計(jì)及應(yīng)力水平效應(yīng)的復(fù)合材料剩余強(qiáng)度概率模型

馬輝東,曾世龍,2,馬強(qiáng),白學(xué)宗,安宗文*

（1.蘭州理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730050；2.甘肅省特種設(shè)備檢驗(yàn)檢測(cè)研究院 國(guó)家風(fēng)電設(shè)備質(zhì)量檢驗(yàn)檢測(cè)中心(甘肅)，蘭州 730050）

纖維增強(qiáng)復(fù)合材料在航空航天、風(fēng)力發(fā)電等重大領(lǐng)域主承力部件(如風(fēng)電葉片)上的廣泛應(yīng)用[1]、工程結(jié)構(gòu)中材料設(shè)計(jì)許用值的逐漸提高[2]及越來越高的輕量化要求，使復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的疲勞問題不斷顯現(xiàn)[3-5]。然而，復(fù)合材料結(jié)構(gòu)疲勞特性的數(shù)學(xué)表征卻是一個(gè)極其復(fù)雜、耗財(cái)耗時(shí)的過程，主要原因有二：首先，復(fù)合材料的各向異性和不均勻性本質(zhì)加劇了復(fù)合材料結(jié)構(gòu)疲勞演化的復(fù)雜程度，其疲勞破壞歸因于不同尺度上的多種損傷模式的擴(kuò)展、耦合及累積效應(yīng)[6]；其次，組分材料、加工工藝及固有缺陷等(如纖維錯(cuò)位、空隙、未反應(yīng)的樹脂、殘余應(yīng)力等)的多樣性使每個(gè)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)都具有獨(dú)特的疲勞性能[7]，且這些復(fù)材結(jié)構(gòu)的疲勞演化過程與應(yīng)力水平、應(yīng)力比等加載條件直接相關(guān)?？梢姀?fù)合材料結(jié)構(gòu)損傷模式、加工缺陷的多樣性及損傷演化對(duì)加載條件的依賴性，使復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)表征極具挑戰(zhàn)性。此外，由于不同復(fù)材結(jié)構(gòu)的內(nèi)部缺陷和鋪層配置的差異性，其疲勞試驗(yàn)結(jié)果必然具有較強(qiáng)的分散性，因而復(fù)合材料疲勞的數(shù)學(xué)表征應(yīng)采用統(tǒng)計(jì)學(xué)手段[8]。

通過對(duì)復(fù)合材料試樣在恒幅正弦波載荷的激勵(lì)下開展大量的疲勞試驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)，復(fù)合材料疲勞存在以下幾點(diǎn)明顯特征：(1) 復(fù)合材料試樣的疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)具有明顯的統(tǒng)計(jì)特性[7]；(2) 強(qiáng)度退化的突然死亡特征，即復(fù)合材料試樣的強(qiáng)度在前約90%的載荷循環(huán)中平穩(wěn)緩慢地下降，而在最后不到10%的載荷周期內(nèi)，強(qiáng)度迅速退化至最大加載應(yīng)力值并發(fā)生失效[9]；(3) 剛度退化的快-慢-快三階段特性[10]；(4) 強(qiáng)度-壽命等秩假設(shè)的有效性[11]，即靜強(qiáng)度更高的試樣也具有更長(zhǎng)的疲勞壽命，發(fā)生失效時(shí)的剩余強(qiáng)度更高。為了降低表征復(fù)合材料疲勞的試驗(yàn)成本，研究者們分別基于強(qiáng)度退化和剛度退化提出了許多經(jīng)驗(yàn)性的宏觀唯象模型[4,7-8,10,12-16]，相較于剛度退化模型，強(qiáng)度退化模型優(yōu)勢(shì)有二：首先，復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的剩余強(qiáng)度參數(shù)與其結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、可靠性分析等直接相關(guān)；其次，當(dāng)剩余強(qiáng)度值退化至循環(huán)應(yīng)力峰值時(shí)，試樣發(fā)生破壞，因此，基于強(qiáng)度退化的模型擁有天然的失效判據(jù)[7]。Halpin等[17]率先提出了基于剩余強(qiáng)度退化的疲勞理論，在此基礎(chǔ)上，大量強(qiáng)度退化式的疲勞模型被先后提出。然而，其中多數(shù)模型屬于確定性模型，未計(jì)及復(fù)合材料疲勞數(shù)據(jù)的分散性和統(tǒng)計(jì)特征[18]。Passipoularidis等[19]基于大量的剩余強(qiáng)度試驗(yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)比分析了文獻(xiàn)中的幾種經(jīng)典剩余強(qiáng)度模型并得出結(jié)論：多數(shù)模型的預(yù)測(cè)依賴于大量的試驗(yàn)投入，且預(yù)測(cè)結(jié)果多不保守，從設(shè)計(jì)者的角度來看，Broutman等[12]的線性模型仍然是當(dāng)前工程應(yīng)用中的首選。此外，大量模型是基于特定的載荷狀態(tài)(應(yīng)力水平和應(yīng)力比等)和鋪層配置提出的，難以通用于其他載荷狀態(tài)和鋪層結(jié)構(gòu)，這也是限制剩余強(qiáng)度類模型進(jìn)一步應(yīng)用的主要屏障[15]。為了克服這個(gè)不足，Shokrieh等[20]最先提出了一個(gè)通用型剩余性能退化模型，該模型能夠預(yù)測(cè)任意應(yīng)力比下單向?qū)雍习宓钠谛袨椤tojkovi?等[15]提出了一個(gè)考慮應(yīng)力水平影響且獨(dú)立于應(yīng)力水平的通用型剩余強(qiáng)度模型，該模型能僅用一組模型參數(shù)預(yù)測(cè)多個(gè)應(yīng)力水平下的剩余強(qiáng)度退化過程，能大大減少確定模型參數(shù)所需的試驗(yàn)投入，缺點(diǎn)在于所提出模型是一個(gè)確定性模型，未計(jì)及復(fù)合材料剩余強(qiáng)度的統(tǒng)計(jì)特征。而當(dāng)前公開發(fā)表的考慮載荷因素影響(或者獨(dú)立于載荷因素，即應(yīng)力水平、應(yīng)力比等)的通用型模型非常有限，因此，開發(fā)具有通用性的疲勞模型對(duì)于擴(kuò)大其應(yīng)用范圍、降低試驗(yàn)成本都具有重大意義。此外，復(fù)合材料結(jié)構(gòu)在實(shí)際服役時(shí)，必然承受由多個(gè)應(yīng)力水平組成的變幅載荷，已有研究表明，變幅加載順序的不同會(huì)直接影響復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的疲勞行為[7,21-23]。為了降低復(fù)合材料變幅疲勞響應(yīng)的復(fù)雜性，大量研究將變幅范圍限制在二級(jí)變幅加載(即只有高、低兩個(gè)應(yīng)力水平)，并試圖建模這種變幅順序效應(yīng)。Paepegem等[24]通過回顧一系列變幅疲勞試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，有一些試驗(yàn)結(jié)果表明：從低到高的加載順序?qū)?fù)合材料試樣的損傷比從高到低的加載順序更嚴(yán)重，而另一些試驗(yàn)則得到相反的結(jié)論。變幅加載順序的損傷無規(guī)律性給疲勞建模工作帶來了嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)，因此，極有必要開發(fā)一個(gè)適用于變幅加載疲勞預(yù)測(cè)的模型，并驗(yàn)證其考慮變幅加載順序的能力。

鑒于此，本文通過將一個(gè)概率型疲勞壽命模型耦合進(jìn)剩余強(qiáng)度模型，提出一個(gè)計(jì)及應(yīng)力水平效應(yīng)的概率型剩余強(qiáng)度模型；再利用文獻(xiàn)中的疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)，從恒幅和變幅兩個(gè)角度出發(fā)，驗(yàn)證所提模型的準(zhǔn)確性、適用性和統(tǒng)計(jì)性，從而降低確定剩余強(qiáng)度模型參數(shù)所需的試驗(yàn)成本，提高模型的通用化程度。

1 纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的剩余強(qiáng)度

1.1 恒幅加載下復(fù)合材料的剩余強(qiáng)度

基于D'Amore[9]提出的冪律模型(如下式所示)，推導(dǎo)同時(shí)適用于恒幅與變幅加載預(yù)測(cè)的剩余強(qiáng)度模型：

式中：σR表示n次循環(huán)之后的試樣剩余強(qiáng)度；a和b表示給定加載條件下的正模型常數(shù)。首先，假設(shè)正參數(shù)b取決于所關(guān)注的材料類型與加載模式，其次，在假設(shè)正參數(shù)a與加載幅值Δσ間的線性關(guān)系(比例因子a0)的基礎(chǔ)上，即a=a0Δσ=a0σmax(1-R)可將上述基礎(chǔ)模型演化為考慮了應(yīng)力比R的新模型，如下式所示：

式中：σ0表示材料的試驗(yàn)靜強(qiáng)度；σmax表示循環(huán)應(yīng)力峰值，代表應(yīng)力水平；α和β是模型參數(shù)：

本文在進(jìn)行模型推導(dǎo)時(shí)存在如下的3個(gè)假設(shè)：

假設(shè)1：當(dāng)材料的剩余強(qiáng)度退化到最大應(yīng)力水平值時(shí)試樣發(fā)生破壞，即σR=σmax，則可建立材料靜強(qiáng)度與疲勞壽命間的定量關(guān)系：

式中，σ0N表示根據(jù)疲勞壽命N計(jì)算得到的材料靜強(qiáng)度，以下簡(jiǎn)稱計(jì)算靜強(qiáng)度。進(jìn)一步對(duì)上式進(jìn)行簡(jiǎn)單的代數(shù)變換即可得到考慮應(yīng)力比影響的應(yīng)力-壽命(S-N)曲線表達(dá)式：

假設(shè)2：復(fù)合材料試樣靜強(qiáng)度的分布特性可用兩參數(shù)威布爾分布描述，則試樣的靜強(qiáng)度分布函數(shù)為

式中：P表示事件概率；χ表示任意實(shí)數(shù)；γ 是威布爾分布的尺度參數(shù)；δ是威布爾分布的形狀參數(shù)。

假設(shè)3：強(qiáng)度-壽命等秩，式(4)也可證明該假設(shè)的合理性，給定加載條件即最大應(yīng)力水平和應(yīng)力比，則可根據(jù)疲勞壽命值反算出試樣的靜強(qiáng)度值。根據(jù)強(qiáng)度-壽命等秩假設(shè)，可推導(dǎo)出試樣疲勞壽命的分布函數(shù)為

根據(jù)上式即可得到給定失效概率F(N*)的疲勞壽命N*的計(jì)算公式：

為了在剩余強(qiáng)度模型中計(jì)及應(yīng)力水平效應(yīng)，采用了文獻(xiàn)[15]中的方法，即利用歸一化強(qiáng)度儲(chǔ)備模型還原剩余強(qiáng)度表達(dá)式，這里的強(qiáng)度儲(chǔ)備和歸一化強(qiáng)度儲(chǔ)備的概念解釋如圖1所示。

圖1 歸一化強(qiáng)度儲(chǔ)備的概念：(a) 剩余強(qiáng)度與強(qiáng)度儲(chǔ)備；(b) 歸一化剩余強(qiáng)度與歸一化強(qiáng)度儲(chǔ)備Fig.1 Concept of normalized strength reserve: (a) Residual strength and strength reserve; (b) Normalized residual strength and normalized strength reserve

圖1中σR和σr分別表示材料的剩余強(qiáng)度和強(qiáng)度儲(chǔ)備，剩余強(qiáng)度與強(qiáng)度儲(chǔ)備間相差一個(gè)臨界強(qiáng)度σc，即σr=σR-σc，根據(jù)假設(shè)1，當(dāng)材料強(qiáng)度退化至所施加的最大應(yīng)力水平時(shí)，材料發(fā)生失效，也就是σc=σmax。因此，當(dāng)材料發(fā)生失效時(shí)，剩余強(qiáng)度將退化至臨界強(qiáng)度值，而強(qiáng)度儲(chǔ)備將退化至0。與歸一化剩余強(qiáng)度類似，歸一化強(qiáng)度儲(chǔ)備就是某一循環(huán)次數(shù)下的材料強(qiáng)度儲(chǔ)備與初始強(qiáng)度儲(chǔ)備(σ0-σc)的比值，其中的σ0表示材料的靜強(qiáng)度。從定義不難看出，歸一化強(qiáng)度儲(chǔ)備的定義域和值域都是[0,1]。這里，選擇Stojkovi?等[15]提出的式(9)所示的歸一化強(qiáng)度儲(chǔ)備模型，所不同的是式中的疲勞壽命N*不再是一個(gè)定值，而是一個(gè)隨機(jī)變量：

式中：σr,n表示材料的歸一化強(qiáng)度儲(chǔ)備；μ 和 ν 表示待定的模型參數(shù)。

根據(jù)式(9)還原試樣的剩余強(qiáng)度模型如式(10)所示，通過式(10)即可得到給定失效概率的試樣強(qiáng)度退化規(guī)律。采用歸一化強(qiáng)度儲(chǔ)備還原剩余強(qiáng)度的優(yōu)勢(shì)在于僅用有限個(gè)應(yīng)力水平的試驗(yàn)數(shù)據(jù)即可預(yù)測(cè)任意應(yīng)力水平下的剩余強(qiáng)度的退化規(guī)律。

1.2 變幅加載下復(fù)合材料的剩余強(qiáng)度

復(fù)合材料在隨機(jī)載荷譜下的響應(yīng)極其復(fù)雜，通過將隨機(jī)載荷譜等效轉(zhuǎn)換為i個(gè)應(yīng)力水平為σmax,i、應(yīng)力比為Ri的恒幅載荷塊，是一種簡(jiǎn)化隨機(jī)載荷譜的有效手段[7]。轉(zhuǎn)換后的多幅值載荷塊雖然在各自應(yīng)力水平的載荷塊內(nèi)是恒幅的，但當(dāng)從第i個(gè)載荷塊跳躍至第i+1個(gè)載荷塊時(shí)，屬于變幅加載，且存在應(yīng)力水平升高的升序變幅(從第i+1載荷塊到第i載荷塊)和應(yīng)力水平降低的降序變幅(從第i載荷塊到第i+1載荷塊)兩種情況，如圖2所示。

圖2 兩個(gè)連續(xù)載荷塊的加載示意圖Fig.2 Loading diagram of two continuous load blocks

對(duì)于承受多水平變幅載荷譜的復(fù)合材料試樣的剩余強(qiáng)度計(jì)算方法如圖3(a)和圖3(b)所示，言簡(jiǎn)意賅起見，這里仍以包含兩個(gè)水平載荷塊的載荷譜為例進(jìn)行說明。首先，根據(jù)式(10)所示的剩余強(qiáng)度模型繪制出各自應(yīng)力水平下(即σmax,i,Ri,ni和σmax,i+1,Ri+1,ni+1)的剩余強(qiáng)度退化曲線，如圖3(a)和圖3(b)中細(xì)實(shí)線所示；其次，根據(jù)第一個(gè)載荷塊加載結(jié)束時(shí)(圖3(a)和圖3(b)中A點(diǎn))的剩余強(qiáng)度σR(σmax,i,mi)與第二個(gè)載荷塊加載開始時(shí)的剩余強(qiáng)度σR(σmax,i+1,mi+1,i)相等的原則，求得按第二應(yīng)力水平加載至該剩余強(qiáng)度值時(shí)的等效載荷循環(huán)次數(shù)mi+1,i，即可將強(qiáng)度退化過程從第一條剩余強(qiáng)度退化曲線等效轉(zhuǎn)移至第二條剩余強(qiáng)度退化曲線，進(jìn)而從B點(diǎn)開始，繼續(xù)沿第二條退化曲線退化至C點(diǎn)?？梢?，該變幅轉(zhuǎn)換的本質(zhì)是利用前一載荷塊加載結(jié)束時(shí)的剩余強(qiáng)度與后一載荷塊加載開始時(shí)的剩余強(qiáng)度值相等的原則，將含多個(gè)應(yīng)力水平載荷塊的變幅加載效應(yīng)等效轉(zhuǎn)換到只含一個(gè)應(yīng)力水平的恒幅剩余強(qiáng)度退化曲線上的過程。

圖3 變幅加載下的剩余強(qiáng)度退化路徑：(a) 低-高 (L-H)；(b) 高-低 (H-L)Fig.3 Residual strength degradation paths under variable amplitude loading: (a) Low-high (L-H); (b) High-low (H-L)

這種將試樣剩余強(qiáng)度在不同應(yīng)力水平退化曲線間等效轉(zhuǎn)移退化的變幅處理方式最早是由Yang等[25]提出，并被Broutman等[12]用于變幅加載的試驗(yàn)研究，從而代替線性Miner累加理論。因此，基于式(10)并令兩個(gè)應(yīng)力水平下的剩余強(qiáng)度值相等，則有

式中：σR(mi)表示第i個(gè)載荷塊加載mi次時(shí)的剩余強(qiáng)度值；類似的，σR(mi+1)表示第i+1個(gè)載荷塊加載mi+1次時(shí)的剩余強(qiáng)度值；Ni*表示在σmax,i加載條件下，給定失效概率的疲勞壽命；表示在σmax,i+1加載條件下，給定失效概率的疲勞壽命；σ0,m表示試樣的初始靜強(qiáng)度；mi+1,i表示與第i個(gè)載荷塊產(chǎn)生相同強(qiáng)度退化量時(shí)需要第i+1個(gè)載荷塊施加的等效循環(huán)次數(shù)。根據(jù)式(11)即可求出等效循環(huán)次數(shù)mi+1,i：

則經(jīng)過第i和i+1兩個(gè)載荷塊加載之后試樣的剩余強(qiáng)度為

式中，=mi+1,i+mi+1。

上述恒幅和變幅加載條件下復(fù)合材料試樣的剩余強(qiáng)度預(yù)測(cè)方法將分兩步進(jìn)行驗(yàn)證，首先，驗(yàn)證在恒幅加載條件下通過一組模型參數(shù)預(yù)測(cè)多個(gè)應(yīng)力水平下強(qiáng)度退化和模型考慮統(tǒng)計(jì)效應(yīng)的能力；其次，驗(yàn)證在變幅值加載條件下模型考慮加載順序的能力。

1.3 損傷評(píng)估準(zhǔn)則

工程中最常用的線性損傷累積準(zhǔn)則為[12]

而基于剩余強(qiáng)度的疲勞損傷累積模型可定義為每個(gè)載荷塊加載時(shí)的相對(duì)強(qiáng)度退化量的總和[7]，其顯示表達(dá)式如下：

2 試驗(yàn)數(shù)據(jù)

為了驗(yàn)證所提出的恒幅和變幅加載條件下復(fù)合材料剩余強(qiáng)度預(yù)測(cè)方法的可靠性，采用了Post等[22]公開發(fā)表的試驗(yàn)數(shù)據(jù)。試驗(yàn)所選用的單層材料為Vetrotex 324機(jī)織粗紗，基體材料為Dow Derakane 510 A乙烯基酯樹脂，并以[0/+45/90/-45/0]s的準(zhǔn)各向同性疊層順序制造成復(fù)合材料層壓板。Post等[22]的研究中涉及的測(cè)試包括20次靜強(qiáng)度拉伸測(cè)試(表1)、88次恒幅疲勞測(cè)試、189次剩余強(qiáng)度測(cè)試，限于篇幅，其余詳細(xì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)參見文獻(xiàn)[22]。其中，恒幅疲勞測(cè)試在6個(gè)應(yīng)力水平下執(zhí)行，得到的疲勞壽命跨度可從900到150萬次。而變幅疲勞測(cè)試在22個(gè)應(yīng)力水平下執(zhí)行，載荷總循環(huán)次數(shù)達(dá)到735 641次。材料的剩余強(qiáng)度在循環(huán)次數(shù)達(dá)到相應(yīng)應(yīng)力水平的疲勞壽命的固定百分比時(shí)進(jìn)行破壞測(cè)試，所采用的固定百分比分別為10%、30%、50%、60%及70%。恒幅疲勞壽命測(cè)試和剩余強(qiáng)度測(cè)試均在應(yīng)力比R=0.1和加載頻率f=10 Hz下執(zhí)行，一些試樣在測(cè)試中出現(xiàn)的過早失效問題在此不予考慮。

表1 鋪層順序?yàn)閇0/+45/90/-45/0]s的VARTM E-玻璃/乙烯基酯的靜拉伸強(qiáng)度[22]Table 1 Static tensile strength of VARTM E-glass/vinyl ester with a lay-up sequence of [0/+45/90/-45/0]s[22]

此外，另外一組來自文獻(xiàn)[26]的試驗(yàn)數(shù)據(jù)也被用來驗(yàn)證所提出模型的恒幅與變幅預(yù)測(cè)能力。試驗(yàn)中選用的單層材料為T300/934石墨/環(huán)氧樹脂，并以[0/45/90/-452/90/45/0]2的鋪層順序制造成為復(fù)合材料層壓板。試驗(yàn)中涵蓋了表2所示的25個(gè)試樣的拉伸靜強(qiáng)度試驗(yàn)、60個(gè)試樣的疲勞壽命試驗(yàn)及3個(gè)應(yīng)力水平下(即290 MPa、345 MPa及400 MPa)的剩余強(qiáng)度試驗(yàn)。

表2 鋪層順序?yàn)閇0/45/90/-452/90/45/0]2的T300/934石墨/環(huán)氧樹脂的靜拉伸強(qiáng)度[26]Table 2 Static tensile strength of T300/934 graphite/epoxy with a lay-up sequence of [0/45/90/-452/90/45/0]2[26]

3 模型驗(yàn)證與結(jié)果討論

3.1 VARTM E-玻璃/乙烯基酯復(fù)合材料的恒幅剩余強(qiáng)度預(yù)測(cè)

本節(jié)將采用文獻(xiàn)[22]中的試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)第1.1節(jié)提出的恒幅和第1.2節(jié)提出的變幅加載下復(fù)合材料試樣的剩余強(qiáng)度預(yù)測(cè)方法進(jìn)行驗(yàn)證。結(jié)合式(8)和式(10)可知，要預(yù)測(cè)給定失效概率和加載工況下的剩余強(qiáng)度值，共需借助疲勞試驗(yàn)確定α、β、γ、δ、μ及ν這6個(gè)模型參數(shù)。首先，為了確定模型參數(shù)α和β，將文獻(xiàn)[22]中的靜強(qiáng)度試驗(yàn)數(shù)據(jù)和疲勞壽命數(shù)據(jù)代入式(5)，并利用最小二乘回歸法擬合得到模型參數(shù)α=0.1909，β=0.1932，相應(yīng)的S-N曲線如圖4所示。

圖4 VARTM E-玻璃/乙烯基酯的應(yīng)力-壽命(S-N)曲線[22]Fig.4 Stress-life (S-N) curve for VARTM E-glass/vinyl ester[22]

其次，為了得到模型參數(shù)γ和δ，需要將復(fù)合材料試樣的靜強(qiáng)度試驗(yàn)數(shù)據(jù)代入式(6)進(jìn)行擬合，分別得到威布爾分布的尺度參數(shù)值γ和形狀參數(shù)值δ。此處，靜強(qiáng)度數(shù)據(jù)可以是通過靜拉伸試驗(yàn)測(cè)得的試驗(yàn)靜強(qiáng)度數(shù)據(jù)，也可以是根據(jù)式(4)和疲勞壽命數(shù)據(jù)計(jì)算得到的計(jì)算靜強(qiáng)度數(shù)據(jù)，兩種數(shù)據(jù)的威布爾曲線擬合結(jié)果如圖5所示。理論上講，根據(jù)試驗(yàn)靜強(qiáng)度和計(jì)算靜強(qiáng)度擬合得到的兩條曲線應(yīng)該是重合的，而由圖5(a)亦可看出兩者實(shí)際不重合，究其根本原因是疲勞測(cè)試和靜力測(cè)試間的加載應(yīng)變率差異明顯且未被考慮[2]。譬如文獻(xiàn)[22]中，疲勞測(cè)試的加載頻率為10 Hz，應(yīng)力水平σmax跨度從100 MPa到240 MPa，則應(yīng)力水平從谷值到峰值的加載時(shí)間為0.05 s，平均加載率的跨度區(qū)間為2 000～4 800 MPa·s-1，進(jìn)而根據(jù)給定的材料剛度為25 000 MPa，可確定疲勞測(cè)試時(shí)的平均應(yīng)變率為0.08～0.192 s-1。另一方面，靜力測(cè)試時(shí)的加載速率為667 N·s-1，根據(jù)試樣的橫截面積(150 mm2)即可確定平均加載率為4.45 MPa·s-1，則相應(yīng)的平均應(yīng)變率為1.78×10-4s-1。由此可見，靜力測(cè)試的平均應(yīng)變率較疲勞測(cè)試的平均應(yīng)變率低了3個(gè)數(shù)量級(jí)，進(jìn)而導(dǎo)致圖5(a)所示的差異。為了盡可能縮小這種差異的影響，將試驗(yàn)靜強(qiáng)度和計(jì)算靜強(qiáng)度進(jìn)行合并，并仍然根據(jù)式(6)擬合得到合并靜強(qiáng)度數(shù)據(jù)的威布爾統(tǒng)計(jì)分布，如圖5(b)所示，相應(yīng)的模型參數(shù)值分別為γ=340.6，δ=20.99。

圖5 VARTM E-玻璃/乙烯基酯的靜強(qiáng)度累積概率分布[22]：(a) 試驗(yàn)與計(jì)算靜強(qiáng)度；(b) 合并靜強(qiáng)度Fig.5 Cumulative probability distributions of static strength for VARTM E-glass/vinyl ester[22]: (a) Experimental and calculated static strength;(b) Mixed static strength

最后，為了得到模型參數(shù) μ 和 ν，需要將各個(gè)應(yīng)力水平下的剩余強(qiáng)度試驗(yàn)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為強(qiáng)度儲(chǔ)備數(shù)據(jù)并進(jìn)行歸一化處理，強(qiáng)度儲(chǔ)備σr與剩余強(qiáng)度σR間的關(guān)系為

進(jìn)而通過將轉(zhuǎn)化后的3個(gè)應(yīng)力水平(174 MPa、147 MPa及120 MPa)下的強(qiáng)度儲(chǔ)備數(shù)據(jù)擬合到式(9)，即可得到參數(shù)值：μ=0.1，ν=0.13。將這一組參數(shù)代入式(10)便可得到剩余強(qiáng)度在整個(gè)壽命區(qū)間的退化規(guī)律，通過引入歸一化強(qiáng)度儲(chǔ)備反推剩余強(qiáng)度的優(yōu)勢(shì)在于僅用一組模型參數(shù)即可確定任意應(yīng)力水平下的剩余強(qiáng)度退化規(guī)律，大大節(jié)約了試驗(yàn)成本。最終的歸一化強(qiáng)度儲(chǔ)備曲線及3個(gè)應(yīng)力水平下的剩余強(qiáng)度退化曲線如圖6(a)～6(c)所示。

圖6 模型參數(shù)擬合與VARTM E-玻璃/乙烯基酯的剩余強(qiáng)度預(yù)測(cè)曲線：(a) 歸一化強(qiáng)度儲(chǔ)備擬合曲線與試驗(yàn)數(shù)據(jù)[22]；(b) 置信區(qū)間為5%～95%的剩余強(qiáng)度預(yù)測(cè)區(qū)間與試驗(yàn)數(shù)據(jù)[22]；(c) 失效概率為50%的剩余強(qiáng)度預(yù)測(cè)曲線與試驗(yàn)數(shù)據(jù)[22]Fig.6 Model parameter fitting and residual strength prediction curves for VARTM E-glass/vinyl ester: (a) Normalized strength reserve fitting curve vs.experimental data[22]; (b) Residual strength prediction band with confidence interval of 5%-95% vs.experimental data[22]; (c) Residual strength prediction curves with 50% failure probability vs.experimental data[22]

圖6(a)中，歸一化強(qiáng)度儲(chǔ)備曲線的擬合優(yōu)度為R2=0.8031，由于用于歸一化強(qiáng)度儲(chǔ)備擬合的試驗(yàn)數(shù)據(jù)來自3個(gè)不同的應(yīng)力水平，數(shù)據(jù)分散性相對(duì)單個(gè)應(yīng)力水平更強(qiáng)，因而導(dǎo)致曲線的擬合優(yōu)度不高。將歸一化強(qiáng)度儲(chǔ)備擬合得到的一組模型參數(shù)代入3個(gè)應(yīng)水平的剩余強(qiáng)度模型，得到了3個(gè)應(yīng)力水平的剩余強(qiáng)度預(yù)測(cè)曲線與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比如圖6(b)所示，圖中的上、下限分別對(duì)應(yīng)失效概率為0.95和0.05時(shí)的剩余強(qiáng)度預(yù)測(cè)曲線，由圖6(b)可知，幾乎所有的試驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)都準(zhǔn)確地散落在置信分布帶之內(nèi)。此外，為了更明確地證明模型的預(yù)測(cè)精度，給出了在50%失效概率下的模型預(yù)測(cè)曲線與試驗(yàn)數(shù)據(jù)中值的對(duì)比，如圖6(c)所示，通過給定圖6(a)中擬合得到的模型參數(shù)，采用最小二乘法進(jìn)行擬合計(jì)算得到3個(gè)應(yīng)力水平下(即174、147及120 MPa)的擬合優(yōu)度R2分別為0.94、0.84及0.97。因此，可以認(rèn)為所提出模型僅用一組模型參數(shù)即可準(zhǔn)確地刻畫3個(gè)應(yīng)力水平下試樣剩余強(qiáng)度的退化規(guī)律，證明了模型獨(dú)立于應(yīng)力水平及預(yù)測(cè)強(qiáng)度退化過程的能力。

3.2 T300/934石墨/環(huán)氧樹脂與VARTM E-玻璃/乙烯基酯復(fù)合材料的變幅剩余強(qiáng)度預(yù)測(cè)

3.2.1 算例1：T300/934石墨/環(huán)氧樹脂

基于文獻(xiàn)[26]的試驗(yàn)數(shù)據(jù)并遵循與3.1節(jié)相同的驗(yàn)算流程，結(jié)果同樣表明所提出模型具有應(yīng)力水平獨(dú)立性和表征剩余強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)特性的能力，限于篇幅，這部分內(nèi)容不再詳述。根據(jù)表3所示的變幅加載方案，依據(jù)式(10)～(15)對(duì)變幅加載工況下的剩余強(qiáng)度及疲勞損傷進(jìn)行預(yù)測(cè)，圖7和圖8表示兩個(gè)應(yīng)力水平和3個(gè)應(yīng)力水平的降序和升序變幅加載剩余強(qiáng)度的預(yù)測(cè)情況，進(jìn)而計(jì)算出各自工況下的疲勞累積損傷，并與采用文獻(xiàn)[7]中的方法和線性累積損傷理論計(jì)算得到的損傷值進(jìn)行比較，結(jié)果如表3所示?？芍鶕?jù)文獻(xiàn)[7]的方法計(jì)算的累積損傷值明顯高于線性累積損傷值，而根據(jù)式(15)計(jì)算得到的累積損傷值明顯低于線性累積損傷值。這是由于文獻(xiàn)[7]的剩余強(qiáng)度模型并不完全遵循強(qiáng)度的“突然死亡”特征，該強(qiáng)度退化模型的最后階段仍然是較平緩的衰退曲線，甚至在強(qiáng)度退化至接近臨界強(qiáng)度值時(shí)，退化曲線還有漸進(jìn)水平的趨勢(shì)。這樣的模型特征導(dǎo)致了強(qiáng)度退化中間階段的退化量較顯著，因而該模型預(yù)測(cè)的累積損傷值偏高。工程中應(yīng)用最為廣泛的線性累積損傷理論是一種非常保守的理論，而模型的過于保守必然導(dǎo)致結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中強(qiáng)度過剩和材料浪費(fèi)。因此，基于強(qiáng)度退化的損傷模型應(yīng)準(zhǔn)確且相對(duì)保守地預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)的疲勞累積損傷，從而在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)階段保證結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的同時(shí)，最大程度地實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)輕量化。由此可知，基于強(qiáng)度退化的疲勞累積損傷預(yù)測(cè)值小于線性累積損傷值是更合理的預(yù)測(cè)結(jié)果。

表3 T300/934石墨/環(huán)氧樹脂的非線性累積損傷與線性累積損傷的對(duì)比[7]Table 3 Non-linear cumulative damage of T300/934 graphite/epoxy in comparison to linear cumulative damage[7]

圖7 二級(jí)應(yīng)力水平變幅加載的T300/934石墨/環(huán)氧樹脂剩余強(qiáng)度預(yù)測(cè)：(a) 高-低；(b) 低-高Fig.7 Residual strength prediction of T300/934 graphite/epoxy under variable amplitude loading containing 2 stress levels: (a) H-L; (b) L-H

由表3亦可知兩個(gè)應(yīng)力水平的變幅加載工況中，升序加載造成的損傷0.5大于降序加載造成的損傷0.45，而在3個(gè)應(yīng)力水平的變幅加載工況中，升序加載造成的損傷0.46小于降序加載造成的損傷0.48。因此，升序和降序變幅加載工況對(duì)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)損傷累積的影響大小并沒有統(tǒng)一的規(guī)律，就像Paepegem等[24]所述，“當(dāng)從文獻(xiàn)中考究變幅這個(gè)主題時(shí)，僅僅能夠得出一個(gè)統(tǒng)一的結(jié)論：升序和降序加載哪種加載方式對(duì)復(fù)合材料疲勞壽命的影響更顯著是沒有統(tǒng)一定論的”。

此外，在當(dāng)前算例中，即僅有兩到三級(jí)應(yīng)力水平加載的情況下，單純的升序和降序加載對(duì)復(fù)合材料試樣壽命的影響并不顯著，若考慮到強(qiáng)度的分散性，則單調(diào)變幅加載順序?qū)?fù)合材料試樣壽命的影響可以忽略，這也與Post等[22]等的觀點(diǎn)相一致。

3.2.2 算例2：VARTM E-玻璃/乙烯基酯

為了使試驗(yàn)中的變幅載荷更加符合實(shí)際工況，Post等[22]最初選擇了30個(gè)應(yīng)力水平，總的疲勞測(cè)試循環(huán)次數(shù)將達(dá)到99 999 998次，能以接近真實(shí)的載荷工況測(cè)試30年壽命的長(zhǎng)壽命結(jié)構(gòu)。而考慮到測(cè)試時(shí)間的合理性，研究者將30個(gè)應(yīng)力水平降低至22個(gè)，相應(yīng)的總載荷循環(huán)次數(shù)降低至735 641次，具體應(yīng)力水平及相應(yīng)的載荷循環(huán)次數(shù)見表4。

表4 VARTM E-玻璃/乙烯基酯的變幅測(cè)試載荷譜[22]Table 4 Load spectra for variable amplitude testing of VARTM E-glass/vinyl ester[22]

取失效概率為50%和5%，根據(jù)式(11)～(13)的變幅剩余強(qiáng)度預(yù)測(cè)方法，得到升序和降序變幅加載下的歸一化剩余強(qiáng)度退化曲線分別如圖9(a)和圖9(b)所示，并與相應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

圖9 22級(jí)應(yīng)力水平加載的VARTM E-玻璃/乙烯基酯剩余強(qiáng)度預(yù)測(cè)曲線與試驗(yàn)數(shù)據(jù)[22]：(a) 50%失效概率的剩余強(qiáng)度預(yù)測(cè)；(b) 5%失效概率的剩余強(qiáng)度預(yù)測(cè)Fig.9 Residual strength prediction curves of VARTM E-glass/vinyl ester for 22 stress level loading vs.experimental data[22]: (a) Residual strength prediction for 50% probability of failure; (b) Residual strength prediction for 5% probability of failure

圖9(a)中的2條實(shí)線表示失效概率為50%時(shí)的變幅剩余強(qiáng)度預(yù)測(cè)曲線，升序加載時(shí)，模型預(yù)測(cè)剩余強(qiáng)度值為272 MPa，試驗(yàn)中值為289 MPa，相對(duì)誤差為5.9%；降序加載時(shí)，模型預(yù)測(cè)剩余強(qiáng)度值為278 MPa，試驗(yàn)中值為285 MPa，相對(duì)誤差為2.5%。同理，圖9(b)中的2條實(shí)線表示失效概率為5%時(shí)的變幅剩余強(qiáng)度預(yù)測(cè)曲線，升序加載時(shí)，模型預(yù)測(cè)剩余強(qiáng)度值為255 MPa，試驗(yàn)最小值為260 MPa，相對(duì)誤差為2%；降序加載時(shí)，模型預(yù)測(cè)剩余強(qiáng)度值為257 MPa，試驗(yàn)最小值為262 MPa，相對(duì)誤差為1.9%。由此可見，當(dāng)可靠度選擇為50%時(shí)，所提出模型在升序與降序變幅加載中的預(yù)測(cè)值與試驗(yàn)值的相對(duì)誤差不超過6%；當(dāng)可靠度選擇為5%時(shí)，所提出模型在升序與降序變幅加載中的預(yù)測(cè)值與試驗(yàn)值的相對(duì)誤差不超過2%，兩種可靠度下的預(yù)測(cè)結(jié)果都足夠準(zhǔn)確，且在當(dāng)前算例中所給定的可靠度越高，模型的預(yù)測(cè)誤差越小。另外，兩個(gè)加載順序下的模型預(yù)測(cè)誤差都處于試驗(yàn)值的保守側(cè)，既避免了模型預(yù)測(cè)過于保守而明顯增加材料成本的問題，又足夠精確地預(yù)測(cè)了變幅加載工況下復(fù)合材料試樣的強(qiáng)度退化。

以上算例驗(yàn)證中所涉及的模型參數(shù)如表5所示。值得一提的是，雖然所提出的模型在恒幅和變幅加載工況下都有較準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)結(jié)果，但仍然存在以下兩個(gè)不足：首先，在處理計(jì)算靜強(qiáng)度和試驗(yàn)靜強(qiáng)度的差異性問題時(shí)，選擇了將兩組數(shù)據(jù)合并的處理方法，但從本質(zhì)上來講，兩組數(shù)據(jù)存在差異是由于靜力測(cè)試和疲勞測(cè)試間的應(yīng)變率存在明顯差異，當(dāng)前研究中的處理方法并未考慮應(yīng)變率效應(yīng)。其次，對(duì)所提模型的變幅預(yù)測(cè)能力進(jìn)行驗(yàn)證時(shí)，僅僅考慮了升序和降序兩種情況，實(shí)際工況下的應(yīng)力水平是隨機(jī)變化的，即應(yīng)力水平不僅僅是單調(diào)升高和降低，應(yīng)力水平非單調(diào)變化的變幅預(yù)測(cè)在本文中并未涉及。

表5 兩個(gè)算例(VARTM E-玻璃/乙烯基酯和T300/934石墨/環(huán)氧樹脂)涉及的模型參數(shù)Table 5 Model parameters involved in the two cases(VARTM E-glass/vinyl ester and T300/934 graphite/epoxy)

4 結(jié) 論

(1) 試驗(yàn)靜強(qiáng)度與計(jì)算靜強(qiáng)度的威布爾統(tǒng)計(jì)分布存在明顯差異的原因是靜力測(cè)試和疲勞測(cè)試時(shí)的應(yīng)變率相差過大，經(jīng)簡(jiǎn)單估算表明：疲勞試驗(yàn)較靜力試驗(yàn)的加載應(yīng)變率高出3個(gè)數(shù)量級(jí)。

(2) 通過歸一化強(qiáng)度儲(chǔ)備還原剩余強(qiáng)度的方法能夠僅用一組模型參數(shù)去預(yù)測(cè)任意應(yīng)力水平下的剩余強(qiáng)度。算例驗(yàn)證表明，幾乎所有試驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)都分布在由95%置信上限和5%的置信下限界定的剩余強(qiáng)度分布帶之內(nèi)，且50%可靠度下的預(yù)測(cè)曲線與試驗(yàn)數(shù)據(jù)間具有高擬合優(yōu)度值(R2值分別為0.94、0.84及0.97)，這都證明了所提出模型能在顯著降低模型參數(shù)依賴性的同時(shí)，準(zhǔn)確地刻畫試樣的剩余強(qiáng)度退化過程。

(3) 若考慮強(qiáng)度的分散性，在僅有兩到三級(jí)應(yīng)力水平加載的情況下，單調(diào)變幅加載順序(即單調(diào)升序與單調(diào)降序)對(duì)復(fù)合材料試樣壽命的影響可以忽略不計(jì)。

(4) 在對(duì)22個(gè)應(yīng)力水平載荷塊的變幅加載預(yù)測(cè)中，當(dāng)選擇可靠度為50%時(shí)，升序加載剩余強(qiáng)度預(yù)測(cè)值與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差為5.9%，降序加載剩余強(qiáng)度預(yù)測(cè)值與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差為2.5%；當(dāng)選擇可靠度為95%時(shí)，升序加載剩余強(qiáng)度預(yù)測(cè)值與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差為2%，降序加載剩余強(qiáng)度預(yù)測(cè)值與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差為1.9%。因此，所提出模型在升序與降序變幅加載中的預(yù)測(cè)值與試驗(yàn)值的相對(duì)誤差均不超過6%，預(yù)測(cè)結(jié)果足夠準(zhǔn)確，且預(yù)測(cè)精度隨著可靠度的增加而有所提高。