基于3D打印與軌跡追蹤探究最速降線問(wèn)題*

邱智宇 肖桂娜

(上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院 上海 200234)

1 引言

伽利略于1630年提出疑問(wèn):給定兩點(diǎn)A、B,且B與A的連線與水平面不垂直．若不計(jì)摩擦力,物體在重力作用下沿著怎樣的曲線從點(diǎn)A滑到到點(diǎn)B,下滑的時(shí)間最短?[1]從直線到圓弧,再到最終旋輪線(最速降線)的確立[2-3],離不開(kāi)偉大的物理學(xué)家建立在頭腦中的實(shí)驗(yàn)室與計(jì)算系統(tǒng)．

隨著現(xiàn)代信息技術(shù)的快速發(fā)展,依據(jù)最速降線的參數(shù)方程,本文利用SolidWorks軟件建立3D模型,3D打印技術(shù)完成實(shí)體零件制作,拼裝后探究物體在斜面上與最速降線上下落的運(yùn)動(dòng)情況,利用Tracker進(jìn)行數(shù)據(jù)處理．應(yīng)用現(xiàn)代信息技術(shù)研究物理運(yùn)動(dòng)觀念,不僅能夠高效、可視化地獲得速度、位移隨時(shí)間變化的關(guān)系,及時(shí)更新教學(xué)模式與理念,還可有效吸引學(xué)生興趣,提高課堂教學(xué)效果．

2 實(shí)驗(yàn)原理

最速降線的確立一波三折,問(wèn)題提出后吸引了很多著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家的關(guān)注:牛頓、萊布尼茨、約翰伯努利和雅克比伯努利都研究過(guò)此問(wèn)題,最終給出了正確的結(jié)果[2]．不同于伯努利應(yīng)用費(fèi)馬原理類(lèi)比獲得結(jié)果,本文通過(guò)歐拉-拉格朗日方程推導(dǎo)最速降線的參數(shù)方程[4]．

如圖1所示,A和B是平面上不在同一鉛直線上的兩點(diǎn),在所有連接A和B的平面曲線中,存在一條曲線僅受重力作用,且質(zhì)點(diǎn)從A點(diǎn)靜止釋放運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)沿這條曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)所需時(shí)間最短．以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系,同時(shí)A也是半徑為R的圓沿著x軸旋轉(zhuǎn)的一個(gè)關(guān)注點(diǎn),θ表示在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中A點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的角度．

圖1 最速降線原理圖

不計(jì)摩擦阻力,質(zhì)量為m的小球僅受到重力作用,所以機(jī)械能守恒

(1)

可以獲得小球在曲線上運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度為

(2)

取Q上的極小一段距離ds,小球通過(guò)該段距離需要時(shí)間dt為

(3)

其中根據(jù)幾何關(guān)系,可得

(4)

所以小球運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間可以由積分得到

(5)

令

需要找到一個(gè)函數(shù)f(x)使得式(5)中的結(jié)果最?。ㄟ^(guò)歐拉-拉格朗日第二方程

(6)

由于F(y,y′)與x無(wú)關(guān),所以

原方程可簡(jiǎn)化為

(7)

括號(hào)內(nèi)的函數(shù)關(guān)系式為常數(shù)C,得

(8)

代入F(y,y′)后獲得微分方程,利用分離變量法可以獲得小球運(yùn)動(dòng)的參數(shù)方程

(9)

該結(jié)果被多人論證過(guò)充分性和必要性[5]．

此外,還可以獲得小球沿最速降線下落的運(yùn)動(dòng)時(shí)間

(10)

上式中π、R、g都是常量,不隨著釋放高度的變化而變化,物體下落的時(shí)間與初始位置無(wú)關(guān),最速降線也被稱(chēng)為等時(shí)降線．

3 實(shí)驗(yàn)方法

自制實(shí)驗(yàn)器材利用SolidWorks建立模型,應(yīng)用輕薄光滑的樹(shù)脂材料,光源為355 nm的高精度SLA光固化3D打印快速成型系統(tǒng)進(jìn)行3D打印,建構(gòu)的固件都具有高精度和尺寸的穩(wěn)定性．

首先,如圖2所示,在SolidWorks軟件上建立3D模型,基于前視基準(zhǔn)面建構(gòu)草圖,選擇方程式驅(qū)動(dòng)的曲線,并將最速降線的參數(shù)方程輸入,選擇合適的參數(shù)范圍既可獲得最速降線．使用直線將構(gòu)建封閉,拉伸后獲得構(gòu)建的3D模型．

圖2 利用SolidWorks建立3D模型圖

3D打印選用的材料是樹(shù)脂材料,在塑形前為乳白色粘稠液體,其黏度為497 cps,密度為1.14×103kg/m3,通過(guò)ASTM標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試制件性能,具有光滑、不易彎曲變形等特性．

不同的曲線方程即可獲得不同的3D構(gòu)建,如圖3所示,本次實(shí)驗(yàn)打印了最速降線與傾斜直線兩種構(gòu)件,拼裝后完成最速降線的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)．小球選用能被磁性物質(zhì)吸引的小鐵球,利用磁鐵實(shí)現(xiàn)同時(shí)釋放小球的發(fā)射裝置．

圖3 最速降線3D打印實(shí)驗(yàn)裝置實(shí)物圖

將小球放置在發(fā)射臺(tái),抽離磁鐵后,兩個(gè)小球同時(shí)由靜止沿斜面與曲面釋放,在下滑過(guò)程中,可以清晰直觀地從視頻每一幀看到,相同時(shí)刻,沿著最速降線下落的小球先落到終點(diǎn)．

利用手機(jī)慢鏡頭錄制實(shí)驗(yàn)視頻,參數(shù)為1 080 p/240 fps,將實(shí)驗(yàn)視頻導(dǎo)入Tracker軟件中進(jìn)行軌跡追蹤,圖4不僅可以直觀看到小球在不同軌道上的運(yùn)動(dòng)情況,還可以獲取位置、速度隨著時(shí)間的變化關(guān)系．收集相關(guān)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)導(dǎo)入Origin軟件進(jìn)行圖像繪制與數(shù)據(jù)分析．

圖4 利用Tracker追蹤小球沿斜面下滑軌跡

最速降線的探究過(guò)程從“提出問(wèn)題—設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)—收集數(shù)據(jù)—分析結(jié)論—評(píng)估反思”符合物理學(xué)科核心素養(yǎng)中科學(xué)探究的要求,鼓勵(lì)學(xué)生能積極應(yīng)用現(xiàn)代技術(shù)設(shè)計(jì)創(chuàng)造實(shí)驗(yàn)用具,通過(guò)計(jì)算機(jī)軟件處理解決問(wèn)題,體現(xiàn)物理學(xué)科與時(shí)俱進(jìn)的時(shí)代性[6],對(duì)學(xué)生今后的發(fā)展大有好處．

4 數(shù)據(jù)分析

本實(shí)驗(yàn)選用的小球質(zhì)量為0.16 kg,自制實(shí)驗(yàn)儀器的設(shè)計(jì)基于直徑為0.249 m的圓上的一點(diǎn),沿著直線前進(jìn)產(chǎn)生的螺旋線參數(shù)方程．?dāng)嚅_(kāi)磁力裝置,兩個(gè)小球由靜止開(kāi)始,同時(shí)從傾斜軌道與最速降線軌道下滑,得到如圖5所示的水平位移與時(shí)間的關(guān)系．

圖5 兩球分別從傾斜軌道與最速降線軌道下滑的水平位移與時(shí)間的關(guān)系

根據(jù)圖5可知,當(dāng)兩球在水平方向到達(dá)終點(diǎn)時(shí),t曲

表1 不同時(shí)刻,小球在兩個(gè)軌道上的加速度比較

兩球分別從傾斜軌道與最速降線軌道下滑的軌跡如圖6所示.

圖6 兩球分別從傾斜軌道與最速降線軌道下滑的軌跡

表1對(duì)兩段運(yùn)動(dòng)圖像的斜率(運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度)進(jìn)行計(jì)算,獲得某一時(shí)刻的加速度．結(jié)合兩者在圖6中的運(yùn)動(dòng)軌跡可知:傾斜軌道上的小球做勻加速直線運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)過(guò)程中速度隨著時(shí)間均勻增加,平均速度比最速降線小．而小球沿最速降線做加速曲線運(yùn)動(dòng),加速度隨著時(shí)間的增加而逐漸減小,在初始位置小球近乎垂直加速下落,讓小球迅速加速獲得快速通過(guò)后半程水平位移的能量,平均速度快,所以到達(dá)底部時(shí)間最短．

小球沿著最速降線的不同位置下落時(shí)的位移與時(shí)間數(shù)據(jù)如表2所示,圖像如圖7所示.

表2 小球沿著最速降線的不同位置下落時(shí)的位移與時(shí)間

圖7 小球沿著最速降線的不同位置下落時(shí)的位移-時(shí)間圖像

根據(jù)表2與圖7可知:當(dāng)小球分別從最速降線0.041 m、0.088 m、0.092 m、0.095 m和0.249 m處下落時(shí),小球到達(dá)底端的時(shí)間均接近0.35 s．將上海地區(qū)的重力加速度g=9.764 m/s2與器材軌道的半徑0.124 5 m代入公式(10)得小球下落時(shí)間的理論值,將實(shí)驗(yàn)值與理論值進(jìn)行比對(duì),相對(duì)誤差均低于2%,考慮到Tracker軟件讀取信息時(shí)的頻率,不能保證結(jié)束幀小球恰好落到軌道最低點(diǎn),需要篩選數(shù)據(jù)多次測(cè)量取平均值．從實(shí)驗(yàn)上證明,沿著最速降線的不同位置下落的物體,下落時(shí)間具有等時(shí)性．

5 結(jié)論

最速降線的應(yīng)用已滲透在建筑、運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地等領(lǐng)域,它的確立從提出問(wèn)題,推理解釋,科學(xué)論證到現(xiàn)代可以通過(guò)3D打印技術(shù)與計(jì)算機(jī)軟件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,人類(lèi)對(duì)物體在重力作用下的最快速下落研究逐步深入,不僅能夠得到螺旋線的參數(shù)方程,更能高精度地還原最速下落的運(yùn)動(dòng)過(guò)程,并能發(fā)現(xiàn)物體從不同位置沿最速降線下落具有等時(shí)性．

希望教師在教學(xué)過(guò)程中,能夠時(shí)刻聯(lián)系物理學(xué)科的時(shí)代意義,將更多的研究方式呈現(xiàn)給學(xué)生,給學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ),開(kāi)拓視野,為科學(xué)思維與探究的培養(yǎng)建構(gòu)平臺(tái)．