電場(chǎng)力做功與路徑無(wú)關(guān)的條件

王良翼

(成都市樹(shù)德中學(xué) 四川 成都 610031)

柯丁榮

(四川省雅安中學(xué) 四川 雅安 625000)

顧 鑫

(西華師范大學(xué)物理與天文學(xué)院 四川 南充 637000)

王 娣

(煙臺(tái)開(kāi)發(fā)區(qū)高級(jí)中學(xué) 山東 煙臺(tái) 264000)

向國(guó)興 廖友兵

(成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué) 四川 成都 610023)

在靜電場(chǎng)中,電場(chǎng)力做功與路徑無(wú)關(guān),只決定于初末位置[1]．此處電場(chǎng)力做功與路徑無(wú)關(guān)的條件需要注意以下兩點(diǎn):第一,如果靜電場(chǎng)是有界靜電場(chǎng),帶電粒子從邊界某點(diǎn)運(yùn)動(dòng)出靜電場(chǎng),然后從邊界另一點(diǎn)再進(jìn)入靜電場(chǎng),電場(chǎng)力做功可能與路徑有關(guān);第二,靜止電荷周?chē)a(chǎn)生的電場(chǎng)稱(chēng)為靜電場(chǎng)[1]．靜電場(chǎng)中,任何一個(gè)點(diǎn)的電場(chǎng)不隨時(shí)間變化,如果帶電粒子在交變電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),雖然某一時(shí)段為靜電場(chǎng),但是整個(gè)過(guò)程電場(chǎng)力做功可能與路徑有關(guān)．在教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生知道電場(chǎng)力做功與路徑無(wú)關(guān),但是忽略做功與路徑無(wú)關(guān)的條件,從而對(duì)帶電粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜情境理解出現(xiàn)偏差．

1 題目及解析

【例題】如圖1所示,在豎直面內(nèi)的光滑半圓弧絕緣軌道與光滑水平絕緣軌道相切于B點(diǎn),圓弧軌道左邊有場(chǎng)強(qiáng)大小E=2×104N/C、方向與水平軌道成θ=37°斜向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)．一個(gè)帶電荷量q=+1×10-4C的小物塊以初速度v0=16 m/s從A點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng),AB間距L=10 m．物塊在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中電荷量不變,圓弧半徑R=4 m,物塊質(zhì)量m=0.2 kg,重力加速度g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=

圖1 有界電場(chǎng)分布示意圖

0.8,求:

(1)帶電物塊通過(guò)C點(diǎn)時(shí)的速度大小;

(2)帶電物塊從C點(diǎn)拋出后在豎直方向和水平方向的加速度大小和方向;

(3)帶電物塊從C點(diǎn)拋出后落在水平地面時(shí)距A點(diǎn)的距離．

解析：(1)由題意從A到C對(duì)小物塊由動(dòng)能定理得

(1)

解得帶電物塊通過(guò)C點(diǎn)時(shí)速度大小為

v=16 m/s

(2)對(duì)小物塊從C點(diǎn)拋出后受力分析可得

豎直方向有

mg-qEsin 37°=ma1

(2)

水平方向有

qEcos 37°=ma2

(3)

解得a1=4 m/s2,方向豎直向下,a2=8 m/s2,方向水平向右．

(3)帶電物塊從C點(diǎn)拋出后,設(shè)經(jīng)過(guò)t時(shí)間落地,則豎直方向滿(mǎn)足

(4)

水平方向滿(mǎn)足

(5)

解得t=2 s,x=16 m．

如圖2所示,落在水平地面的D點(diǎn)距A點(diǎn)的距離為

圖2 帶電物塊運(yùn)動(dòng)示意圖

Δx=x-L=6 m

(6)

2 帶電粒子出進(jìn)有界電場(chǎng) 電場(chǎng)力做功與路徑有關(guān)

教學(xué)過(guò)程中,學(xué)生認(rèn)為,電場(chǎng)力做功與路徑無(wú)關(guān),只取決于初末位置．如圖3所示,由例題的第(3)小問(wèn)可知,小物塊落地點(diǎn)為D點(diǎn),D點(diǎn)的速度為8 m/s,設(shè)AD的距離為Δx,從A點(diǎn)到D點(diǎn)的過(guò)程中,只有電場(chǎng)力做功,所以對(duì)小物塊應(yīng)用動(dòng)能定理得

圖3 電場(chǎng)力做功與路徑的關(guān)系

(7)

解得Δx=12 m,與原文正解矛盾．

學(xué)生的錯(cuò)誤理解在于對(duì)電場(chǎng)力做功與路徑無(wú)關(guān)的條件把握不清．電場(chǎng)力做功與路徑無(wú)關(guān)的條件是帶電體一直需要在靜電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),如果帶電體運(yùn)動(dòng)出靜電場(chǎng)的區(qū)域再返回靜電場(chǎng)區(qū)域,電場(chǎng)力做功與路徑無(wú)關(guān)的條件則可能不成立．本題就是帶電物塊從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)出電場(chǎng),然后再?gòu)腃點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng),在電場(chǎng)中從點(diǎn)A到點(diǎn)B任選一條路徑電場(chǎng)力做功與路徑無(wú)關(guān),在電場(chǎng)中從點(diǎn)C到點(diǎn)D任選一條路徑電場(chǎng)力做功與路徑也無(wú)關(guān),但是不能認(rèn)為帶電粒子從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)全過(guò)程中電場(chǎng)力做功與路徑無(wú)關(guān)．帶電物塊從點(diǎn)A到點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,電場(chǎng)力做功應(yīng)該計(jì)算各段電場(chǎng)力做功之和．由圖3可知,小物塊從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)電場(chǎng)力做功

WAB=EqLcosθ

(8)

小物體從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)電場(chǎng)力不做功

WBC=0

(9)

小物體從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)電場(chǎng)力做功

WCD=-Eq·2Rsinθ-

EqLcosθ-EqΔxcosθ

(10)

所以小物塊從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)整個(gè)過(guò)程中電場(chǎng)力做功為

WAD=WAB+WBC+WCD=

-Eq·2Rsinθ-EqΔxcosθ

(11)

從A點(diǎn)到D點(diǎn)的過(guò)程中,對(duì)小物體應(yīng)用動(dòng)能定理得

-Eq·2Rsinθ-EqΔxcosθ=

(12)

解得Δx=6 m,與原文正解相符合．

3 分時(shí)段靜電場(chǎng) 電場(chǎng)力做功與路徑有關(guān)

如圖4所示,勻強(qiáng)電場(chǎng)的大小為E,方向水平向右,在A1點(diǎn)靜止釋放一帶正電粒子,僅在電場(chǎng)力作用下,粒子運(yùn)動(dòng)到A2時(shí),勻強(qiáng)電場(chǎng)大小不變,方向改變?yōu)樗较蜃?A1A2的距離為x,求粒子再次回到A1時(shí)的速度大小?

圖4 分時(shí)段靜電場(chǎng)示意圖

教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn),很多學(xué)生認(rèn)為粒子在電場(chǎng)中的位置沒(méi)有變化,所以電場(chǎng)力沒(méi)有做功,從而粒子回到A1點(diǎn)時(shí),由動(dòng)能定理,粒子的速度為零．靜電場(chǎng)中,電場(chǎng)力做功與路徑無(wú)關(guān),這里的靜電場(chǎng)只能是電場(chǎng)不隨時(shí)間變化,而本題中的靜電場(chǎng)方向突變之后,電場(chǎng)力做功與路徑有關(guān)．由運(yùn)動(dòng)分析,對(duì)帶電粒子應(yīng)用動(dòng)能定理得

(13)

解得

(14)

4 帶電粒子出進(jìn)有界分時(shí)段靜電場(chǎng) 電場(chǎng)力做功與路徑有關(guān)

如圖5所示,是回旋加速器的示意圖.

圖5 回旋加速器加速示意圖

在回旋加速器中,粒子在A1處,電場(chǎng)的方向豎直向下,粒子運(yùn)動(dòng)到A2處,電場(chǎng)的方向也是豎直向下,如果認(rèn)為電場(chǎng)力做功與路徑無(wú)關(guān),選擇如5圖所示水平向左的路徑,從A1到A2電場(chǎng)力沒(méi)有做功,所以A1點(diǎn)的速度和A2點(diǎn)的速度一樣,從而回旋加速器不能達(dá)到加速的目的．這種理解是錯(cuò)誤的,第一,回旋加速度器中的靜電場(chǎng)為交變電場(chǎng);第二,帶電粒子運(yùn)動(dòng)出電場(chǎng),然后在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),再進(jìn)入電場(chǎng),所以回旋加速度器中粒子運(yùn)動(dòng)全程做功與路徑有關(guān)．設(shè)半圓形金屬盒的距離為d,則由動(dòng)能定理得

(15)

從而在回旋加速器中,粒子的速度越來(lái)越大．

5 總結(jié)與反思

電場(chǎng)力做功與路徑無(wú)關(guān)的條件是帶電粒子在靜電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),如果帶電粒子運(yùn)動(dòng)出靜電場(chǎng)的邊界,然后從非等勢(shì)點(diǎn)進(jìn)入靜電場(chǎng),電場(chǎng)力做功與路徑有關(guān)．同時(shí)靜電場(chǎng)特指全過(guò)程中電場(chǎng)不是時(shí)間的函數(shù),不然帶電粒子在變化的電場(chǎng)中,電場(chǎng)力做功也與路徑有關(guān)．