LN函數(shù)核截面隱式敏感性系數(shù)計(jì)算方法

胡 馗,馬續(xù)波,張 辰,劉 莎,陳義學(xué)

(華北電力大學(xué) 核科學(xué)與工程學(xué)院,北京 102206)

伴隨核能的發(fā)展,新的反應(yīng)堆堆型被不斷提出,這些堆型包括鉛基快堆、熱管堆、空間堆以及混合譜反應(yīng)堆等。新型反應(yīng)堆由于工程實(shí)踐有限及系統(tǒng)自身的反應(yīng)堆物理特點(diǎn),導(dǎo)致反應(yīng)堆物理計(jì)算存在較大不確定度。這些物理特點(diǎn)主要指中子能譜較硬,中子主要集中在中高能區(qū),而在中高能區(qū)的截面測(cè)量誤差相對(duì)較大,由此導(dǎo)致系統(tǒng)的有效增殖因數(shù)的不確定度主要來(lái)自于核截面[1]。研究核截面引起的反應(yīng)堆物理計(jì)算的不確定度方法對(duì)新型反應(yīng)堆的設(shè)計(jì)具有重要意義。

針對(duì)核數(shù)據(jù)引起的反應(yīng)堆物理計(jì)算的不確定度大小,國(guó)內(nèi)外也進(jìn)行了大量研究,也包括基于最新評(píng)價(jià)核數(shù)據(jù)的驗(yàn)證[2],開(kāi)發(fā)了大量的程序,這些程序包括TSUNAMI-1D/3D、SUFR、SCALE-SS、DINOSAUR、MCNP、SURE、UNICORN[3-10]等。敏感性系數(shù)的隱式效應(yīng)與共振自屏截面的處理方法相關(guān),而由于共振自屏計(jì)算往往復(fù)雜,由此也導(dǎo)致敏感性系數(shù)的隱式效應(yīng)也變得比較復(fù)雜。比如針對(duì)壓水堆問(wèn)題,可以采用求解連續(xù)能譜慢化方程或者改變有效共振積分表的方法考慮隱式效應(yīng)[11]。針對(duì)熱堆,由于中子慢化需要經(jīng)過(guò)共振自屏效應(yīng)強(qiáng)烈的中能區(qū),隱式敏感性效應(yīng)比較顯著,在計(jì)算敏感性系數(shù)的時(shí)候,需要考慮隱式效應(yīng)。而對(duì)于快能譜反應(yīng)堆(快堆),雖然從理論上講,隱式效應(yīng)不是很顯著[11],但一直沒(méi)有很好的方法進(jìn)行敏感性系數(shù)的隱式效應(yīng)的計(jì)算。基于本底截面迭代的共振自屏處理方法在很多反應(yīng)堆物理程序中都有廣泛應(yīng)用[12],本文針對(duì)該共振自屏處理方法提出一種新的隱式敏感性系數(shù)計(jì)算方法,該方法只需要根據(jù)本底截面計(jì)算結(jié)果就可以計(jì)算得到隱式敏感性系數(shù)。在此基礎(chǔ)上,采用基準(zhǔn)題對(duì)提出的隱式敏感性系數(shù)計(jì)算方法進(jìn)行驗(yàn)證,對(duì)比MCNP的計(jì)算結(jié)果。

1 隱式敏感性系數(shù)計(jì)算理論

快能譜反應(yīng)堆截面制作方法有多種,其中一種為利用連續(xù)點(diǎn)截面考慮共振自屏制作得到多群截面,然后利用多群截面進(jìn)行組件或棒柵元計(jì)算,考慮幾何效應(yīng)及能譜泄漏影響計(jì)算得到多群中子通量密度和中子通量密度矩,或直接進(jìn)行連續(xù)點(diǎn)截面計(jì)算中子通量密度或通量矩,然后進(jìn)行并群得到少群截面,最后進(jìn)行少群截面的堆芯計(jì)算。堆芯計(jì)算的響應(yīng)量相對(duì)于少群截面的敏感性系數(shù)在之前的相關(guān)文獻(xiàn)中進(jìn)行了詳細(xì)研究[4],但針對(duì)組件計(jì)算的敏感性系數(shù)引入的隱式敏感性則很少,且沒(méi)有多群相對(duì)于連續(xù)點(diǎn)截面的相對(duì)敏感性系數(shù)的計(jì)算理論。本文把響應(yīng)量相對(duì)于連續(xù)點(diǎn)截面的敏感性系數(shù)分為兩個(gè)部分,分別是多群截面相對(duì)于連續(xù)點(diǎn)截面的敏感性系數(shù)Sσg,σ(E)和響應(yīng)量相對(duì)于多群截面的敏感性系數(shù)SR,σg,總的敏感性系數(shù)SR,σ(E)計(jì)算式為:

SR,σ(E)=SR,σgSσg,σ(E)

(1)

其中:σg為每個(gè)能群的平均截面;σ(E)為連續(xù)能量點(diǎn)截面。

由于隱式敏感性系數(shù)計(jì)算與共振自屏截面計(jì)算相關(guān),首先討論多群截面相對(duì)于連續(xù)點(diǎn)截面的相對(duì)敏感性系數(shù)。根據(jù)反應(yīng)率守恒,多群截面的計(jì)算公式為:

(2)

其中:σx,g(T)為溫度為T(mén)的第g能群的反應(yīng)類型為x(x可能是裂變、輻射俘獲、彈性散射等)的平均截面;σx(E,T)為反應(yīng)類型為x的連續(xù)點(diǎn)截面;φ(E)為連續(xù)能量中子能譜。對(duì)于非共振核素,如果對(duì)連續(xù)點(diǎn)截面做擾動(dòng),由于截面并不對(duì)能譜形狀造成影響,因此,擾動(dòng)后的截面和擾動(dòng)前的截面的關(guān)系為:

σ′x(E,T)=(1+δx,g)σx(E,T)

Eg≤E≤Eg-1

(3)

(1+δx,g)σx,g(T)

(4)

其中:δx,g為群截面的擾動(dòng)量,一般為1%[11];ΔEg為g能群的能群寬度。由于溫度在共振自屏處理前已處理完成,為敘述方便,下面的公式推導(dǎo)均在給定溫度下進(jìn)行,不再標(biāo)溫度T。由式(5)可見(jiàn),相當(dāng)于直接對(duì)超細(xì)群截面的每個(gè)能群做擾動(dòng)。如果對(duì)于共振核素,在窄共振近似下,中子能譜可表示為:

(5)

(1+δx,g)σx,g(σ′0)

(6)

其中,δt,g為由于x截面的擾動(dòng)而造成總截面的擾動(dòng)量。截面隨本底截面的變化規(guī)律類似于LN函數(shù)[13],如采用LN函數(shù)對(duì)本底截面進(jìn)行插值,則為:

σx,g(σ1)=Aglnσ0+Bg

(7)

其中,

(8)

由于正擾動(dòng)和負(fù)擾動(dòng)計(jì)算超細(xì)群截面相對(duì)于連續(xù)點(diǎn)截面的隱式敏感性系數(shù)Sσg,σ(E)為:

(9)

(10)

2 計(jì)算流程

利用式(9)、(10)進(jìn)行敏感性系數(shù)和不確定度計(jì)算的流程如圖1所示。由圖1可見(jiàn),多群截面的相對(duì)于連續(xù)點(diǎn)截面的敏感性系數(shù)可根據(jù)本底截面的計(jì)算結(jié)果給出,然后再與擾動(dòng)多群截面得到的敏感性系數(shù)一起,即可計(jì)算得到總的敏感性系數(shù)。在不確定度分析程序SUFR中增加了對(duì)多群截面擾動(dòng)功能,擾動(dòng)后的截面再用MGGC2.0中一致性PN方法或其他堆芯程序計(jì)算系統(tǒng)的有效增殖因數(shù)。另外在截面處理程序中增加了計(jì)算隱式敏感性系數(shù)中Cg參數(shù)的模塊,通過(guò)此模塊計(jì)算多群截面相對(duì)于連續(xù)點(diǎn)截面的敏感性系數(shù)。

圖1 少群截面的敏感性系數(shù)的計(jì)算流程Fig.1 Calculation process of sensitivity coefficient for few-group cross-section

3 計(jì)算結(jié)果

為計(jì)算隱式敏感性,采用一無(wú)限大基準(zhǔn)題模型,基準(zhǔn)題模型中僅包括了對(duì)快能譜反應(yīng)堆不確定度分析具有重要影響的6種核素(表1)。計(jì)算軟件采用了截面處理軟件MGGC2.0[14-15]或堆芯計(jì)算軟件。MGGC2.0程序是一款專門(mén)為快譜或混合譜反應(yīng)堆制作少群截面的軟件,通過(guò)求解超細(xì)群的輸運(yùn)方程計(jì)算中子通量密度和中子通量密度矩,然后進(jìn)行并群得到少群截面。MGGC2.0中采用了求解一致性PN方程加上臨界搜索的方法求解反應(yīng)堆堆芯中子能譜,利用本底截面迭代的方法求解有效自屏截面。

表1 基準(zhǔn)題核子密度Table 1 Atomic density of isotopes in benchmark

3.1 多群截面隱式敏感性系數(shù)

共振自屏效應(yīng)是反應(yīng)物理計(jì)算中的重點(diǎn),NJOY2016在制作多群截面時(shí),采用了隨溫度和本底截面σ0變化的截面。使用時(shí),可采用各種方法求解與幾何和核素相關(guān)的本底截面σ0,然后再去之前的截面本底網(wǎng)格中插值得到問(wèn)題相關(guān)的有效自屏截面。在敏感性分析中,由于某核素截面發(fā)生變化,導(dǎo)致中子能譜發(fā)生變化,進(jìn)而引起敏感性系數(shù)發(fā)生變化稱為隱式敏感性。本文把能譜變化與本底截面σ0聯(lián)系起來(lái),進(jìn)而計(jì)算截面隱式敏感性。具體實(shí)施步驟為:首先利用NJOY2016程序制作了超細(xì)群(2 082能群)的MATXS格式多群截面,多群截面隨溫度和本底截面變化,溫度選取了300、600、900、1 200、1 500、1 800、2 100 K共7個(gè)溫度點(diǎn),本底截面選取1.0×1010、1.0×107、1.0×105、1.0×104、1.0×103、1.0×102、10、1.0、5.0×10-1、1.0×10-1b,共10個(gè)本底截面。MGGC2.0針對(duì)所研究的問(wèn)題進(jìn)行本底截面迭代,計(jì)算式(10)中的Ag和σx,g(T,σ0),然后利用式(9)可計(jì)算得到核素每個(gè)反應(yīng)道的每個(gè)超細(xì)群的敏感性系數(shù)。圖2～5分別給出了239Pu、238U、56Fe和23Na的超細(xì)群有效共振自屏截面和相應(yīng)的每個(gè)反應(yīng)道每個(gè)能群截面的相對(duì)敏感性系數(shù)Sx,g。

圖2 239Pu核素有效共振自屏截面和相對(duì)于連續(xù)點(diǎn)截面的敏感性系數(shù)Sx,gFig.2 Effective self-shielding cross-section of 239 Pu and its sensitivity coefficient respect to continue cross-sections Sx,g

圖3 238U核素有效共振自屏截面和相對(duì)于連續(xù)點(diǎn)截面的敏感性系數(shù)Sx,gFig.3 Effective self-shielding cross-section of 238U and its sensitivity coefficient respect to continue cross-sections Sx,g

圖4 56Fe核素有效共振自屏截面和相對(duì)于連續(xù)點(diǎn)截面的敏感性系數(shù)Sx,gFig.4 Effective self-shielding cross-section of 56Fe and its sensitivity coefficient respect to continue cross-sections Sx,g

圖5 23Na核素有效共振自屏截面和相對(duì)于連續(xù)點(diǎn)截面的敏感性系數(shù)Sx,gFig.5 Effective self-shielding cross-section of 23Na and its sensitivity coefficient respect to continue cross-sections Sx,g

由圖2可見(jiàn),在沒(méi)有共振的能量區(qū)間,每個(gè)能群截面的相對(duì)敏感性系數(shù)等于1.0。在共振峰密集的能群區(qū)間,每個(gè)能群截面的相對(duì)敏感性系數(shù)Sx,g均在1.0附近,能群截面的相對(duì)敏感性系數(shù)均明顯小于1,最大的可到0.7。由于能群截面的相對(duì)敏感性系數(shù)在共振的能區(qū)明顯小于1,這樣將會(huì)使得考慮隱式敏感性系數(shù)后,響應(yīng)量相對(duì)于超細(xì)群的敏感性系數(shù)會(huì)減小。由于每個(gè)核素的共振能區(qū)的位置不一樣,每個(gè)超細(xì)群相對(duì)敏感性變化明顯的能區(qū)也有明顯差別,如239Pu和238U變化較明顯的能區(qū)在10～10 000 eV,但56Fe的變化較明顯的能區(qū)為104～107eV,主要是因?yàn)?6Fe的共振峰集中在這個(gè)能量區(qū)間。但對(duì)于23Na,在共振能區(qū),能群截面的相對(duì)敏感性系數(shù)較56Fe要更接近1.0。由于是超細(xì)群能群結(jié)構(gòu),23Na的共振峰均能很好地被描述,在超細(xì)群的共振峰內(nèi)部,共振自屏效應(yīng)較弱。這也說(shuō)明,共振自屏的強(qiáng)弱跟能群結(jié)構(gòu)也有很大關(guān)系,如果能群寬度越寬,每個(gè)能群中包括的共振峰數(shù)目越多,則該能群的共振自屏效應(yīng)越強(qiáng)。

3.2 考慮隱式效應(yīng)的keff敏感性系數(shù)

前面計(jì)算得到每個(gè)核素每個(gè)反應(yīng)道每個(gè)能群的相對(duì)敏感性系數(shù)可應(yīng)用于任何響應(yīng)量。為驗(yàn)證前面計(jì)算的每個(gè)能群截面的相對(duì)敏感性系數(shù)的正確性,選用有限增殖因數(shù)作為響應(yīng)量,計(jì)算keff相對(duì)于多群以及少群截面的相對(duì)敏感性系數(shù),采用了MCNP連續(xù)點(diǎn)截面計(jì)算的結(jié)果作為基準(zhǔn)。MCNP程序計(jì)算基于ENDF/B-Ⅶ.1,每代粒子數(shù)為100 000個(gè),粒子代數(shù)為400代,舍掉前100代。

不考慮隱式效應(yīng)的keff相對(duì)敏感性系數(shù)計(jì)算方法:利用NJOY程序制作得到多群MATXS格式數(shù)據(jù)庫(kù),采用MGGC2.0通過(guò)本底截面迭代計(jì)算得到各個(gè)核素的不同反應(yīng)道的有效自屏截面,然后利用SUFR程序?qū)γ總€(gè)多群分別進(jìn)行正負(fù)擾動(dòng),然后再利用MGGC2.0或堆芯計(jì)算程序做輸運(yùn)計(jì)算,得到系統(tǒng)的keff相對(duì)于每個(gè)核素每個(gè)細(xì)群的相對(duì)敏感性系數(shù)SR,σg。利用響應(yīng)量相對(duì)于每個(gè)細(xì)群的相對(duì)敏感性系數(shù)SR ,σg以及式(9)計(jì)算得到多群相對(duì)于連續(xù)點(diǎn)截面的相對(duì)敏感性系數(shù)Sσg,σ(E),兩者相乘可得到考慮隱式效應(yīng)的細(xì)群的敏感性系數(shù)。考慮隱式效應(yīng)和不考慮隱式效應(yīng)兩種情況的少群敏感性系數(shù)計(jì)算公式分別為式(11)、(12)。

(11)

(12)

圖6～10分別給出了238U輻射俘獲、239Pu裂變、239Pu輻射俘獲、56Fe輻射俘獲和23Na輻射俘獲反應(yīng)道少群截面keff的相對(duì)敏感性系數(shù)。由圖6～10可見(jiàn),考慮隱式效應(yīng)的細(xì)群的相對(duì)敏感性系數(shù)與不考慮隱式效應(yīng)的細(xì)群的相對(duì)敏感性系數(shù)隨能量的變化趨勢(shì)與MCNP的計(jì)算結(jié)果吻合較好,細(xì)群相對(duì)于連續(xù)點(diǎn)截面的相對(duì)敏感性系數(shù)Sσg,σ(E)對(duì)細(xì)群相對(duì)于keff的相對(duì)敏感性系數(shù)起到了修正的作用。這種修正作用對(duì)于不同核素,作用的能群位置和大小也會(huì)有所變化。為更清楚表示隱式效應(yīng)的修正作用,表2給出了少群截面相對(duì)于keff的總敏感性系數(shù)對(duì)比。由表2可見(jiàn),除239Pu裂變反應(yīng)道,考慮隱式敏感性系數(shù)后的結(jié)果與MCNP吻合更好,少群截面相對(duì)于keff的總敏感性系數(shù)均有明顯改進(jìn)。對(duì)于239Pu裂變反應(yīng)道,由圖7可見(jiàn),不考慮隱式效應(yīng)的敏感性系數(shù)本身均較MCNP計(jì)算結(jié)果偏低,而隱式效應(yīng)的修正進(jìn)一步使原來(lái)的敏感性系數(shù)更低,所以相比于MCNP的結(jié)果偏離方向與其他計(jì)算結(jié)果稍有不同,該偏離方向可能跟不同反應(yīng)道的共振自屏效應(yīng)不同,而B(niǎo)ondarenko本底截面方法中只對(duì)總截面迭代,由此可能造成不精確,有待進(jìn)一步研究分析。

表2 少群截面相對(duì)于keff的總的敏感性系數(shù)對(duì)比Table 2 Comparison of total sensitivity coefficients respect to keff for different isotopes

圖6 238U輻射俘獲反應(yīng)道少群keff的相對(duì)敏感性系數(shù)Fig.6 Relative sensitivity coefficients of keff of 238U capture

圖7 239Pu裂變反應(yīng)道少群keff的相對(duì)敏感性系數(shù)Fig.7 Relative sensitivity coefficients of keff of 239Pu fission

圖8 239Pu輻射俘獲反應(yīng)道少群keff的相對(duì)敏感性系數(shù)Fig.8 Relative sensitivity coefficients of keff of 239Pu capture

圖9 56Fe輻射俘獲反應(yīng)道少群keff的相對(duì)敏感性系數(shù)Fig.9 Relative sensitivity coefficients of keff of 56Fe capture

圖10 23Na輻射俘獲反應(yīng)道少群keff的相對(duì)敏感性系數(shù)Fig.10 Relative sensitivity coefficients of keff of 23Na capture

3.3 不確定度計(jì)算

利用少群的敏感性系數(shù)計(jì)算上述反應(yīng)道的keff的不確定度大小,對(duì)比考慮隱式敏感性與不考慮隱式敏感性的差別。不確定度的計(jì)算方法:將并群得到的考慮隱式敏感性和不考慮隱式敏感性的相對(duì)敏感性系數(shù),利用式(13)計(jì)算得到keff響應(yīng)量的不確定度,比較結(jié)果以MCNP為基準(zhǔn)。本模擬中采用了每代10 000個(gè)例子,活躍帶為300代,非活躍帶為100代,keff=1.465 08,統(tǒng)計(jì)誤差為0.000 23。

(13)

表3 不同反應(yīng)道相對(duì)于keff的不確定度Table 3 Comparison of total uncertainty of keff for different isotopes

4 結(jié)論

為更精確計(jì)算核截面數(shù)據(jù)引起的反應(yīng)堆物理計(jì)算結(jié)果的不確定度,提出了一種新的隱式敏感性系數(shù)計(jì)算方法。利用該方法可計(jì)算多群截面相對(duì)于連續(xù)點(diǎn)截面的敏感性系數(shù),進(jìn)而考慮截面的隱式效應(yīng)。并通過(guò)基準(zhǔn)題對(duì)本文提出的隱式效應(yīng)敏感性系數(shù)計(jì)算方法進(jìn)行驗(yàn)證,采用MCNP計(jì)算結(jié)果作為基準(zhǔn)解,分析響應(yīng)量keff的計(jì)算結(jié)果,238U輻射俘獲、239Pu輻射俘獲、56Fe輻射俘獲和23Na輻射俘獲反應(yīng)道的結(jié)果顯示:考慮隱式效應(yīng)的多群的相對(duì)敏感性系數(shù)與不考慮隱式效應(yīng)的細(xì)群的相對(duì)敏感性系數(shù)隨能量的變化趨勢(shì)跟MCNP的計(jì)算結(jié)果基本一致,可顯著改善相對(duì)敏感性系數(shù)的計(jì)算精度。采用多群截面計(jì)算,在共振自屏效應(yīng)強(qiáng)烈的能群,隱式效應(yīng)修正最大可達(dá)50%。針對(duì)少能群截面,考慮隱式效應(yīng)與不考慮隱式效應(yīng)計(jì)算得到的keff總相對(duì)敏感性系數(shù)和不確定度均有明顯提升。以上計(jì)算結(jié)果說(shuō)明了本文提出的隱式敏感性系數(shù)計(jì)算方法的可行性。

針對(duì)239Pu裂變反應(yīng),改進(jìn)不明顯可能跟Bondarenko本底截面迭代處理共振自屏方法本身有關(guān)。在Bondarenko方法中,為考慮共振自屏對(duì)中子能譜的影響,需根據(jù)實(shí)際核素成分和幾何計(jì)算出本底截面,然后再去總截面網(wǎng)格中插值進(jìn)行本底截面迭代,一直到總截面收斂。該方法的明顯缺點(diǎn)是,不同反應(yīng)道的共振自屏可能不一樣,傳統(tǒng)的Bondarenko本底截面只對(duì)總截面做迭代,而不對(duì)其他反應(yīng)道處理,這樣就有可能導(dǎo)致利用總截面迭代出來(lái)的共振自屏因子對(duì)應(yīng)用于其他反應(yīng)道時(shí),可能會(huì)造成一定偏差。但通過(guò)總截面的本底截面迭代雖不能對(duì)所有核素所有反應(yīng)道均能較好考慮共振自屏,但對(duì)大多數(shù)核素的主要反應(yīng)道,計(jì)算結(jié)果有所改善。若要精確計(jì)算,將來(lái)需進(jìn)行連續(xù)點(diǎn)截面才能更好考慮共振自屏效應(yīng)和靈敏度系數(shù)的隱式效應(yīng)。