基于自助法的弧齒錐齒輪齒面修正

趙巖，李聚波，2，王松林，蘇建新，2，李天興，2，蔣闖，2

(1.河南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，河南洛陽 471003；2.機(jī)械裝備先進(jìn)制造河南省協(xié)同創(chuàng)新中心，河南洛陽 471003)

0 前言

弧齒錐齒輪廣泛應(yīng)用于相交軸的機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)中，其齒面精度直接影響齒輪的性能。所以需要在生產(chǎn)過程中提升其加工精度，從而更好地促進(jìn)機(jī)械性能的提升，實(shí)現(xiàn)生產(chǎn)效率的提高[1]。齒面形狀誤差直接影響接觸路徑從而影響齒輪的嚙合質(zhì)量[2]，所以誤差的修正十分重要。

近年來，國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)齒面修正進(jìn)行了深入研究。LI等[3]通過研究發(fā)現(xiàn)準(zhǔn)雙曲面齒輪齒面偏差的修正和數(shù)據(jù)處理是實(shí)現(xiàn)數(shù)字化閉環(huán)制造的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。李聚波等[4]以分度理論為基礎(chǔ)，分析了大型齒輪成型磨削時(shí)，分度機(jī)構(gòu)的工作原理和分度誤差產(chǎn)生的原因，并通過試驗(yàn)驗(yàn)證了分度誤差理論分析的正確性。楊建軍等[5]以完全共軛大輪為基準(zhǔn)面，提出一種大輪差齒面曲率修正構(gòu)建方法。GE[6]研究了機(jī)床調(diào)整參數(shù)誤差對(duì)雙螺旋法加工的螺旋錐齒輪齒面誤差的影響，通過實(shí)例驗(yàn)證了誤差齒面的修正效果。上述相關(guān)研究已經(jīng)廣泛應(yīng)用于企業(yè)的生產(chǎn)中。

自助法是由EFRON[7]于1979年在HUBBACK、MAHALANOBIS、SIMON 等的思想之上創(chuàng)造的以簡(jiǎn)單再抽樣與自助分布為主導(dǎo)方向的方法。對(duì)于小樣本數(shù)據(jù)的集合，自助法的效果明顯。自助法的應(yīng)用非常廣泛，且已形成一套完整的理論。ANTAL、TILLé[8]對(duì)經(jīng)典自助法方法中沒考慮到的問題進(jìn)一步分析，對(duì)比其他估計(jì)方法與自助法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。時(shí)保吉[9]用自助法對(duì)軸承溫度數(shù)據(jù)進(jìn)行區(qū)間預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果表明溫度預(yù)測(cè)區(qū)間幾乎包含所有實(shí)驗(yàn)值，誤報(bào)率小、精度高。肖支才等[10]借助無先驗(yàn)性的實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)，與目前自助法常用的2種抽樣方式在優(yōu)劣性上進(jìn)行對(duì)比。越來越多的學(xué)者將自助法應(yīng)用于其他領(lǐng)域，但是在齒輪齒面偏差方面的應(yīng)用較少[11-12]。本文作者提出一種基于自助法的齒面偏差修正方法，利用自助法對(duì)小樣本分析來預(yù)測(cè)整體趨勢(shì)，通過分析齒面上單個(gè)點(diǎn)的誤差，進(jìn)而統(tǒng)計(jì)出齒輪齒面上整體誤差趨勢(shì)，為齒面偏差的修正提供基礎(chǔ)。

1 自助法修正原理

在弧齒錐齒輪的設(shè)計(jì)優(yōu)化過程中，一般要進(jìn)行齒面接觸分析(Tooth Contact Analysis，TCA)后確定齒面展成的理論最佳機(jī)床調(diào)整參數(shù)[13]。在齒輪的加工過程中，由于誤差的存在，導(dǎo)致齒輪在使用時(shí)無法達(dá)到預(yù)期效果。在實(shí)際生產(chǎn)過程中，加工齒面和理論設(shè)計(jì)齒面間的誤差會(huì)被修正，確保二者在幾何結(jié)構(gòu)上趨于相同的位置，所以利用自助法齒面偏差預(yù)控修正理論減小齒面誤差非常重要。

自助法修正原理為：選取實(shí)際齒面測(cè)量數(shù)據(jù)點(diǎn)，得到各測(cè)量點(diǎn)的自助樣本均值，采用NURBS方法進(jìn)行曲面擬合構(gòu)建齒面均值差曲面，得到實(shí)際加工齒面。在此基礎(chǔ)上，建立實(shí)際齒面和理論設(shè)計(jì)齒面的關(guān)系，進(jìn)行齒面的數(shù)字化預(yù)控修正補(bǔ)償，得到機(jī)床加工參數(shù)預(yù)控修正量。通過不斷修正機(jī)床調(diào)整參數(shù)，使實(shí)際加工齒面與理論設(shè)計(jì)齒面逐步靠近，當(dāng)齒面偏差達(dá)到最小時(shí)，得到的齒面為最優(yōu)實(shí)際加工齒面。修正的最終結(jié)果就是得到與理論設(shè)計(jì)齒面最優(yōu)逼近的實(shí)際加工齒面。圖1所示為齒面偏差修正映射關(guān)系。

圖1 齒面偏差修正映射關(guān)系

rR(u,v)=rL(φ,θ;Φj)+δnL(φ,θ;Φj)

(1)

rD(u,v)=rL(φ,θ;Φj)-δnL(φ,θ;Φj)

(2)

式中：rL為HL(理論設(shè)計(jì)齒面)上齒面點(diǎn)的徑矢；φ、θ為設(shè)計(jì)變量；δ為均值差曲面所論點(diǎn)的偏差值；nL為HL上齒面點(diǎn)的法矢；u、v(0≤u,v≤1)為曲面重構(gòu)參數(shù)；rR為HR(實(shí)際加工齒面的均值差曲面)上齒面點(diǎn)的徑矢；rD是齒面點(diǎn)沿法矢nL所在方向映射于HD(HR關(guān)于HL的對(duì)稱曲面)上的徑矢。

由式(1)和式(2)得到修正齒面徑矢的表達(dá)式為

rD(u，v)=rR(u，v)-2δnL(φ，θ；Φj)

(3)

通過分析圖1所示的齒面偏差映射關(guān)系，得到齒面偏差表達(dá)式：

δi(φi,θi;Φj)=(HL(φi,θi;Φj)-HR(ui,vi))×

nL(φi,θi;Φj)

(4)

理論機(jī)床加工參數(shù)為Φj(j=1,2,…,m),m表示機(jī)床參數(shù)個(gè)數(shù)。齒面偏差δi(i=0,1,…,45),i表示齒面被測(cè)點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

通過不斷調(diào)整機(jī)床加工參數(shù)的修正值，使理論設(shè)計(jì)齒面向?qū)嶋H加工齒面逐步靠近。在此過程中，齒面偏差不斷減小，當(dāng)齒面偏差充分小時(shí)，得到一組機(jī)床加工參數(shù)修正值。此時(shí)得到的機(jī)床參數(shù)修正值與理論最佳機(jī)床調(diào)整參數(shù)相加就是實(shí)際加工齒面時(shí)所對(duì)應(yīng)的機(jī)床調(diào)整參數(shù)[14]。由于齒面偏差的影響，“修正齒面”無法與實(shí)際加工齒面完全重合，但是能夠保證它在齒面精度要求范圍內(nèi)滿足實(shí)際工程需求。

2 實(shí)際加工齒面重構(gòu)

2.1 NURBS曲面

曲面重構(gòu)的常用方法有Bezier方法、B-spline方法和NURBS方法等。NURBS曲面擬合方法具有C2連續(xù)性及在縮放、旋轉(zhuǎn)、平移等坐標(biāo)系下數(shù)學(xué)表達(dá)式保持不變的優(yōu)點(diǎn)，所以，文中采用NURBS曲面擬合方法來重構(gòu)弧齒錐齒輪的實(shí)際加工齒面。NURBS曲面是基于 NURBS曲線的張量積形式，也是B樣條曲面的擴(kuò)展[15]，其定義為

(5)

式中：n、m分別為u向和v向控制頂點(diǎn)個(gè)數(shù)；Ni，k(u)、Nj，l(v)分別為u、v方向的B樣條基函數(shù)，k和l分別表示u向和v向B樣條基的次數(shù)；Vi，j為曲面控制頂點(diǎn)；Wi，j為權(quán)因子。

2.2 NURBS基函數(shù)

NURBS基函數(shù)的求取是一個(gè)遞推的過程，其基函數(shù)的遞推公式為

(6)

式中：Ni，k(u)中i表示基函數(shù)的序號(hào)，k表示次數(shù)，u為節(jié)點(diǎn)。根據(jù)基函數(shù)遞推公式可以得到各個(gè)基函數(shù)的值。根據(jù)NURBS曲線的數(shù)學(xué)定義，采用3次NURBS曲線擬合能夠滿足實(shí)際工程的需要。

3 應(yīng)用實(shí)驗(yàn)

3.1 齒面偏差檢測(cè)

大、小齒輪在數(shù)控銑齒機(jī)上進(jìn)行批量銑齒后，在克林貝格齒輪測(cè)量?jī)xP65上使用多功能3D掃描測(cè)頭對(duì)20組大、小輪進(jìn)行齒面偏差測(cè)量。以小齒輪為例，其測(cè)量過程和測(cè)量結(jié)果如圖2、3所示。

圖2 小輪齒面偏差測(cè)量過程

圖3 修正前小輪齒面偏差測(cè)量結(jié)果

3.2 自助法齒面偏差修正

傳統(tǒng)方式分析齒輪齒面偏差時(shí)，往往會(huì)使用大量的樣本數(shù)據(jù)，然后通過大量的實(shí)驗(yàn)尋找偏差變化趨勢(shì)；而自助法只需要從整體樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取少量樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。

通過測(cè)量實(shí)際齒面獲得小輪凸面數(shù)據(jù)點(diǎn)，選取小輪凸面上的20組數(shù)據(jù)，每組包含225個(gè)元素點(diǎn)，如表1所示。以表1中數(shù)據(jù)作為型值點(diǎn)，依據(jù)NURBS曲線擬合方法進(jìn)行曲面擬合，得到小輪凸面造型，如圖4所示，然后根據(jù)擬合得到的小輪凸面構(gòu)建均值差曲面，如圖5所示。

表1 小輪凸面樣本數(shù)據(jù)

圖4 小輪凸面擬合曲線

圖5 小輪均值差曲面

對(duì)于采用NURBS齒面重構(gòu)后的小輪凸面，在齒面上隨機(jī)選取點(diǎn)1(第4行第3列)和點(diǎn)2(第11行第8列)進(jìn)行局部放大且放大比例相同。整個(gè)過程中始終保持理論設(shè)計(jì)曲面和實(shí)際均值差曲面的間隔不變。兩者的誤差關(guān)系表明：通過自助法統(tǒng)計(jì)擬合得到的小輪凸面能夠作為實(shí)際加工齒面進(jìn)行分析。

4 試驗(yàn)分析

通過分析圖4所示齒面均值差曲面，得到曲面偏差的變化關(guān)系。根據(jù)均值差曲面描述的齒面偏差修正變化關(guān)系和齒面偏差表達(dá)式(4)進(jìn)行小輪的預(yù)控補(bǔ)償修正，得到小輪的預(yù)控補(bǔ)償修正參數(shù)如表2所示。

表2 機(jī)床加工參數(shù)預(yù)控修正量

根據(jù)機(jī)床補(bǔ)償修正參數(shù)，在數(shù)控銑齒機(jī)上進(jìn)行了小輪的修正銑齒試切，并按照同樣的方法進(jìn)行齒面偏差檢測(cè)。修正后小輪的齒面偏差檢測(cè)結(jié)果如圖6所示。

圖6 修正后小輪齒面偏差測(cè)量結(jié)果

通過對(duì)比圖3、6可以看出：小輪總體齒面偏差經(jīng)過預(yù)控補(bǔ)償后得到了有效降低，偏差值變化如表3所示。

表3 修正前后小輪齒面偏差值對(duì)比 單位：μm Tab.3 Comparison of pinion tooth surface deviation values before and after correction Unit：μm

由表3可知：修正前后齒面偏差值在凸面小端齒根處變化量最大，由修正前的-84.6 μm降到了修正后的-29.1 μm，變化量為55.5 μm。小輪齒面誤差各點(diǎn)平方和從修正前的0.461 1 mm2下降到0.107 6 mm2，降低了76.66%，且齒面偏差變化趨勢(shì)相對(duì)于補(bǔ)償修正前較為平緩，驗(yàn)證了自助法齒面偏差預(yù)控修正理論的有效性。

5 結(jié)論

文中采用自助法對(duì)齒面偏差進(jìn)行優(yōu)化求解，運(yùn)用NURBS曲面擬合方法重構(gòu)實(shí)際加工齒面，并對(duì)修正前后的齒面偏差測(cè)量結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。研究結(jié)果表明：

(1)提出基于自助法的齒面偏差修正方法，得到了齒面預(yù)變形模型，確定了齒面偏差變化關(guān)系，得到機(jī)床加工參數(shù)的預(yù)控修正量，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)齒面偏差的修正，為齒面加工參數(shù)修正提供了理論依據(jù)。

(2)經(jīng)小輪的試驗(yàn)驗(yàn)證可知：利用自助法修正原理對(duì)齒面修正后，齒面偏差得到有效降低。