幅相誤差對(duì)體積陣MVDR 波束形成的影響

黃 燕 ,焦君圣 *,郭世旭 ,趙 鵬

(1.中國(guó)計(jì)量大學(xué) 原位計(jì)量教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,浙江 杭州,310018;2.中國(guó)計(jì)量大學(xué) 計(jì)量測(cè)試工程學(xué)院,浙江 杭州,310018)

0 引言

擴(kuò)展陣的本質(zhì)是一種雙圓環(huán)體積陣[1-2],相比于傳統(tǒng)的垂直接收基陣,體積陣的水平孔徑更大,具有更大的空間增益,從而提高了聲吶的性能[3-4],但是對(duì)波束形成也有更高的要求。

陣列信號(hào)處理技術(shù)[5-7]作為信號(hào)處理的重要分支,被廣泛應(yīng)用在聲吶、雷達(dá)及通信等領(lǐng)域,其相關(guān)研究始于20 世紀(jì)40 年代,1960 年后,自適應(yīng)陣列信號(hào)處理技術(shù)獲得迅速發(fā)展。Capon[8]提出最小方差無(wú)畸變(minimum variance distortionless response,MVDR)波束形成算法,該算法可以自適應(yīng)地使陣列在保證期望方向上信號(hào)輸出功率不變的前提下,使波束輸出功率達(dá)到最小[9-11],并根據(jù)這一原則求出最佳權(quán)向量,再用該權(quán)向量對(duì)陣列輸入信號(hào)進(jìn)行加權(quán)求和,得到陣列輸出。與常規(guī)波束形成相比,MVDR 波束形成在理想陣列模型下抗干擾能力更強(qiáng),陣列增益更高,并且具有更好的角度分辨率,因此被廣泛應(yīng)用于線陣和圓陣等陣列中。但存在陣列誤差時(shí),協(xié)方差矩陣估計(jì)就與實(shí)際不符,從而導(dǎo)致導(dǎo)向矢量失配。而陣列誤差往往由各水聽(tīng)器通道不一致所帶來(lái)的幅相誤差引起,因此研究幅相誤差對(duì)MVDR 波束形成的影響具有重要意義。

在這一方面,Vural[12]研究了存在幅相誤差時(shí),自適應(yīng)波束形成在不同輸入信噪比(signal-to-noise ratio,SNR)下的性能損失,輸入SNR 越大,自適應(yīng)波束形成的性能損失越大;Compton[13]研究了自適應(yīng)波束形成對(duì)誤差的敏感性,認(rèn)為誤差越大,自適應(yīng)波束形成的輸出信干噪比越敏感;Godar[14]推導(dǎo)了存在誤差時(shí)最佳波束形成器的輸出信號(hào)功率和輸出噪聲功率的表達(dá)式,認(rèn)為當(dāng)存在誤差時(shí),輸出噪聲功率和輸出信號(hào)功率均會(huì)增大;Su 等[15]分析了幅相誤差對(duì)MVDR波束形成器空間譜的影響,得出了幅度誤差和相位誤差越大,空間譜的最大值越小的結(jié)論。但上述研究沒(méi)有給出存在幅相誤差時(shí),MVDR 波束形成器輸出SNR 和陣增益等的具體表示式,而且這些研究多是針對(duì)傳統(tǒng)的線陣,少有針對(duì)體積陣對(duì)幅相誤差的敏感性研究。

文中從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度對(duì)存在幅相誤差時(shí)體積陣的協(xié)方差矩陣、MVDR 波束形成器的輸出SNR 以及陣增益進(jìn)行了理論推導(dǎo),并通過(guò)計(jì)算機(jī)進(jìn)行了仿真驗(yàn)證,同時(shí)分別對(duì)存在幅度誤差和相位誤差時(shí)的體積陣MVDR 波束形成器的方位估計(jì)均方根誤差進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)與分析。

1 體積陣建模

圖1為體積陣結(jié)構(gòu)示意圖,其由12 個(gè)臂組成,從整體上來(lái)看,該體積陣是由上下2 層雙圓環(huán)陣所構(gòu)成,參與波束形成的陣元數(shù)量較多,因此能夠獲得較高的空間增益,相比于均勻線陣,體積陣可同時(shí)對(duì)方位角和俯仰角進(jìn)行波達(dá)方向定位(direction of arrival,DOA)估計(jì),具有更好的估計(jì)性能。

圖1 體積陣結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure of volume array

由于該體積陣的上下層陣列形狀一致,因此只對(duì)其中一層進(jìn)行建模。圖2為體積陣在三維坐標(biāo)中的模型,在2 個(gè)半徑不同的圓環(huán)上,各有M、N個(gè)無(wú)指向性的陣元構(gòu)成雙圓環(huán)陣列,其中內(nèi)環(huán)半徑為r1,外圓環(huán)半徑為r2,且每個(gè)圓環(huán)上的陣元均勻分布。以雙圓環(huán)的圓心為原點(diǎn)建立三維坐標(biāo)系,內(nèi)圓環(huán)上的第m個(gè)陣元與原點(diǎn)之間的連線與x軸的夾角為φm=2π(m-1)/M,外圓環(huán)上的第n個(gè)陣元與原點(diǎn)之間的連線與x軸的夾角為φn=2π(n-1)/N,設(shè)波數(shù)為k=2π/λ的窄帶平面波的方向?yàn)?r入射到陣列,信號(hào)的俯仰角 θ0∈[0,π/2]是z軸和信號(hào)入射方向之間的夾角,而方位角 φ0∈[0,2π]是從x軸正方向開(kāi)始的在陣列平面上逆時(shí)針投影到入射信號(hào)方向的角度。則該體積陣方向矢量為

圖2 體積陣模型Fig.2 Volume array model

2 陣元通道幅相誤差影響分析

2.1 相位誤差對(duì)體積陣MVDR 波束形成的影響

在理想條件下,雙圓環(huán)陣的基陣響應(yīng)向量為

式中: θ為信號(hào)源的俯仰角;φ為信號(hào)源的方位角;M和N分別為內(nèi)圓環(huán)和外圓環(huán)的陣元數(shù)。

在不考慮幅度增益的情況下,假設(shè)每個(gè)水聽(tīng)器通道輸出信號(hào)的隨機(jī)相位誤差為γi(i=1,2,···,M+N),它們相互獨(dú)立,均值為零,方差為,其正態(tài)密度函數(shù)為

相位誤差矩陣為

設(shè)γm、γn(m,n=1,2,···,M+N)分別為2 個(gè)不同通道的相位誤差,由 于γm和γn相互獨(dú)立,因此γm與γn的聯(lián)合密度函數(shù)為

由式(11)可將實(shí)際協(xié)方差矩陣可化簡(jiǎn)為

由式(12)可知,當(dāng)存在相位誤差時(shí),目標(biāo)信號(hào)的等效協(xié)方差矩陣和噪聲的等效協(xié)方差矩陣分別為

式中,Rs、Rn分別為理想條件目標(biāo)信號(hào)和噪聲信號(hào)的協(xié)方差矩陣。與理論的協(xié)方差矩陣相比,存在相位誤差時(shí)噪聲的協(xié)方差矩陣增加了1 個(gè)對(duì)角項(xiàng),相當(dāng)于引入了一個(gè)功率為的白噪聲,而目標(biāo)信號(hào)的實(shí)際協(xié)方差矩陣縮小到其理論值的倍。因此存在相位誤差時(shí)的實(shí)際等效輸入SNR為

因此,當(dāng)存在相位誤差時(shí),輸入SNR 會(huì)減小,并且相位誤差越大,輸入SNRS就越小。

利用式(2)與式(12)得到MVDR 的最佳權(quán)向量

當(dāng)MVDR 波束形成器的波束方向指向水下目標(biāo)時(shí),波束輸出中目標(biāo)信號(hào)功率Psa(θ,φ)和噪聲功率Pna(θ,φ)分別是

則此時(shí)圓陣MVDR 的輸出SNR為

由式(21)可知,相位誤差對(duì)MVDR 波束形成器輸出SNR 的影響表現(xiàn)為: 相位誤差越大,輸出SNR 越低。

MVDR 波束形成器的輸出陣增益為

由式(22)可知,隨著相位誤差的增大,陣增益將減小,且SNR 越大,陣增益減小得越明顯。

2.2 幅度誤差對(duì)體積陣MVDR 波束形成的影響

在不考慮相位誤差的情況下,假設(shè)只存在幅度誤差,各水聽(tīng)器通道輸出信號(hào)的隨機(jī)幅度誤差hi(i=1,2,···,M+N)均為正態(tài)隨機(jī)變量,且其數(shù)學(xué)期望E{hi}=0,方差為Var{hi}=,則 幅度誤差hi的概率密度函數(shù)為

幅度誤差的對(duì)角陣為

實(shí)際輸出信號(hào)的協(xié)方差矩陣為

協(xié)方差矩陣中的對(duì)角元素為

由于hm、hn(m,n=1,2,···,M+N,m≠n)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,有

從式(31)可以看出,存在隨機(jī)幅度誤差時(shí)的協(xié)方差矩陣比理論值多了1 個(gè)I,因此目標(biāo)信號(hào)的等效協(xié)方差矩陣和噪聲的等效協(xié)方差矩陣分別為

體積陣的等效輸入SNR 可表示為

此時(shí)體積陣MVDR 波束形成器的輸出SNR為

由式(34)和式(35)可知,水聽(tīng)器通道隨機(jī)幅度誤差對(duì)體積陣MVDR 波束形成輸入SNR、輸出SNR 的影響規(guī)律為: 隨著幅度誤差的增大,實(shí)際輸入SNR 越來(lái)越小,輸出SNR 也減小。

而存在隨機(jī)幅度誤差時(shí)的陣增益為

從式(36)可以看到,幅度誤差的存在也會(huì)使MVDR 波束形成器的陣增益減小,且隨著幅度誤差的增大,陣增益越來(lái)越小,同時(shí),當(dāng)輸入SNR增大時(shí),陣增益減小的程度也更大。

2.3 幅相誤差同時(shí)存在對(duì)體積陣MVDR 波束形成的影響

假設(shè)相位誤差γi和幅度誤差hi同 時(shí)存在,且 分別滿足式(5)和式(23),則此時(shí)幅相誤差的對(duì)角陣為

實(shí)際輸出信號(hào)的協(xié)方差矩陣

根據(jù)式(26)、(27)和式(30)得

將式(11)代入式(39)中,得

此時(shí)目標(biāo)信號(hào)和噪聲的等效協(xié)方差矩陣分別為

體積陣MVDR 波束形成器的輸入SNR、輸出SNR 和陣增益分別為

從式(43)～(45)可以看到,幅度誤差和相位誤差同時(shí)存在時(shí)對(duì)體積陣MVDR 波束形成器的輸入SNR、輸出SNR 和陣增益并無(wú)相互抑制作用,并且二者越大,體積陣MVDR 波束形成器的輸入SNR、輸出SNR 和陣增益均越小。

3 仿真與分析

設(shè)體積陣共有48 個(gè)陣元,分為上下2 層,每1 層有2 個(gè)圓環(huán)陣,且內(nèi)環(huán)和外環(huán)的陣元數(shù)均為12 個(gè),每1 個(gè)圓環(huán)上的陣元均勻分布,內(nèi)環(huán)半徑為0.41 m,外環(huán)半徑為0.65 m。假設(shè)水下目標(biāo)的俯仰角為30°,方位角為20°,仿真過(guò)程中,假設(shè)各陣元的隨機(jī)幅度誤差和隨機(jī)相位誤差均為正態(tài)隨機(jī)變量,且只針對(duì) θ=30°的垂直方向進(jìn)行仿真。

不考慮幅度誤差,圖3為不同相位誤差下體積陣MVDR 波束形成的輸出SNR 以及陣增益的仿真結(jié)果。從圖中可以看出,相位誤差存在時(shí),輸出SNR 和陣增益均呈現(xiàn)減小的趨勢(shì),隨著相位誤差的增大,陣增益減小的幅度逐漸減小,在輸入SNR 較高時(shí),輸出SNR 減小的幅度也逐漸減小。

圖3 輸出SNR 及陣增益隨相位誤差變化曲線Fig.3 Variation of output SNR and array gain with phase error

圖4為存在相位誤差時(shí),不同輸入SNR 下體積陣MVDR 波束形成器的輸出SNR 與陣增益的仿真結(jié)果。圖中,虛線為不存在相位誤差時(shí)的理想輸出SNR,其余為不同相位誤差下輸出SNR 隨輸入SNR 的變化曲線。從圖中可以看出,當(dāng)目標(biāo)信號(hào)的輸入SNR 較低時(shí),相位誤差對(duì)體積陣MVDR 波束形成器輸出SNR 的影響很小,但隨著輸入SNR 的升高,相位誤差對(duì)輸出SNR 的影響越來(lái)越大,而MVDR 波束形成器的陣增益則越來(lái)越小,與理論相符。

圖4 輸出SNR 及陣增益隨輸入SNR 變化曲線Fig.4 Variation of output SNR and array gain with input SNR

假設(shè)目標(biāo)輸入SNR為30 dB,入射角度仍為20°,其他條件不變,在不同相位誤差下對(duì)基陣接收信號(hào)作MVDR 波束形成,并記錄其波束角 θi,經(jīng)多次實(shí)驗(yàn),計(jì)算出方位估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差,其計(jì)算公式為

圖5 方位估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差隨相位誤差變化曲線Fig.5 Variation of azimuth estimated standard deviation with phase error

其他條件不變,假設(shè)不考慮相位誤差,在不同幅度誤差下對(duì)體積陣作MVDR 波束形成,計(jì)算其輸出SNR 以及陣增益。仿真結(jié)果如圖6 所示,可以看到,幅度誤差的存在將會(huì)使MVDR 波束形成器的輸出SNR 及陣增益減小,且隨著幅度誤差的增大,輸出SNR 與陣增益均越小。

圖6 輸出SNR 及陣增益隨幅度誤差的變化曲線Fig.6 Variation of output SNR and array gain with amplitude error

圖7為幅度誤差為0.2 dB 時(shí),輸出SNR 和陣增益雖輸入SNR 的變化曲線,仿真結(jié)果顯示,與存在相位誤差時(shí)的影響相同,在高SNR 下幅度誤差也會(huì)對(duì)MVDR 波束形成器的輸出SNR 與陣增益產(chǎn)生影響,且輸入SNR 越大,存在幅度誤差的輸出SNR 與理想輸出SNR 相比降低得越多,陣增益也同理。

圖7 輸出SNR 與陣增益隨輸入SNR 變化曲線Fig.7 Variation of output SNR and array gain with input SNR

仿真過(guò)程中目標(biāo)信號(hào)的功率為1 dB,圖8 表明,當(dāng)幅度誤差的均值小于1.414 時(shí),MVDR 波束形成器仍舊有較精確的波束指向性,但是當(dāng)幅度誤差逐漸增大,目標(biāo)便淹沒(méi)在噪聲中,MVDR 波束形成器方位估計(jì)失效。

圖8 方位估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差隨幅度誤差變化曲線Fig.8 Variation of azimuth estimated standard deviation with amplitude error

實(shí)際中,幅度誤差和相位誤差同時(shí)存在,假設(shè)輸入SNR為10 dB,其他條件不變,圖9為MVDR波束形成器輸出SNR 和陣增益隨幅相誤差變化的二維曲線。

圖9 輸出SNR 和陣增益隨幅相誤差變化曲線Fig.9 Variation of output SNR and array gain with amplitude-phase error

仿真結(jié)果表明,體積陣MVDR 波束形成器的輸出SNR 隨著幅度誤差和相位誤差的增大均呈下降趨勢(shì),但是當(dāng)存在幅度誤差時(shí),二者隨相位誤差的變化下降幅度會(huì)更小;同樣,當(dāng)存在相位誤差時(shí),隨著幅度誤差的增大,輸出SNR 和陣增益隨幅度誤差下降的幅度也更小。

4 結(jié)束語(yǔ)

受幅度誤差和相位誤差的影響,MVDR 波束形成的方位估計(jì)性能下降,文中在建立存在幅相誤差的體積陣陣列模型的基礎(chǔ)上,對(duì) MVDR 波束形成器的輸入?yún)f(xié)方差矩陣、輸出SNR、陣增益和方位估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析與仿真驗(yàn)證。結(jié)果表明,幅度誤差和相位誤差均會(huì)對(duì)體積陣MVDR波束形成帶來(lái)較大影響,這2 種誤差越大,MVDR波束形成器的輸入SNR、輸出SNR 以及陣增益均越小;輸入SNR 越高,MVDR 波 束形成器輸出的陣列增益越小,并且相比于幅度誤差,相位誤差對(duì)MVDR 波束形成的方位估計(jì)精度影響更大。

越來(lái)越復(fù)雜的水下環(huán)境對(duì)波束形成的精度提出了更高的要求,后續(xù)將考慮校正體積陣的協(xié)方差矩陣,利用陣列相關(guān)矩陣結(jié)構(gòu)的先驗(yàn)知識(shí)來(lái)提高體積陣MVDR 波束形成的穩(wěn)健性。