帶時間依賴慣性系數(shù)的Cahn-Hilliard方程的適定性

劉生清,姜金平,任麗宇

(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院, 陜西 延安 716000)

0 引言

2008年,Galenko P等[1]提出了含慣性項的Cahn-Hilliard方程,由于慣性項的加入使得方程從拋物方程變成了雙曲方程;2018年,Khanmamedov A等[2]討論在相應(yīng)的初邊值條件下弱解的適定性,并證明了整體吸引子的的存在性;在此基礎(chǔ)上,丁蓉等[3]、史苑等[4]研究了帶有慣性項的Cahn-Hilliard方程光滑解的存在性和爆破行為以及弱解的適定性問題;文獻(xiàn)[5-8]中估計了具有慣性項的黏性Cahn-Hilliard方程解和指數(shù)吸引子問題。2014年,Contin等[9]基于Pata提出的時間依賴吸引子的概念給出了有界域上證明耗散性偏微分方程時間依賴全局吸引子的方法;馬巧珍等[10]用此方法分別證明了帶線性記憶的波方程時間依賴漸近行為和梁方程的時間依賴吸引子存在性問題;2021,年劉迪等[12]研究了帶時間依賴擴散系數(shù)的分?jǐn)?shù)階非經(jīng)典擴散方程的適定性。近年來,很多研究者對Cahn-Hilliard方程產(chǎn)生了濃厚的興趣,目前關(guān)于帶慣性項的Cahn-Hilliard方程研究已有很多,但是對于慣性項系數(shù)為依賴于時間的函數(shù)的研究還鮮少有相關(guān)文獻(xiàn),本文中研究亞三次非線性條件下,慣性項系數(shù)依賴于時間的Cahn-Hilliard方程解的適定性。

考慮如下帶有時間依賴慣性系數(shù)的Cahn-Hilliard方程的適定性。

(1)

其中,Ω是2中具有光滑邊界?Ω的有界正則域,h∈L2(Ω)且非線性函數(shù)f滿足下列條件:

f∈C2(),|f″(x)|≤C(1+|x|p),?x∈,p<1

(2)

(3)

(4)

時間依賴的慣性系數(shù)ε(t)是非負(fù)遞減的函數(shù),滿足

(5)

且存在常數(shù)L>0,使得

(6)

當(dāng)ε(t)為不依賴于時間t的函數(shù)而為ε>0的常系數(shù)時方程為一般的帶慣性項的Cahn-Hilliard方程。

1 基本假設(shè)

注1[2]對任意的f∈C3(),且具有增長條件

|f?|≤C(1+|x|p),?x∈,p<1

(7)

該條件為(4)中當(dāng)α=1時的情況。

注2若u(x,t)是方程(1)的弱解,我們有

ε(t)utt+ut+Δ2u-Δf(u)=h(x)

(8)

在文獻(xiàn)[13]中定義兩個算子γ0和γ1,滿足以下性質(zhì)

γ0(v)是HΔ(Ω):={u∈L2(Ω):Δu∈L2(Ω)}到H-1/2(?Ω)的線性算子,γ1(v)是HΔ(Ω):={u∈L2(Ω):Δu∈L2(Ω)}到H-3/2(?Ω)的線性連續(xù)算子。

引理1[2]設(shè)g∈C1(),且

|g(x)≤M(1+|x|p)|,?x∈

(9)

(10)

其中p<1,0≤q<α≤1,M≥1且r≥1。

(11)

(12)

(13)

引理2[2]設(shè)f∈C2(),且

其中α>o,q≥0,M≥1且r≥1。則有以下不等式成立

其中fμ(x)=(f*ρμ)(x)。

2 弱解的適定性

‖u(t)‖H2(Ω)+ε(t)‖ut(t)‖L2(Ω)≤c1(‖(u0,u1)‖H2(Ω)×L2(Ω)),?t≥0,

其中c1是→上的一個非減函數(shù)。

(14)

+(F(u(t)-f(0)u(t),1)-(h,(-Δ)-1u(t)))

-(h,(-Δ)-1u(s)),0≤s≤t

(15)

(16)

其中Q:+→+是非減函數(shù)。

下面將(1)式乘以2ut+δu并在Ω上進(jìn)行積分,得

=(f″(u(t))ut(t),|▽u(t)|2)

(17)

由(2)式,(16)式及H1/2(Ω)L2(Ω)得

≤c2‖u(t)‖H2(Ω)‖u(t)‖H1(Ω)

≤c3‖u(t)‖H2(Ω)

(18)

結(jié)合式(17),令δ足夠小,且由于條件(5)～(6)ε(t)為非負(fù)的遞減函數(shù),得到

(19)

其中

μ(u(t))=E(u(t))+(f′(u(t)),|▽u(t)|2)+δε(t)(ut(t),u(t)).

下面估計式(19)右邊,利用引理1,令g(z):=f″(z)根據(jù)式(2)和式(4),函數(shù)g(z)滿足引理1的條件,則有下列式子成立

|(f″(u(t))ut(t),|▽u(t)|2)|=|(g(u(t))ut(t),|▽u(t)|2)|

有相關(guān)調(diào)查研究表明，動物及其產(chǎn)品質(zhì)量的高低，與動物的健康狀況有密切的聯(lián)系，與我國疫病控制的效果有較大的關(guān)聯(lián)。加強對動物疫病的監(jiān)測，一方面能降低動物發(fā)生疫病的概率；另一方面還能促使動物的生產(chǎn)以及養(yǎng)殖過程得到控制，進(jìn)而提升動物及其產(chǎn)品的質(zhì)量。開展動物疫病監(jiān)測工作，能保證安全的動物及其產(chǎn)品進(jìn)入到市場，使人們都能吃到放心的產(chǎn)品。如對于牛羊布魯氏等一些隱性的病菌，尋常的檢測手段難以發(fā)覺，但是通過動物疫病監(jiān)測以及對采樣的方式，能及時發(fā)現(xiàn)其血液中所存在的病害，警醒防疫機構(gòu)，使其提前做好防疫準(zhǔn)備，并及時制止該肉制品流入到市場，有效保護(hù)了人們?nèi)罕姷娜松戆踩?/p>

≤((g(u(t))-gμ(u(t)))ut(t),|▽u(t)|2)+|(gμ(u(t))ut(t),|▽u(t)|2)|,

其中g(shù)μ(z)=(g*ρμ)。

即由文獻(xiàn)[4]可知

(20)

其中∈σ(0,1),根據(jù)式(19),當(dāng)μ足夠小時,得到

(21)

(22)

則

(23)

因為r∈(0,1),當(dāng)σ∈(r,1)時,由式(16)

(24)

其中δ>0。

其中k>0,令R=‖v‖H2(Ω),得

結(jié)合式(16)得

(25)

結(jié)合式(23)～(25)可得

(26)

由式(22)、(26)可以得出

最后估計式(26)得

因此,當(dāng)Tmax=∞時上式也成立。

(27)

E(un(t))≤M,?t≥0

(28)

其中M與‖(u0,u1)‖H1有關(guān),與n無關(guān)。

令下列成立

(29)

ε(t)(un-um)tt+(un-um)t+Δ2(un-um)-Δ(fn(un)-fm(um))=0

(30)

結(jié)合式(28)得

由Gronwall’s引理,式(29)和引理2得

這里

(31)

再由式(27)得

(32)

最后,由式(28)、(31)、(32),結(jié)論得證。

(33)

(34)

(35)

由式(16)得

(36)

由Gronwall’s引理得,當(dāng)給定初值相同時

綜上所述我們證明了弱解的唯一性。