楊衡,張倩,王群京 ,符夢(mèng)虎 ,劉超輝,宋金星
(1.安徽大學(xué)電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院,安徽合肥 230601;2.安徽大學(xué)高節(jié)能電機(jī)及控制技術(shù)國(guó)家地方聯(lián)合工程實(shí)驗(yàn)室,安徽合肥 230601;3.安徽大學(xué)教育部電能質(zhì)量工程研究中心,安徽合肥 230601)
機(jī)電伺服系統(tǒng)廣泛應(yīng)用于航空系統(tǒng)[1]、數(shù)控機(jī)床[2]、機(jī)器人[3]等領(lǐng)域,其控制性能直接影響裝備的整體指標(biāo)。伺服系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性在某些特定的工作狀態(tài)下幾乎是典型的線性,但是由于受溫漂、磁飽和程度變化以及非線性擾動(dòng)等因素的影響,系統(tǒng)存在參數(shù)不確定性[4],這種不確定性會(huì)使得系統(tǒng)特性跟隨工況的變化而變化。
傳統(tǒng)的伺服轉(zhuǎn)臺(tái)建模通常為傳遞函數(shù)模型[5]、微分方程模型[6]和狀態(tài)空間模型[7]等形式。這種基于線性模型設(shè)計(jì)的控制方法應(yīng)用在含參數(shù)不確定性的實(shí)際系統(tǒng)中時(shí),控制效果會(huì)大打折扣。文獻(xiàn)[8]建立磁懸浮直線伺服系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程,基于線性矩陣不等式理論設(shè)計(jì)了非脆弱H∞控制器抑制電機(jī)參數(shù)變化。文獻(xiàn)[9]對(duì)具有參數(shù)不確定性的電液伺服單閥控缸建立精確的狀態(tài)空間方程模型,并提出了3種不同的單缸控制策略,分別為非線性補(bǔ)償?shù)腜ID控制、前饋控制加PID控制和改進(jìn)自適應(yīng)律的自適應(yīng)魯棒控制。文獻(xiàn)[10]針對(duì)參數(shù)不確定性,通過(guò)一階低通濾波運(yùn)算和引入輔助中間變量,構(gòu)造的參數(shù)自適應(yīng)律中引入了跟蹤誤差項(xiàng)、系統(tǒng)狀態(tài)誤差項(xiàng)和參數(shù)估計(jì)誤差有關(guān)的切換項(xiàng)。上述研究都顯著改善了系統(tǒng)的控制性能,但未在建模中提出系統(tǒng)性的方法應(yīng)對(duì)參數(shù)不確定性。針對(duì)此類問(wèn)題,文中在伺服系統(tǒng)的建模中引入切換系統(tǒng)理論,建立其切換模型。
切換系統(tǒng)是由多個(gè)子系統(tǒng)和一個(gè)整體的切換規(guī)則組成,通常是由一個(gè)狀態(tài)切換到另一個(gè)狀態(tài)[11]。含有參數(shù)不確定性的伺服系統(tǒng),其頻域特性隨轉(zhuǎn)速變化而變化,這一特征符合切換系統(tǒng)。文獻(xiàn)[12]為了提高航空發(fā)動(dòng)機(jī)的調(diào)速性能,提出了一種基于切換模型的事件觸發(fā)切換控制策略,各子系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)采用精確反饋線性化技術(shù)。文獻(xiàn)[13]中針對(duì)直接驅(qū)動(dòng)伺服控制系統(tǒng)存在的外部干擾,建立了系統(tǒng)的誤差切換模型,提出了一種基于干擾觀測(cè)器的魯棒滑模切換控制器,該方法可以有效緩解切換系統(tǒng)的顫振,降低切換增益,但是實(shí)際應(yīng)用時(shí)需要仔細(xì)調(diào)整切換參數(shù)才可以達(dá)到理想效果。為了解決切換系統(tǒng)的抖振問(wèn)題,切換系統(tǒng)的平坦度[14-16]已經(jīng)引起了廣泛研究。文獻(xiàn)[15]給出了輸出平坦度的代數(shù)條件,并根據(jù)這個(gè)條件提出了一種計(jì)算輸出平坦度的算法。
本文作者首先根據(jù)伺服系統(tǒng)的非線性Bode圖,以速度值為切換信號(hào),劃分為低、中、高三個(gè)速度區(qū)域,建立其速度切換模型。其次,考慮控制器可實(shí)現(xiàn)性,將子系統(tǒng)設(shè)計(jì)為三階的狀態(tài)空間方程,并在模擬退火算法中引進(jìn)平坦性算法對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。然后,針對(duì)建立的速度切換模型,設(shè)計(jì)了基于觀測(cè)器的子系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制器,進(jìn)行穩(wěn)定性分析,保證了閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。最后,采用伺服轉(zhuǎn)臺(tái)進(jìn)行仿真與實(shí)驗(yàn),驗(yàn)證了文中所提建模方法和控制策略的有效性。
機(jī)電伺服系統(tǒng)的線性離散切換模型可描述為
x(k+1)=Aσ(k)x(k)+Bσ(k)u(k)
y(k)=Cσ(k)x(k)
(1)
式中:u(k)、y(k)分別為輸入量和輸出量;x(k)為狀態(tài);Aσ(k)、Bσ(k)和Cσ(k)分別為系統(tǒng)的狀態(tài)、輸入和輸出矩陣;k∈N表示離散時(shí)間,σ(k)則表示時(shí)間為k時(shí)由切換信號(hào)切換到的模式。
使用正弦掃頻信號(hào)u=γsin(ω)觀察系統(tǒng)的頻域特性,得到的Bode圖如圖1所示??芍恨D(zhuǎn)速逐漸增大時(shí),Bode圖的曲線諧振峰值逐漸減小,且其轉(zhuǎn)折頻率也逐漸變大。根據(jù)Bode圖所示的頻域特性,將速度區(qū)域劃分為低、中、高3個(gè)區(qū)域,分別對(duì)應(yīng)0~1、1~5、5~10 rad/s。
圖1 不同轉(zhuǎn)速下的Bode圖
伺服系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖如圖2所示,它由驅(qū)動(dòng)器、伺服電機(jī)、傳感器和機(jī)械傳動(dòng)機(jī)構(gòu)組成。
圖2 伺服系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖
根據(jù)上述的系統(tǒng)框架圖,建立子系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程模型,系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)矩陣、輸入矩陣和輸出矩陣如下所示:
(2)
模型參數(shù)如表1所示。
表1 伺服系統(tǒng)參數(shù)
由于系統(tǒng)存在參數(shù)不確定性,故將參數(shù)Bm、BL、Jm、JL和Ts設(shè)定為未知。根據(jù)系統(tǒng)不同轉(zhuǎn)速區(qū)域的離線數(shù)據(jù),將未知參數(shù)當(dāng)作變量進(jìn)行辨識(shí)。
根據(jù)辨識(shí)結(jié)果得到子系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程,將3個(gè)區(qū)域的子系統(tǒng)模型組合,以速度值v作為切換信號(hào),即得到最終模型S。
(3)
由文獻(xiàn)[15]可知,系統(tǒng)的輸入及狀態(tài)可以表達(dá)為輸出y(k)向前或向后移動(dòng)有限r(nóng)步的函數(shù),線性離散切換系統(tǒng)式(1)的輸出就是平坦的。由輸入序列u(k∶k+r)和模式序列σ(k∶k+r)驅(qū)動(dòng)切換系統(tǒng)得到輸出序列為
(4)
(5)
Mσ(k∶k)=Dσ(k)
(6)
(7)
其中
(8)
式中:(Mσ(k∶k+r))?是Mσ(k∶k+r)的穆?tīng)?彭羅斯廣義逆矩陣。如果存在非負(fù)整數(shù)K,使得所有模式序列及所有k≥0的矩陣計(jì)算滿足式(9),則系統(tǒng)輸出是平坦的。
Pσ(k+K-1:k+K-1+r)Pσ(k+K-2:k+K-2+r)…Pσ(k∶k+r)=0
(9)
其中,不同的模式序列可能導(dǎo)致相同的矩陣Pσ(k∶k+r)。為了降低計(jì)算量,采用Q代表不同Pσ(k∶k+r)的集合,Q′σ(k)則表示其中的一個(gè)元素。因此,對(duì)于受約束的切換系統(tǒng)S(Q),可以得到式(10):
Qσ′(k+K-1)Qσ′(k+K-2)…Qσ′(k)=0
(10)
(11)
為了簡(jiǎn)化計(jì)算,提出最終算法[15](如式(11)所示),其算法流程如圖3所示。
圖3 算法流程
在模擬退火算法中,引入算法式(11),其適應(yīng)度函數(shù)如下:
f1=min|Sσ(1∶r)|
(12)
利用得到的具有較高精度的切換模型設(shè)計(jì)基于狀態(tài)觀測(cè)器的反饋控制器。所提控制策略的框圖如圖4所示。
圖4 控制策略設(shè)計(jì)框圖
為了在物理上實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋,將狀態(tài)觀測(cè)器引入反饋中,如圖5所示。
圖5 含狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋
圖6 機(jī)電伺服系統(tǒng)
假設(shè)系統(tǒng)為如下的n維系統(tǒng):
(13)
其中:rankC=q,A∈Rn×n,B∈Rn×p,C∈Rq×n。
步驟1,對(duì)于給定系統(tǒng)矩陣C,選擇任意矩陣R∈R(n-q)×n,得到n×n維的非奇異矩陣P。
(14)
步驟2,對(duì)P進(jìn)行求逆,并分塊化。
Q?P-1=[Q1?Q2]
(15)
其中:Q1為n×q的矩陣;Q2為n×(n-q)的矩陣。
(16)
步驟4,計(jì)算期望特征多項(xiàng)式。
基于分離性原則,計(jì)算狀態(tài)反饋矩陣H。設(shè)計(jì)期望閉環(huán)極點(diǎn)λi(i=1,2,…,n)作為性能指標(biāo)。
(17)
對(duì)比式(17)的同階項(xiàng),即可得到矩陣H。同理地,設(shè)觀測(cè)器的期望特征值為λoi(oi=1,2,…,n-q)
(18)
步驟6,得到降階觀測(cè)器如下:
(19)
(20)
(21)
(22)
定理1[17],對(duì)離散時(shí)間線性時(shí)不變自治系統(tǒng),A的全部特征值λi(A)(i=1,2,…,n)的幅值均小于1,這是xe=0(原平衡點(diǎn)狀態(tài))漸近穩(wěn)定的充分必要條件。
切換系統(tǒng)中的任意切換序列為
Γ={(t1,Aσ(1)),(t2,Aσ(2)},…,(tk,Aσ(k))}
(23)
其中:tk取任意正實(shí)數(shù),表示切換系統(tǒng)的切換時(shí)間間隔;Aσ(k)∈{Aσ(1),Aσ(2),…,Aσ(k)};(tk,Aσ(k))表示在切換系統(tǒng)狀態(tài)矩陣為Aσ(k)的子系統(tǒng)運(yùn)行tk時(shí)間,并在Aσ(k)子系統(tǒng)運(yùn)行結(jié)束后立即切換到系統(tǒng)狀態(tài)矩陣為Aσ(k+1)的子系統(tǒng)。
x(k+1)=(Aσ(k)-Bσ(k)H)x(k)
(24)
由此,將加上狀態(tài)反饋控制的離散切換系統(tǒng)看作在相同的任意序列下形成的離散自治切換系統(tǒng)式(24)。
由文獻(xiàn)[18]可知,離散自治切換系統(tǒng)在任意切換序列下切換漸近穩(wěn)定,即離散切換系統(tǒng)通過(guò)狀態(tài)反饋控制在任意切換序列下切換漸近穩(wěn)定,定理得證。
為驗(yàn)證文中伺服系統(tǒng)的切換模型的準(zhǔn)確性和控制策略的有效性,使用雙軸伺服系統(tǒng)的方位軸進(jìn)行實(shí)驗(yàn),如圖 6所示。伺服系統(tǒng)的控制系統(tǒng)由半實(shí)物仿真平臺(tái)RTU-BOX和上位機(jī)編譯系統(tǒng)組成。該伺服系統(tǒng)整體則由伺服電機(jī)、驅(qū)動(dòng)器、編碼器及系統(tǒng)機(jī)械本體組成,編碼器可實(shí)時(shí)記錄輸出系統(tǒng),頻率為10 kHz。
子系統(tǒng)的未知參數(shù)分別采用模擬退火算法進(jìn)行辨識(shí)[19],得到不同速度區(qū)域的子系統(tǒng)模型如下:
上述子模型根據(jù)式(11)計(jì)算,在60次迭代后結(jié)果為0,這意味著系統(tǒng)切換滿足平坦條件。以正弦信號(hào)作為輸入,辨識(shí)得到的子模型速度跟蹤如圖 7所示。
圖7中低速區(qū)非線性較強(qiáng),且半實(shí)物仿真平臺(tái)無(wú)法精準(zhǔn)檢測(cè)到細(xì)微的轉(zhuǎn)速變化,故圖7(a)跟蹤精度略低。由圖8所示的誤差箱型圖可知:低速區(qū)的誤差值大部分在-0.4%~0.4%內(nèi),誤差平均值約為0.05%。由于伺服系統(tǒng)存在齒隙、死區(qū)等復(fù)雜結(jié)構(gòu),故在換向點(diǎn)即過(guò)零點(diǎn)處,轉(zhuǎn)速無(wú)法精確檢測(cè),此處誤差最大。同理,中速和高速的速度跟蹤曲線中,換向點(diǎn)處的誤差最大,這也是箱型圖中異常點(diǎn)的來(lái)源。
圖7 子系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)模型結(jié)果比對(duì)
圖8 子系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)模型結(jié)果誤差
圖9 不同的模型速度跟蹤效果
中速區(qū)和高速區(qū)除換向點(diǎn)外,速度跟蹤效果理想,誤差值大部分在-0.2%~0.2%內(nèi)。中速區(qū)的誤差平均值為-0.05%,高速區(qū)的誤差平均值為0.03%。上述結(jié)果驗(yàn)證了子系統(tǒng)模型的準(zhǔn)確性和精確性。為驗(yàn)證切換模型的有效性,引入傳統(tǒng)傳遞函數(shù)進(jìn)行對(duì)比[20]。以不同幅值的正弦信號(hào)作為輸入,得到輸出結(jié)果如圖 9所示??芍撼^(guò)零點(diǎn)外,低速區(qū)的幾個(gè)模型速度跟蹤效果良好。隨著轉(zhuǎn)速逐漸增大,傳遞函數(shù)模型無(wú)法實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)跟蹤,在高速區(qū)跟蹤誤差達(dá)到最大。而單獨(dú)的低速區(qū)模型和中速區(qū)模型也在高速區(qū)域的跟蹤效果變差。結(jié)合圖10所示的跟蹤誤差箱型圖分析,4個(gè)模型的跟蹤誤差范圍大部分在-2%~2%內(nèi),切換模型誤差的異常值最小。
圖10 不同的模型速度跟蹤誤差
為驗(yàn)證切換模型控制策略的優(yōu)越性,采取傳統(tǒng)PID控制策略進(jìn)行對(duì)比研究。控制器的仿真及實(shí)驗(yàn)均采用文中建立的切換模型。文中設(shè)計(jì)子系統(tǒng)控制器分別如下:
圖11所示為PID與狀態(tài)反饋控制器方法的仿真結(jié)果對(duì)比。結(jié)合圖11放大部分可知:整體跟蹤效果狀態(tài)反饋控制器的速度更接近輸入信號(hào)值。仿真結(jié)果中,文中提出的基于狀態(tài)反饋的切換控制策略速度跟蹤誤差平均值為-0.003 76 rad/s,低于PID的誤差平均值-0.007 16 rad/s,而其速度跟蹤誤差的方差值也低于PID控制器的0.485 86 rad2/s2。因此仿真實(shí)驗(yàn)中,文中提出的切換控制策略優(yōu)于PID控制器。
圖11 仿真結(jié)果
圖12所示為控制策略的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比。由于過(guò)零點(diǎn)轉(zhuǎn)速變化細(xì)微,半實(shí)物仿真平臺(tái)無(wú)法精確檢測(cè)到,故圖中曲線在過(guò)零點(diǎn)處誤差較大。根據(jù)轉(zhuǎn)速區(qū)域的劃分,在低速區(qū)非線性較強(qiáng),PID控制策略在接近過(guò)零點(diǎn)處的誤差比狀態(tài)反饋控制器大。在中速區(qū)和高速區(qū),PID控制器和狀態(tài)反饋切換控制器的跟蹤效果都優(yōu)于低速區(qū)。根據(jù)表2及圖12可知:狀態(tài)反饋控制器的誤差平均值為0.023 241 rad/s,優(yōu)于PID控制策略。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:基于狀態(tài)反饋控制器的切換控制策略與PID控制器相比,速度跟蹤效果提升了約4%。
表2 仿真及實(shí)驗(yàn)誤差分析
圖12 實(shí)驗(yàn)結(jié)果
文中基于伺服系統(tǒng)的非線性Bode圖,得到其頻域特性會(huì)隨著轉(zhuǎn)速的變化而發(fā)生變化。針對(duì)切換系統(tǒng)的抖振問(wèn)題,在模擬退火算法中引入平坦性算法,對(duì)子系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行辨識(shí),由此建立了伺服系統(tǒng)的切換模型,并在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了狀態(tài)反饋控制器的切換控制策略。仿真及實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:建立的切換模型比傳統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型更加精確?;谇袚Q模型的切換控制器能實(shí)現(xiàn)精確跟蹤,尤其在非線性強(qiáng)的低速區(qū),跟蹤效果優(yōu)于傳統(tǒng)的PID控制器。