基于信道模型的短波時差測量克拉美羅界分析*

王君明，周 晨，李 琛，呂明杰，喬 瑋，朱建樺

(武漢大學 電子信息學院，湖北 武漢 430072)

0 引言

時間延遲測量(估計)是現(xiàn)代信號處理中信號檢測和參數(shù)提取問題的一個重要組成部分，廣泛應用于雷達系統(tǒng)、通信系統(tǒng)等領域[1]高精度時差的提取，是短波時差定位的前提.時差測量可以分為兩類[2]：第一類為直接法時差測量，它通過直接記錄信號到達各空間分離觀測站的時間來計算到達不同位置觀測站的時間差，該類方法僅適合一些高頻脈沖信號；第二類為間接法時差測量，它通過空間分離的觀測站截獲信號，通過特定的時延估計算法來計算不同觀測站所截獲信號間的時差關系，間接法時差測量使用時延估計算法來測量時差，時差測量精度較高.

電離層是受太陽高能輻射以及宇宙線的激勵而電離的大氣高層.電離層從離地面約0 km開始一直伸展到約1 000 km高度，地球高層大氣空域中存在相當多的自由電子和離子，能使短波改變傳播速度，發(fā)生折射、反射和散射，產生極化面的旋轉并受到不同程度的吸收[3].由電離層運動產生的多普勒頻移[4]、電離層的時空變化[5]、電離層的信道時延等因素將直接影響時差測量的誤差.因此，不得不依賴電離層模型來模擬電離層的影響，電離層模型能夠體現(xiàn)電子濃度在豎直高度上分布的規(guī)律.按模擬方法可將電離層模型分為理論模型、經驗模型和半經驗模型3種，國際參考電離層(IRI)模型[6]、NeQuick模型[7]等是電離層領域中常用的經驗模型.

已經進行了大量的研究來估計時差測量的精度.Helstrom[8]、Woodward[9]和Wahlen[10]提出了有源系統(tǒng)的時間延遲誤差的方差.Knapp等[11]根據(jù)相干函數(shù)顯示了時間延遲估計的方差.但以上都為視距下信號傳播的時差估計克拉美羅界(CRLB)，短波信號經過電離層傳播，必然受到電離層的調制作用，從而影響短波信號時差估計的CRLB.Bell等[12]提出經典的匹配濾波技術，克服了多徑效應引起的傳統(tǒng)時延估計算法性能下降的問題，但是仍存在算法分辨率不高的問題.Ge等[13]將多徑環(huán)境下的時延估計轉化到頻域，利用多重信號分類方法(MUSIC)實現(xiàn)超分辨率多徑時延估計，但方法局限于窄帶信號.張陽等[14]在Watterson短波信道模型的基礎上，提出了基于廣義相關熵的時延估計算法，在較低信噪比下也能保持較高的時延估計性能，但基于模型的限制，同樣只適用于窄帶信號.Yang等[15]基于準拋物模型，采用解析性射線追蹤建立了短波時差測量方程并討論了對定位的影響，但在電離層變化較為復雜的情況下，量化參數(shù)(QP)模型的適用性還有待研究.基于上述不足，本文考慮了電離層水平相關性的影響，利用IRI模型構建了寬帶短波信道.

本文第一節(jié)基于IRI模型，采用數(shù)值型三維射線追蹤的方法構建了Vogler寬帶短波信道模型，并給出了時延和多普勒頻移等參數(shù)估計.第二節(jié)給出了在Vogler信道模型下的時差測量模型，并推導了時差測量估計的CRLB.第三節(jié)給出了Vogler短波信道的散射函數(shù)仿真結果與不同條件下時差測量CRLB的仿真結果.最后，在第四節(jié)進行總結，評估了影響時差測量CRLB的因素.

1 Vogler信道模型

短波經過電離層傳播產生的多普勒效應和多徑效應分別引起信道的頻率色散和時間色散，所以短波信道可以表示為二維的頻率-時間色散信道，即用散射函數(shù)S(τ，fD)來表示.Vogler信道模型是Vogler等[16]根據(jù)Wagner等[17]的實驗數(shù)據(jù)推導出信道脈沖響應、傳遞函數(shù)和散射函數(shù)而構建的數(shù)學模型.

信道的輸出信號函數(shù)可表示為式(1)：

(1)

基于Vogler信道模型的Gaussian型信道散射函數(shù)數(shù)學模型可表示為：

(2)

因此利用IRI模型獲取電離層電子密度信息后，只需要計算中心頻率處的平均時延τc、單邊時延展寬τD(τc-τl)、中心頻率處的平均多普勒頻移fs、單邊多普勒展寬σD(暫時無法獲得，設為定值0.1 Hz)和接收信號的振幅峰值A后便可建立Vogler模型的短波信道散射函數(shù).其余參數(shù)如Afl參考實際接收機參數(shù)，α設為1.具體的參數(shù)估計算法如下所示.

(1)中心頻率處的平均時延τc

數(shù)值型三維射線追蹤是通過求解微分方程組[18]的方式來求得射線的傳播路徑，在電離層信息已知的情況下，給定發(fā)射點與接收點經緯度、利用Runger-Kutta法求解微分方程組，便可得到射線路徑上不同點的坐標矢量和波矢量，將所有點連接起來就可以得到完整的射線描跡，從而得到傳播路徑的主要參數(shù)，如群路徑P、大圓距離D等.

那么中心頻率處的平均時延τc可由式(3)表示：

(3)

式中：c為真空中的光速；μg為路徑上射線的群折射率，為了簡化運算，忽略碰撞和外磁場的影響，群折射率μg約為1+40.3Ne/f2，Ne為電離層電子密度，f為電波頻率.

(2)單邊時延展寬τD

由于信號具有一定的帶寬，處于信號帶寬內的兩個不同頻率的短波射線傳播路徑不同，從而產生了時延差，時延展寬可由式(4)表示：

τD=τc-τl，

(4)

式中，τl為信號帶寬頻率下限處的平均時延，計算方法參考τc即可.

(3)中心頻率處的平均多普勒頻移fs

電離層整體的抬高或下降會使接收站接收到的電波頻率與發(fā)射的電波頻率產生一定程度的頻移.中心頻率處的平均多普勒頻移fs可由式(5)表示：

(5)

式中：λ為發(fā)射電波波長；P′為電波傳播中的相路徑.

(4)接收信號的振幅峰值A

對于每一條短波射線，接收點的場強中值由ITU報告中P.533-14中的天波場強計算公式給出：

A=136.6+Pt+Gt+20lgf-Lb，

(6)

式中：A為振幅峰值，單位dB(μv/m)；Pt為發(fā)射機功率的數(shù)值，單位dB(kW)；Gt為發(fā)射天線增益的數(shù)值，單位dB；f為發(fā)射頻率的數(shù)值，單位MHz；Lb為射線路徑的基本傳輸損耗的數(shù)值，單位dB，由式(7)給出：

Lb=32.5+20lgf+20lgP+Li+Lm+Lg+Lh+Lz，

(7)

式中：P為射線傳播的群路徑的數(shù)值，單位m；Li為吸收損耗的數(shù)值，單位dB；Lm是射線頻率高于最高可用頻率時的損耗的數(shù)值，單位dB；Lg為中間反射點的地面損耗總和，單位dB；Lh是極光和其他信號損耗的因子；Lz為其他損耗的數(shù)值，單位dB.

2 基于Vogler信道短波時差測量的克拉美羅界

不考慮多徑效應的影響，信號從輻射源(T)經電離層傳播后到達接收站(R)，時差測量模型如圖1所示，本文將短波信道下的時差測量模型描述如下：

圖1 時差測量模型圖Fig.1 Time difference measurement model

(8)

式中：s(t)表示短波實信號；H1(f，t)和H2(f，t)分別表示兩條傳播路徑中的沖激響應函數(shù)；*代表卷積；n1(t)和n2(t)分別表示兩條傳播路徑中的加性噪聲，且均為實信號.假設信號s(t)與噪聲n1(t)，n2(t)不相關，時間延遲為D.x1(t)和x2(t)為經過不同信道調制后加上噪聲得到的輸出信號.

當多普勒擴展(仿真中設為定值0.1 Hz)不影響信號相關性時，把電離層對短波信號的調制作用簡化為短波信號的幅度衰減[19].在這種條件下，經過電離層傳播的時差測量模型可簡化為式(9)的形式：

(9)

式中，h1和h2表示短波信號經過不同信道的幅度衰減系數(shù)，將xi(t)的傅里葉系數(shù)(指數(shù)形式)表示如下[20]：

(10)

(11)

由平穩(wěn)隨機過程有[21]：

(12)

在平穩(wěn)隨機過程中，Gx1x2(f)代表信號x1和x2的互功率譜密度，且有：

(13)

令

X(k)=[X1(k)，X2(k)]T，

(14)

式中：T代表轉置，定義功率譜密度矩陣Q使得：

(15)

又因為：

Rx1x2(τ)=E[x1(t)x2(t-τ)]=E{[h1S(t)+n1(t)][h2S(t-(τ-D))+n2(t-τ)]}，

(16)

由于信號S(t)與噪聲n1(t)，n2(t)不相關，經傅里葉變換可得：

Gx1x2(f)=h1h2Gss(f)e-j2πfD，

(17)

同理可得：

(18)

又當τ=D時，互相關運算取得最大值，即時差信息τ包含在功率譜密度函數(shù)Gx1x2(f)中，因為Gss(f)為實數(shù)，所以有：

(19)

Knapp等指出[11]，根據(jù)功率譜密度矩陣Q得到克拉美羅界為：

(20)

式中，復相干系數(shù)γx1x2(f)定義如下：

(21)

聯(lián)立式(17)、式(18)和式(21)可知，|γx1x2(f)|2可由式(22)表示：

(22)

式中：Gss(f)為信號的自功率譜密度；Gnn(f)為噪聲的自功率譜密度；h1、h2為信號的幅度衰減系數(shù)，令Gss(f)=S，Gnn(f)=N，當信噪比(RSN)較小時，則有：

(23)

則，由式(20)可得短波時差測量估計的CRLB為：

(24)

式中：T為積分時間；f2-f1為工作帶寬.由式(24)可知，時差估計的標準差為：

(25)

理想狀態(tài)下，如果短波信號經過電離層沒有衰減，即g1=g2=1，則時差估計的CRLB與視距下的CRLB相同.

3 仿真計算

仿真選取的3個觀測站分別為：武漢(30.5°N，114.37°E)、道孚(31.0°N，101.12°E)、樂山(29.6°N，103.75°E)，其中武漢—樂山地面距離為1 031 km，武漢—道孚地面1 273 km，工作方式為武漢發(fā)射，樂山、道孚同步接收，由此得到武漢—樂山和武漢—道孚兩條斜測路徑，仿真條件為白天發(fā)射電波頻率10 MHz，夜間發(fā)射電波頻率4 MHz，信號帶寬40 KHz，利用IRI 2016模型模擬冬季白天、夜晚和夏季白天、夜晚不同電離層背景下的Vogler信道散射函數(shù)，忽略多徑效應影響，只考慮短波信號經過單層傳播.

仿真得到的武漢—樂山的高頻信道散射函數(shù)圖如圖2所示.

圖2 武漢—樂山的高頻信道散射函數(shù)圖:(a)冬季白天;(b)夏季白天;(c)冬季夜晚;(d)夏季夜晚Fig.2 HF channel scattering fuction from Wuhan to Leshan:(a) Winter daytime;(b)Summer daytime;(c)Winter night;(d)Summer night

仿真時間為2020年冬季的1月21日和夏季的7月21日，圖2中(a)、(b)、(c)、(d)分別對應著冬季白天(12時)、夏季白天(12時)、冬季夜晚(0時)、夏季夜晚(0時)不同電離層背景下的武漢—樂山短波信道建模，橫軸代表多普勒頻移，縱軸代表信號的時延，可以看出傳播模式均為單層傳播.

仿真得到的武漢—道孚的高頻信道散射函數(shù)圖如圖3所示：

圖3 武漢—道孚的高頻信道散射函數(shù)圖：(a)冬季白天；(b)夏季白天；(c)冬季夜晚；(d)夏季夜晚Fig.3 HF channel scattering fuction from Wuhan to Leshan：(a) Winter daytime；(b) Summer daytime；(c) Winter night；(d) Summer night

圖4 時差測量估計CRLB：(a)不同采樣時間；(b)不同信號頻率Fig.4 CRLB of time difference measurements：(a) Different sampling time；(b) Different signal frequency

圖5 時差測量估計CRLB：(a)冬夏白天；(b)冬夏夜晚Fig.5 CRLB of time difference measurements：(a) Winter and summer daytime；(b) Winter and summer night

圖3中(a)、(b)、(c)、(d)分別對應著冬季白天(12時)、夏季白天(12時)、冬季夜晚(0時)、夏季夜晚(0時)不同電離層背景下的武漢—道孚短波信道建模，仿真時間與武漢—樂山短波信道相同，橫軸代表多普勒頻移，縱軸代表信號的時延，可以看出傳播模式也均為單層傳播.

根據(jù)式(6)可以計算出接收信號的幅度峰值，不同電離層背景下信號的衰減程度不同，導致接收信號的幅度峰值不同，將接收信號幅度峰值與無衰減情況下的理論接收幅度之比定義為幅度衰減系數(shù)，當固定電離層對短波信號的影響，將幅度衰減系數(shù)設為h1=h2=0.3時，由圖(4)可知，短波信號時差估計的CRLB與信號采樣時間T，信號頻率f，輸入信噪比RSN有關，信號采樣時間越長、信號頻率越大、輸入信噪比越高，短波時差測量的CRLB越低，即所得時差精度的最優(yōu)下界就越高.

將信號采樣時間定為3 s，白天工作頻率為10 MHz，夜間工作頻率為4 MHz，信號帶寬為40 KHz，計算冬季3個月(12月、1月、2月)和夏季3個月(6月、7月、8月)的幅度衰減系數(shù)均值，代入式(25)中進行仿真，由圖(5)可知冬季的短波時差測量CRLB小于夏季，即在冬季所得時差精度的最優(yōu)下界高于夏季，但隨著輸入信噪比的增大，季節(jié)對時差測量CRLB的影響并不明顯.

4 結論

本文以IRI模型和數(shù)值型三維射線追蹤為基礎構建了Vogler短波信道模型，介紹了基于Vogler信道模型提取時延信息的方法并推導了在多普勒擴展不影響信號相關性時的短波時差測量CRLB.仿真了在不同采樣時間、不同電波頻率、不同輸入信噪比、不同季節(jié)條件下的時差測量CRLB，結果表明采樣時間越長，發(fā)射電波頻率越大，輸入信噪比越高，時差測量誤差的標準差越小，所得時差精度越高，冬季的時差測量CRLB小于夏季.當多普勒展寬對短波信號有明顯解相關作用時的時差測量CRLB有待進一步研究.