最小范數(shù)約束的改進(jìn)MVDR波束形成算法

李 濤,孫心毅,成建波

(中國(guó)人民解放軍92728部隊(duì),上海 200436)

0 引言

自適應(yīng)波束形成已廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、聲吶、無線通信、語音信號(hào)處理等領(lǐng)域[1-3]。常規(guī)波束形成性能受各種誤差的影響小,具有較好的穩(wěn)健性,但是其角度分辨力無法突破“瑞利限”?；跇颖揪仃嚽竽娴淖赃m應(yīng)波束形成算法可以獲得高分辨波束形成,在期望信源方位形成波束增益,并在干擾方位形成零陷,其中最小方差無畸變響應(yīng)(MVDR)波束形成算法即采用典型的采樣矩陣求逆算法。該算法使陣列在期望方向上的信干噪比最大,而使輸出功率最小,在理想條件下具有優(yōu)越的性能[3-5]。但該算法在陣列流形誤差、噪聲功率等非理想因素均會(huì)導(dǎo)致MVDR自適應(yīng)波束形成器性能下降,難以有效均衡和同時(shí)優(yōu)化干擾和噪聲抑制。為提高自適應(yīng)波束形成器的穩(wěn)健性,近年來各種新的算法相繼提出,包括對(duì)角加載[6-7]、特征子空間投影[8-9]以及子陣預(yù)處理[10]、方差矩陣重構(gòu)[11]等算法。對(duì)角加載的加載量恒定,不能適應(yīng)環(huán)境的變化,且以犧牲干擾抑制性能為代價(jià);子空間類方法由于需要進(jìn)行噪聲和信號(hào)子空間的判別,對(duì)先驗(yàn)知識(shí)的依賴性較強(qiáng),對(duì)信噪比要求較高,且在陣列流形誤差小時(shí)退化為MVDR算法;子陣預(yù)處理通過預(yù)處理可提高信信噪比,但會(huì)提高子陣噪聲輸出的相關(guān)性;方差矩陣重構(gòu)對(duì)目標(biāo)和干擾方向的先驗(yàn)信息要求較高。本文從獲取線性約束最小范數(shù)解的角度,討論MVDR波束形成算法的改進(jìn)方法。

1 信號(hào)模型及MVDR算法

考慮一個(gè)由N個(gè)全向陣元組成的均勻線性陣列,陣列間距為d。假設(shè)M個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)(M

x(t)=[x1(t)x2(t) …xN(t)]T=A(θ)s(t)+n(t),

(1)

式中:A(θ)=[a(θd)a(θ1) …a(θM-1)]為N×M維陣列流形矩陣,a(θd)和a(θi)為對(duì)應(yīng)的方向向量,且有

(2)

λ為信號(hào)波長(zhǎng),s(t)與n(t)分別為信號(hào)矢量和噪聲矢量。

最小方差無失真響應(yīng)(MVDR)波束形成算法通過在各陣元間附加一個(gè)權(quán)系數(shù),使陣列在期望信號(hào)方向上的信干噪比(SINR)最大,而使輸出功率最小,其原理簡(jiǎn)單,在干擾位置處能夠形成零陷。MVDR權(quán)重優(yōu)化問題可以表示為

(3)

式中:R=E[x(t)xH(t)]。使用拉格朗日乘數(shù)法可以得到式(3)的最優(yōu)解為

(4)

為獲得自相關(guān)陣R的估計(jì),基于窄帶信號(hào)的特點(diǎn),R可通過時(shí)間相關(guān)過程估計(jì),即

(5)

式中:L為樣本總量。

為提高M(jìn)VDR波束形成器在小樣本下的穩(wěn)健性,對(duì)角加載算法是在式(3)條件上增加權(quán)重向量長(zhǎng)度的優(yōu)化項(xiàng),即

(6)

式中,λ為加載因子。式(7)的最優(yōu)解為

(7)

考慮到信號(hào)互不相關(guān),信號(hào)與噪聲互不相關(guān),則式x(t)的自相關(guān)陣為

(8)

(9)

(10)

2 基于最小范數(shù)解的改進(jìn)MVDR算法

為實(shí)現(xiàn)在干擾位置處能夠形成零陷,關(guān)鍵是獲得線性約束方程

wHa(θd)=1 s.t.wHa(θi)=0 (i=1,2,…,M-1),

(11)

為獲得最優(yōu)w,將式(8)自相關(guān)陣R表示為

(12)

且

(13)

(14)

(15)

式中:UB=[u1u2…uM]。由式(15)獲得了B的特征分解,進(jìn)一步,可令A(yù)′的奇異值分解為

(16)

為構(gòu)建A′的雙正交基,令

(17)

顯然有CHA′=I,即C與A′互為雙正交基,且有

(18)

易知

A′HCCHA′=A′HDA′=I,

(19)

即

則有

xH(t)Da(θd)(aH(θd)Da(θd))-1=s1(t)+
n(t)Da(θd)(aH(θd)Da(θd))-1,

(20)

式(20)的過程實(shí)現(xiàn)了期望信號(hào)、干擾信號(hào)的分離,滿足式(11)的條件,且由于

span(D)=span(UB)=span(A′)=span(A(θ)),

易知,取

(21)

時(shí),w∈span[A(θ)],可取得最小范數(shù)意義上的最優(yōu)解。

式(21)只是獲得了信號(hào)分離意義上的最優(yōu)解,為適用于波束形成,也就是抑制陣列接收信號(hào)不含期望信號(hào),即a(θd)?A(θ)時(shí)波束形成輸出,可將式(21)表示為

(22)

其中

式(22)中,易知a(θd)∈A(θ)時(shí),分母第二項(xiàng)等于0,與式(19)的結(jié)果一致;當(dāng)a(θd)?A(θ)時(shí),由于分母第二項(xiàng)迅速增大,從而抑制輸出,與式(4)的原理一致。

(23)

由于式(11)的條件和最小范數(shù)約束,式(22)實(shí)現(xiàn)了干擾信號(hào)的最優(yōu)約束和以此為前提的噪聲最佳抑制,由于其干擾抑制的最優(yōu)性,使得其非常利于后續(xù)在時(shí)間維的濾波處理,因?yàn)榇藭r(shí)時(shí)間維濾波處理的唯一優(yōu)化目標(biāo)是噪聲抑制,這是容易實(shí)現(xiàn)的,例如窄帶或者匹配濾波等,這一點(diǎn)將在仿真實(shí)驗(yàn)分析中繼續(xù)說明。

3 仿真實(shí)驗(yàn)及分析

仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證算法2個(gè)方面的性能,實(shí)驗(yàn)1驗(yàn)證不同信噪比下的算法性能,實(shí)驗(yàn)2驗(yàn)證不同信噪比情形下,經(jīng)過波束形成后的信噪比提高性能。

實(shí)驗(yàn)1 設(shè)陣元個(gè)數(shù)為5,陣元間距為半波長(zhǎng),信號(hào)采樣率為400 MHz,信號(hào)載頻為55 MHz,方位為0.1π,方位誤差為0.03π。2個(gè)不等功率窄帶信號(hào)分別從0.2π,0.3π方向入射到陣列。圖1(a)、圖1(b)分別給出了信噪比為-3 dB和-31 dB時(shí)的波束形成結(jié)果。

圖1 不同信噪比下的波束形成結(jié)果Fig.1 Beamforming results at different SNR

由圖1的結(jié)果可以看出,采用式(22)本文算法的結(jié)果能夠在干擾位置處形成零陷,較之于MVDR,LSMI和特征子空間投影(EIG)算法有更好的干擾抑制性能,這得益于其最小范數(shù)最優(yōu)解的結(jié)果,但同時(shí),由于式(22)是在取得最優(yōu)干擾抑制的前提下再優(yōu)化噪聲抑制性能的,因此其噪聲抑制效果會(huì)降低,這體現(xiàn)在曲線在整體上較之其他三類算法更高。但由于在抑制干擾的前提下再?gòu)臅r(shí)間維進(jìn)行噪聲抑制會(huì)更容易,因此最終會(huì)提高整體性能,這一點(diǎn)將在實(shí)驗(yàn)2中進(jìn)一步試驗(yàn)說明。

實(shí)驗(yàn)2 在實(shí)驗(yàn)1的條件下,對(duì)波束合成輸出進(jìn)行時(shí)間維窄帶濾波,由10 000次蒙特卡羅仿真統(tǒng)計(jì)期望信號(hào)信噪比。圖2給出了不同陣元信噪比SNR0條件下的期望信號(hào)信噪比。

圖2 不同陣元信噪比條件下期望信號(hào)信噪比Fig.2 The desired SNR at different element SNR

如圖2所示,在不同陣元信噪比條件下,顯示出本文算法較之MVDR,LSMI和特征子空間投影(EIG)算法具有更優(yōu)良的噪聲抑制性能,尤其是在陣元信噪比SNR0較低時(shí),這同樣得益于其最小范數(shù)最優(yōu)解的結(jié)果。

4 結(jié)論

針對(duì)MVDR算法難以有效均衡和同時(shí)優(yōu)化干擾和噪聲抑制的問題,提出一種基于最小范數(shù)解的改進(jìn)MVDR波束形成算法。通過對(duì)陣列接收信號(hào)的自相關(guān)陣進(jìn)行特征分解,取大特征值減去噪聲功率及大特征值對(duì)應(yīng)特征向量,構(gòu)建線性約束方程的最小范數(shù)解,代替MVDR算法中的自相關(guān)陣的逆的形式形成加權(quán)系數(shù),其中噪聲功率由小特征值的平均值估計(jì),獲得的權(quán)系數(shù)對(duì)應(yīng)于線性約束條件下的最小范數(shù)解。仿真分析表明,該算法能夠有效地在干擾位置處形成零陷,且利于后續(xù)在時(shí)間維的噪聲濾波處理,較之于MVDR等算法有更好的干擾和噪聲抑制性能。