內(nèi)容經(jīng)過整理記錄下來,并交給沒上課的同學(xué),并向其講解.

任務(wù)3:解決實(shí)際問題.通過研究實(shí)際問題“乒乓球賽問題”,建立數(shù)學(xué)模型,列出方程.

任務(wù)4:請(qǐng)每個(gè)學(xué)生設(shè)計(jì)一個(gè)與本節(jié)課相關(guān)的習(xí)題,小組內(nèi)互相做題、糾正并給予評(píng)價(jià).

2.2.2其他證據(jù)

課上測驗(yàn)——課上安排小練習(xí);課上問答——通過課上的師生問答判斷學(xué)生的學(xué)習(xí)情況;課下作業(yè)——完成書本上的練習(xí)題及習(xí)題冊(cè)上的對(duì)應(yīng)習(xí)題;單元測驗(yàn)——檢測本章的相關(guān)知識(shí).

2.2.3自我評(píng)估和反饋

①自評(píng)對(duì)本節(jié)課“多人共車”問題和“雀燕”問題的探究情況,在練習(xí)后讓學(xué)生判斷自己的掌握情況;②在下課前讓學(xué)生思考總結(jié)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容,談?wù)劯邢牒褪斋@,評(píng)價(jià)自己的學(xué)習(xí)掌握度;③根據(jù)課后作業(yè)反思自己是否達(dá)成了本節(jié)課的學(xué)習(xí)要求;④為學(xué)生發(fā)放自評(píng)表進(jìn)行填寫.

2.3 階段三:設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)體驗(yàn)和教學(xué)

(1)布置課前作業(yè),讓學(xué)生閱讀整理有關(guān)方程數(shù)學(xué)史和相關(guān)背景的文章,繼而完成幾道關(guān)于一元一次方程的習(xí)題,為學(xué)習(xí)活動(dòng)做準(zhǔn)備.(E1,R)

(2)情景引入:從數(shù)學(xué)文化引入,讓學(xué)生先運(yùn)用已有一元一次方程知識(shí)自行解決《孫子算經(jīng)》中的“多人共車”問題,教師引導(dǎo)學(xué)生思考是否可以設(shè)兩個(gè)未知數(shù),自然過渡到二元一次方程.(H)

(3)教師讓學(xué)生明確學(xué)習(xí)目標(biāo),明確表現(xiàn)性任務(wù),介紹這節(jié)課涉及的四個(gè)基本問題.(W)

(4)教師引導(dǎo)學(xué)生設(shè)兩個(gè)未知數(shù)解決問題,證明設(shè)兩個(gè)未知數(shù)來列方程的可行性.(O,E1)

(5)學(xué)生類比多人共車問題探究《九章算數(shù)》中的雀燕問題,再次體驗(yàn)設(shè)兩個(gè)未知數(shù)列方程的過程,同時(shí)認(rèn)識(shí)到本節(jié)課的必要性.(E1)

(6)學(xué)生觀察兩個(gè)問題中列出的四個(gè)方程的共同特性,比較其與一元一次方程的差異,引導(dǎo)從“元”“次”的角度進(jìn)行總結(jié),歸納二元一次方程定義.(O,E1)

(7)教師呈現(xiàn)若干式子,學(xué)生判斷哪些是二元一次方程,并說明判斷依據(jù).(E2)

(8)教師帶領(lǐng)學(xué)生繼續(xù)探索,將“雞兔同籠”和“雀燕”問題的方程進(jìn)行比較,以此為例,總結(jié)二元一次方程組的定義.(E1)

(9)小組合作討論相關(guān)問題,鞏固對(duì)二元一次方程組定義的理解,區(qū)分易錯(cuò)點(diǎn).(E1,O)

(10)準(zhǔn)備探究解的情況,引導(dǎo)學(xué)生從問題中發(fā)現(xiàn)二元一次方程、二元一次方程組和一元一次方程的學(xué)習(xí)順序是一樣的.(E1)

(11)探究“多人共車”問題中x,y的取值問題,師生合作總結(jié)并體會(huì)二元一次方程和二元一次方程組解的定義.(E1,O)

(12)學(xué)生獨(dú)立思考二元一次方程解的個(gè)數(shù)?二元一次方程組又有幾個(gè)解?教師要引導(dǎo)學(xué)生注意到二者解之間的聯(lián)系與區(qū)別.(E1)

(13)學(xué)生完成一系列典型例題.(E2)

(14)學(xué)生獨(dú)立完成“乒乓球賽”問題,建方程模型解決問題.(T,R)

(15)根據(jù)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容,每個(gè)人設(shè)計(jì)一道習(xí)題,小組內(nèi)互相交換做題.(T,R,E2)

(16)教師組織學(xué)生反思“多人共車”問題和“雀燕”問題,總結(jié)本節(jié)課的收獲和疑問.(R,O,E2)

(17)讓學(xué)生試著當(dāng)小老師,將本節(jié)內(nèi)容經(jīng)過自己的整理記錄下來,并交給沒來的同學(xué),同時(shí)給他講解這節(jié)課的內(nèi)容.(R,T,O)

(18)課下完成練習(xí)冊(cè)內(nèi)容后小組內(nèi)交換練習(xí)冊(cè)相互評(píng)價(jià),給練習(xí)冊(cè)評(píng)分.學(xué)生分析錯(cuò)誤的原因,寫下自己的評(píng)語.(R,E2,O)

(19)在單元結(jié)束時(shí),回顧所學(xué)知識(shí),構(gòu)建知識(shí)框架,進(jìn)行自我總結(jié).(E2,T)

3 結(jié)論與反思

基于UbD理念的逆向教學(xué)設(shè)計(jì)在三個(gè)階段環(huán)環(huán)相扣,使教學(xué)設(shè)計(jì)整體在很大程度上體現(xiàn)了教學(xué)目標(biāo)、評(píng)估證據(jù)、教學(xué)活動(dòng)的一致性.這種注重理解的模式在數(shù)學(xué)科目上有很大優(yōu)越性,同時(shí)“二元一次方程組”這一范例也證明了其可操作性.首先,UbD理論提供了一個(gè)具體可行的反轉(zhuǎn)模式,老師可以挑選出一些關(guān)鍵問題,再根據(jù)知識(shí)的優(yōu)先級(jí)、理解難度對(duì)問題進(jìn)行劃分,以此為依據(jù)構(gòu)建學(xué)生的知識(shí)系統(tǒng);其次,這種以大概念為基礎(chǔ)的逆向教學(xué)設(shè)計(jì),有助于加強(qiáng)知識(shí)間的關(guān)聯(lián)性,重視學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解并促進(jìn)能力的發(fā)展;最后,逆向教學(xué)設(shè)計(jì)可以有效地解決數(shù)學(xué)課堂中存在的問題,如目標(biāo)不明確、教學(xué)活動(dòng)和情境設(shè)置不科學(xué)、學(xué)生學(xué)習(xí)表面化、教、學(xué)、評(píng)之間脫節(jié)等,從而提高課堂教學(xué)效果.