推導(dǎo)平行板電容器電容表達(dá)式的兩種方法

趙曰峰

(大連市第八中學(xué) 遼寧 大連 116021)

1 微元法

利用均勻帶電平板的電場(chǎng)強(qiáng)度推導(dǎo)真空中平行板電容器電容表達(dá)式.

1.1 構(gòu)建模型

構(gòu)建帶電半球殼模型計(jì)算無(wú)限大均勻帶電平板產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度.

如圖1所示,電荷面密度為σ的無(wú)限大帶電平板產(chǎn)生的電場(chǎng)是勻強(qiáng)電場(chǎng).

圖1 均勻帶正電平行板產(chǎn)生的電場(chǎng)

對(duì)于距平板距離為r的O點(diǎn),其距離板最近的點(diǎn)為O′,對(duì)于O點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度可利用微元法求解.選擇關(guān)于O′對(duì)稱的兩個(gè)微小平面面元dSi,如圖2所示.

圖2 兩對(duì)稱帶電面元dSi在O點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度

(1)

當(dāng)球心角dαi→0時(shí),球面面元dSi1等于平面面元dSicosθ,所以式(1)中dSicos3θ變?yōu)?/p>

dSicos3θ=dSicosθcos2θ=dSi1cos2θ

(2)

利用上式將式(2)化為

dSicos3θ=dSi1cos2θ=

(3)

將式(3)帶入式(1)可得

(4)

因此由式(4)可知,O點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為

(5)

即無(wú)限大均勻帶電平行板產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為

EO=2kπσ

1.2 真空中平行板電容器電容表達(dá)式的推導(dǎo)

如圖3所示,平行板電容器內(nèi)部的電場(chǎng)可等效為兩個(gè)相互平行的無(wú)限大平板內(nèi)部產(chǎn)生的電場(chǎng)(這兩個(gè)無(wú)限大平板帶有相同電荷面密度為σ的等量異種電荷).

圖3 平行板電容器內(nèi)部產(chǎn)生的電場(chǎng)

由式(5)可得:

正極板產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度E+= 2πkσ.

負(fù)極板產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度E-= 2πkσ.

平行板電容器內(nèi)部任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度等效為兩個(gè)相互平行的無(wú)限大平板在該點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的疊加,即

E=E++E-=2EO=4kπσ

因此電容器電壓為

U=Ed=4kπσd

(6)

面積為S的平行板電容器的電荷量為

Q=σS

(7)

將式(6)、(7)帶入電容的定義式,得出真空中平行板電容器的電容表達(dá)式為

2 極限法

極限法構(gòu)造等效平行板電容器推導(dǎo)真空中平行板電容器電容表達(dá)式.

在真空中構(gòu)造兩個(gè)電荷面密度相同帶異種電荷的同心球殼(球殼厚度不計(jì)),如圖4所示,半徑分別為RA、RB(半徑滿足關(guān)系RB-RA=d,d為定值),電荷量分別為+QA、-QB.在A球殼選取面元S,同一球心角下B球殼對(duì)應(yīng)的面元為S′.

圖4 兩個(gè)電荷面密度相同帶異種電荷的同心球殼

所以A、B球殼間電勢(shì)差為

(8)

當(dāng)RA→∞時(shí),RA?d,圖4中球殼面元S和S′視為平行的平面面元,此時(shí)S≈S′.由于兩球殼電荷面密度相同,則兩面元電荷量相同,因此兩球殼面元等效為平行板電容器.

兩球殼間的電勢(shì)差UAB即為構(gòu)建的平行板電容器的電壓,由式(8)可知電壓為

(9)

所構(gòu)建的平行板電容器的電荷量為

Q=σS

(10)

將式(9)、(10)帶入電容的定義式,得出真空中平行板電容器的電容表達(dá)式為

3 充滿介質(zhì)時(shí)平行板電容器電容表達(dá)式的推導(dǎo)

因此,充滿介質(zhì)的平行板電容器的電壓為

(11)

面積為S的平行板電容器的電荷量為

Q=σS

(12)

由式(11)、(12)可得平行板電容器的電容表達(dá)式為

推導(dǎo)完畢.

4 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)利用高中生易于理解的兩種方式推導(dǎo)了平行板電容器的電容表達(dá)式,使學(xué)生明確了電容表達(dá)式的由來(lái),深刻體會(huì)了構(gòu)建模型是解決物理問(wèn)題的一種高效手段,感受到物理模型的魅力,同時(shí)解決了教師教學(xué)中的困難.推導(dǎo)過(guò)程利用微元法和極限法,合理外推,避免復(fù)雜的計(jì)算,通俗易懂,展示物理科學(xué)推理、科學(xué)論證的魅力,同時(shí)培養(yǎng)和拓寬了學(xué)生的科學(xué)思維能力,提升物理學(xué)科核心素養(yǎng)．