對(duì)高腳酒杯杯腳貼畫(huà)在杯底球面成像通式的探究與拓展
2024-03-11 07:04:48鄭通和
物理通報(bào) 2024年3期
鄭通和
(寧夏育才中學(xué) 寧夏 銀川 750021)
【原題】(第21屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽第6題)有一種高腳酒杯,如圖1所示.杯內(nèi)底面為一凸起的球面,球心在頂點(diǎn)O下方玻璃中的C點(diǎn).球面的半徑R=1.5 cm.O到杯口平面的距離為8.0 cm,在杯腳底中心處P點(diǎn)緊貼一張畫(huà)片,P點(diǎn)距O點(diǎn)6.3 cm,這種酒杯未斟酒時(shí),若在杯口處向杯底方向觀(guān)看,將看不出畫(huà)片上的景物.但如果斟酒,再在杯口處向杯底方向觀(guān)看,將看到畫(huà)片上的景物.已知玻璃的折射率n1=1.56,酒的折射率n2=1.34.試通過(guò)分析計(jì)算與論證解釋這一現(xiàn)象.
圖1 高腳酒杯
1 高腳酒杯杯底是凸、凹球面成像的通式推導(dǎo)
1.1 杯底是凸球面的通式推導(dǎo)[1]
如圖2所示,把高腳酒杯放平(杯腳靠左杯口靠右),分析成像問(wèn)題.
圖2 杯底是凸球面近軸光線(xiàn)成像光路
在△PAC中,由正弦定理有
(1)
考慮近軸光線(xiàn)成像:α、i都是小角度,可近似認(rèn)為
sinα≈αsini≈i
則有
(2)
和角度幾何關(guān)系
θ=i+α
(3)
得
(4)
在△CAP′中,由正弦定理有
(5)
同樣考慮近軸光線(xiàn)成像:β、r都是小角度,可近似認(rèn)為
sinβ≈βsinr≈r
和角度幾何關(guān)系式
r=θ+β
(6)
得
(7)
在光路折射中,由折射定律
(8)
根據(jù)光路成像的距離幾何關(guān)系,聯(lián)立式(4)、(7)、(8)得
即得到一種高腳酒杯杯底是凸球面時(shí)杯腳底畫(huà)片成像通式為
1.2 杯底是凹球面的通式推導(dǎo)
圖3 杯底是凹球面近軸光線(xiàn)成像光路
在△PAC中,由正弦定理有
(9)
考慮近軸光線(xiàn)成像:α,i都是小角度,可近似的認(rèn)為
sinα≈αsini≈i
得
(10)
由角度幾何關(guān)系得
(11)
在△CAP′中,由正弦定理有
(12)
和角度幾何關(guān)系
r=θ-β
(13)
同樣考慮近軸光線(xiàn)成像:β、r都是小角度,可近似的認(rèn)為
sinβ≈βsinr≈r
所以
(14)
由光路折射定律
(15)
根據(jù)光路成像的距離幾何關(guān)系,聯(lián)立式(11)、(14)、(15)得
則得到高腳酒杯杯底是凹球面時(shí)杯腳底畫(huà)片成像通式為
2 杯腳貼畫(huà)在杯底是凸球面的成像位置
2.1 未斟酒時(shí)(圖2)
n=n0=1,由通式得
圖4 杯底是凸球面近軸光線(xiàn)物象同點(diǎn)成像光路
n′=n0=1n=n1=1.56
證明和通式結(jié)論相一致.
圖5 杯底是凸球面近軸光線(xiàn)不成像光路
R=-1.5 cmn′=n0=1n=n1=1.56
解得
證明和通式結(jié)論相一致.
圖6 實(shí)像P′通過(guò)眼睛在視網(wǎng)膜上二次成像光路
通過(guò)通式及作圖證明了“這種酒杯未斟酒時(shí),若在杯口處向杯底方向觀(guān)看,能看到畫(huà)片P上的景物”.并不是原題中所說(shuō)的“將看不到畫(huà)片上的景物”.
n′=n0=1n=n1=1.56
證明和通式結(jié)論相一致.
圖7 杯底是凸球面近軸光線(xiàn)成像變深光路
n′=n0=1n=n1=1.56
證明和通式結(jié)論相一致.
可確定虛像P′的位置,并可在杯口向杯底觀(guān)看,見(jiàn)到像位變淺的P′(圖8).
圖8 杯底是凸球面近軸光線(xiàn)成像變淺光路
n′=n0=1n=n1=1.56
證明和通式結(jié)論相一致.
2.2 斟滿(mǎn)酒后
當(dāng)酒的折射率n=n2=1.34時(shí),通式應(yīng)為
n′=n2=1.34n=n1=1.56
證明和通式結(jié)論相一致.
圖9 杯底是凸球面近軸光線(xiàn)成像變深光路
n′=n2=1.34n=n1=1.56
證明和通式結(jié)論相一致.
根據(jù)光在球面或不同介質(zhì)面逐個(gè)成像法[3]可知,該像相對(duì)高腳酒杯中酒面可再次成像.
酒平面的曲率半徑R∝∞,n′=n2=1.34,n=n1=1.56.
所成虛像在球面頂點(diǎn)O左側(cè)15.87 cm處.
3 杯腳貼畫(huà)在杯底是凹球面的成像位置
如圖3所示,當(dāng)n=n0=1,由通式
可知,當(dāng)畫(huà)片P距凹球面球心的距離
3.1 未斟酒時(shí)
如圖10所示,n=n0=1,R=1.5 cm.
圖10 杯底是凹球面近軸光線(xiàn)成像變淺光路
說(shuō)明畫(huà)片P成一虛像P′在凹球面頂點(diǎn)O的左側(cè)1.61 cm處.
n′=n0=1n=n1=1.56
證明和通式結(jié)論相一致.
3.2 斟滿(mǎn)酒后
高斯公式驗(yàn)證
R=1.5 cmn′=n2=1.34n=n1=1.56
證明和通式結(jié)論相一致.
4 總結(jié)
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