已知波形信號(hào)的時(shí)差頻差估計(jì)方法研究與性能分析

劉 嚴(yán) 朱 毅 張 源 郭福成

（國(guó)防科技大學(xué)電子科學(xué)學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙 410073）

1 引言

無(wú)源定位問(wèn)題廣泛存在于電子偵察、海上救援等領(lǐng)域，具有應(yīng)用范圍廣、技術(shù)性強(qiáng)等特點(diǎn)。常用的無(wú)源定位方法包括測(cè)向交叉定位、多站時(shí)差定位等［1-4］。當(dāng)觀測(cè)站與輻射源之間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，不同觀測(cè)站接收信號(hào)的載頻會(huì)有所差異，為無(wú)源定位提供了可用的頻率多普勒信息?；诙嗾拘盘?hào)時(shí)差、頻差的無(wú)源定位方法具有較高的定位精度，得到了很多的關(guān)注和研究［5-10］。已有成果主要集中在基于時(shí)頻差的無(wú)源定位方法研究、性能分析和快速算法研究等方面。

無(wú)論用于輻射源定位的偵察站數(shù)量是兩個(gè)還是多個(gè)，對(duì)兩兩偵察站之間的時(shí)差和頻差進(jìn)行高精度估計(jì)都是時(shí)頻差定位方法的基本步驟。目前最常用的雙站時(shí)差頻差估計(jì)方法是基于觀測(cè)信號(hào)互模糊函數(shù)（Cross-Ambiguity Function，CAF）的方法［11-14］。該方法是極大似然方法的一種近似實(shí)現(xiàn)方式，在未知信號(hào)波形的情況下，可以得到逼近克拉美-羅界（Cramer-Rao Lower Bound，CRLB）的參數(shù)估計(jì)精度［12-13］。但是，對(duì)于不同的信號(hào)模型，時(shí)差頻差估計(jì)精度的CRLB是有顯著區(qū)別的。文獻(xiàn)［15］對(duì)比了平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)、未知確定信號(hào)和已知信號(hào)等不同條件下的時(shí)差頻差估計(jì)CRLB，結(jié)果表明信號(hào)波形先驗(yàn)信息有助于大幅提高時(shí)差頻差估計(jì)精度。

在很多實(shí)際應(yīng)用中，待定位電子目標(biāo)所輻射的信號(hào)波形是先驗(yàn)已知的，例如對(duì)數(shù)字廣播信號(hào)等民用目標(biāo)的定位問(wèn)題［16-19］。當(dāng)已知波形的參考信號(hào)同時(shí)被多個(gè)運(yùn)動(dòng)接收站所截獲時(shí)，會(huì)在觀測(cè)信號(hào)中引入未知的幅度增益和時(shí)差、頻差等因素，導(dǎo)致每個(gè)觀測(cè)站偵收的信號(hào)都與原始參考信號(hào)之間存在差異。如何利用好參考信號(hào)波形的先驗(yàn)信息，并盡可能消除各種不確定性因素的影響，是針對(duì)已知波形信號(hào)實(shí)現(xiàn)時(shí)差頻差估計(jì)和無(wú)源定位需要著重解決的問(wèn)題。文獻(xiàn)［8］基于信號(hào)波形先驗(yàn)已知的假設(shè)，推導(dǎo)了這種情況下時(shí)差頻差估計(jì)的CRLB。但由于該成果側(cè)重于比較電磁信號(hào)與水聲信號(hào)時(shí)差頻差估計(jì)問(wèn)題的異同，對(duì)信號(hào)接收模型的描述有所簡(jiǎn)化，與實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景存在一定偏差。

本文研究已知參考信號(hào)波形條件下的雙站時(shí)差頻差被動(dòng)估計(jì)問(wèn)題，提出相應(yīng)的參數(shù)估計(jì)方法，并對(duì)參數(shù)估計(jì)精度的CRLB進(jìn)行分析。該雙站時(shí)頻差估計(jì)方法可推廣應(yīng)用于多站系統(tǒng)，隨后通過(guò)聯(lián)合多組時(shí)差頻差估計(jì)值實(shí)現(xiàn)對(duì)輻射源位置的估計(jì)。在偵察信號(hào)建模過(guò)程中，借鑒文獻(xiàn)［15］中的模型對(duì)運(yùn)動(dòng)接收站的時(shí)延和頻移效應(yīng)進(jìn)行描述，從而將時(shí)差、頻差參數(shù)與參考信號(hào)波形分離開(kāi)來(lái)，使得接收站觀測(cè)信號(hào)與已知的參考信號(hào)波形信息之間的關(guān)系更加直觀可用。另外，通過(guò)把未知時(shí)差、頻差參數(shù)與信號(hào)波形解耦合，在所得到的CRLB表達(dá)式中，各種模型因素的影響也能夠更具體地分析。

全文共分為六部分。第二部分對(duì)雙站接收信號(hào)進(jìn)行建模，第三部分提出已知波形信號(hào)時(shí)差頻差估計(jì)方法，第四部分深入分析信號(hào)波形已知條件下時(shí)差、頻差參數(shù)估計(jì)的CRLB，第五部分仿真驗(yàn)證新方法的性能，并與推導(dǎo)得到的CRLB進(jìn)行對(duì)比，第六部分總結(jié)全文。

2 雙站信號(hào)接收模型

假設(shè)一個(gè)電磁信號(hào)被兩個(gè)偵察站同時(shí)截獲，在觀測(cè)時(shí)間內(nèi)輻射源與觀測(cè)站之間的相對(duì)位移可以忽略，同時(shí)假設(shè)觀測(cè)過(guò)程中信道傳播損耗、天線增益等參數(shù)保持恒定，則可以認(rèn)為兩個(gè)接收站的觀測(cè)數(shù)據(jù)是在一個(gè)確定的幾何構(gòu)型條件下采集得到的。

兩個(gè)接收站的觀測(cè)數(shù)據(jù)分別為

其中s1和s2表示觀測(cè)信號(hào)波形，u1和u2表示信號(hào)采集過(guò)程中混入的隨機(jī)高斯噪聲。記N表示信號(hào)的采樣點(diǎn)數(shù)，則式（1）和式（2）中各向量均存在于復(fù)數(shù)空間CN×1中。

假設(shè)偵察信號(hào)的原始波形先驗(yàn)已知，記為s0，兩個(gè)接收站與輻射源之間相對(duì)運(yùn)動(dòng)造成的時(shí)差和頻差分別為td1和fd1、td2和fd2，兩個(gè)偵察站接收信號(hào)之間的時(shí)差和頻差分別為td=td2-td1和fd=fd2-fd1。在模型描述和算法提出過(guò)程中，為簡(jiǎn)化敘述，用時(shí)差和頻差的變形形式τ=td/T和v=2πfdT分別代替原始時(shí)差、頻差兩個(gè)物理量，其中T表示信號(hào)采樣間隔。為表述方便，直接將這兩個(gè)參數(shù)描述為“時(shí)差”和“頻差”。相應(yīng)地，其他單站時(shí)差、頻差變量也替換為對(duì)應(yīng)的變形形式，即τ1=td1/T，v1=2πfd1T，τ2=td2/T，v2=2πfd2T。

假設(shè)入射信號(hào)帶寬遠(yuǎn)小于載頻，則可以采用群延遲形式近似表示兩個(gè)接收站所采集的觀測(cè)數(shù)據(jù)，即將原始信號(hào)波形從時(shí)域變換到頻域之后進(jìn)行相移，以描述信號(hào)時(shí)延的效果［15］，得到兩個(gè)接收站上觀測(cè)信號(hào)的具體形式為

其中a1和a2表示兩個(gè)接收站的信號(hào)增益，?1和?2分別表示兩個(gè)接收站在采集信號(hào)時(shí)的初始相位，Dv1=diag{exp(jv1l)}，l=[0，1，…，N-1]Τ，diag{·}表示將向量元素作為對(duì)角線元素所得到的矩陣，Dv2=diag{exp(jv2l)}，，上標(biāo)(·)Τ和(·)H分別表示轉(zhuǎn)置和共軛轉(zhuǎn)置運(yùn)算。當(dāng)信號(hào)相對(duì)帶寬較大時(shí)，信號(hào)帶寬內(nèi)不同頻率分量之間由頻移造成的相移會(huì)有所不同，導(dǎo)致式（3）和式（4）中的信號(hào)表示形式存在一定的偏差。但是，對(duì)于實(shí)際應(yīng)用中的各種常見(jiàn)信號(hào)，其相對(duì)帶寬大多數(shù)都比較小，該偏差也可以忽略，因此本文沿用了這種近似的表示方法。

3 時(shí)差頻差估計(jì)方法

由式（1）和式（2）不難看出，在假設(shè)信號(hào)片段s0先驗(yàn)已知的情況下，觀測(cè)數(shù)據(jù)服從高斯分布，分布函數(shù)中的未知變量集合為

其中，a0=[a1，a2]Τ，θ1=[?1，τ1，v1]Τ，θ2=[?2，τ2，v2]Τ。待估計(jì)參數(shù)的信息包含在向量θ2-θ1中。觀測(cè)數(shù)據(jù)x的分布函數(shù)為：

其中，CN(α，β)表示均值為α、方差為β的復(fù)高斯分布，，Q1=Dv1FHDτ1F，Q2=Dv2FHDτ2F，σ2表示兩個(gè)接收站上觀測(cè)數(shù)據(jù)的噪聲功率。本文假設(shè)兩個(gè)接收站上的噪聲功率相等，如果兩者不相等，也可以遵循本文思路得到相應(yīng)的時(shí)頻差估計(jì)方法和性能分析結(jié)果。

由于兩個(gè)接收站的觀測(cè)噪聲u1與u2相互獨(dú)立，幅度a1與a2依賴于電磁信號(hào)到達(dá)兩個(gè)接收站的距離和傳播損耗等互不相關(guān)的因素，因此也相互獨(dú)立。類似地，變量集θ1與θ2也相互獨(dú)立。因此可將式（6）中的分布函數(shù)改寫(xiě)為：

即優(yōu)化τ和v以最大化概率函數(shù)p(x1，x2|ξ0；s0)的問(wèn)題可以分解為對(duì)τ1與v1、τ2與v2分別進(jìn)行優(yōu)化的兩個(gè)子問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)過(guò)程為

由式（8）和式（9）分別估計(jì)兩站時(shí)延、頻移的過(guò)程相同，以式（8）為例，該似然函數(shù)的具體形式為

將式（3）中s1的表達(dá)式代入上式，得到τ1與v1的估計(jì)式為

上述單通道時(shí)延、頻移估計(jì)過(guò)程采用了與互模糊函數(shù)類似的實(shí)現(xiàn)方式。同樣地，第二個(gè)觀測(cè)站的時(shí)延、頻移的估計(jì)式為

在具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程中，通過(guò)遍歷{τ，v}的可能取值范圍，得到式（12）和式（13）中互相關(guān)函數(shù)最大幅值對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)即為，依據(jù)式（10）可以進(jìn)一步估計(jì)得到雙站時(shí)差頻差估計(jì)值，經(jīng)線性變換可最終獲得時(shí)差頻差估計(jì)值

上述方法通過(guò)估計(jì)兩站觀測(cè)信號(hào)相對(duì)于已知參考信號(hào)的時(shí)延、頻移，并計(jì)算兩者差分來(lái)估計(jì)雙站時(shí)差、頻差，其計(jì)算量主要集中在基于互模糊函數(shù)的兩站時(shí)延、頻移估計(jì)部分。僅考慮兩次時(shí)延、頻移估計(jì)過(guò)程的計(jì)算復(fù)雜度，以復(fù)數(shù)乘法次數(shù)統(tǒng)計(jì)新方法的計(jì)算量，并記時(shí)頻差搜索估計(jì)過(guò)程中時(shí)差-頻差二維網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)目為K，得到新方法的計(jì)算復(fù)雜度對(duì)比情況如表1所示。

表1 新方法的計(jì)算復(fù)雜度Tab.1 Computational complexity of the new method

4 時(shí)差頻差估計(jì)精度的CRLB分析

對(duì)參數(shù)估計(jì)精度的CRLB進(jìn)行分析可以方便評(píng)估不同方法的優(yōu)越性，并反映各種因素對(duì)參數(shù)估計(jì)性能的影響情況。然而，式（1）～式（4）給出的觀測(cè)數(shù)據(jù)模型并沒(méi)有建立觀測(cè)數(shù)據(jù)與待估計(jì)時(shí)差頻差參數(shù)之間的直接聯(lián)系，給CRLB 分析造成了困難。本部分先對(duì)該信號(hào)模型進(jìn)行改寫(xiě)，以建立直接依賴于雙站時(shí)差頻差的觀測(cè)數(shù)據(jù)模型，隨后基于該模型推導(dǎo)已知波形信號(hào)條件下的雙站時(shí)差頻差估計(jì)精度的CRLB，最后分析雙站時(shí)差頻差估計(jì)精度與對(duì)應(yīng)的單站估計(jì)性能之間的關(guān)系。

4.1 依賴于雙站時(shí)差頻差的觀測(cè)信號(hào)模型

為了方便對(duì)雙站時(shí)差頻差估計(jì)性能進(jìn)行分析，有必要將雙站時(shí)差和頻差參數(shù)在觀測(cè)信號(hào)模型中更直觀地展現(xiàn)出來(lái)。為此，參考式（3）和式（4）的形式，建立雙站接收信號(hào)之間的關(guān)聯(lián)如下：

其中a=a2/a1表示兩個(gè)接收站的相對(duì)信號(hào)增益，?=?2-?1表示兩個(gè)接收站在采集信號(hào)時(shí)的相對(duì)初始相位，

基于上述模型，將第二個(gè)接收站的觀測(cè)數(shù)據(jù)由式（2）改寫(xiě)為

其中Q=DvFHDτF。在假設(shè)入射信號(hào)的相對(duì)帶寬較小的情況下，雙站時(shí)差頻差之間滿足QQ1≈Q2，因此式（15）與式（2）、式（4）給出的信號(hào)模型近似等價(jià)。

通過(guò)改寫(xiě)第二個(gè)接收站的信號(hào)形式，觀測(cè)模型中的未知變量集合也隨之發(fā)生了變化，新的變量集合為

其中，a=[a1，a]Τ，θ1=[?1，τ1，v1]Τ，θ=[?，τ，v]Τ。通過(guò)建立和利用第二個(gè)接收站信號(hào)與第一個(gè)接收站信號(hào)之間的聯(lián)系，待估計(jì)參數(shù)τ和v更加直觀地呈現(xiàn)在了觀測(cè)數(shù)據(jù)模型中。

相應(yīng)地，觀測(cè)數(shù)據(jù)x的分布函數(shù)形式變化為：

4.2 時(shí)差頻差估計(jì)精度的CRLB推導(dǎo)

依據(jù)式（6）得到觀測(cè)數(shù)據(jù)x關(guān)于參數(shù)集ξ的Fisher信息矩陣Jξ為：

偏導(dǎo)數(shù)?μ/?ξ中的各個(gè)分塊元素分別為：

其中，L=diag(l)，P1=Dv1FHLDτ1F，P=DvFHLDτF，0表示全0向量或矩陣，其維數(shù)可由上下文確定。

對(duì)上述表達(dá)式進(jìn)行拼接，并通過(guò)數(shù)學(xué)計(jì)算得到

由式（22）可以看出，信號(hào)幅度參數(shù)a=[a1，a]Τ的估計(jì)精度與時(shí)差、頻差和相位參數(shù)的估計(jì)精度之間相互獨(dú)立。在式（18）和式（22）中，將信號(hào)幅度參數(shù)a當(dāng)作冗余參數(shù)加以剔除，得到參數(shù)集對(duì)應(yīng)的Fisher信息矩陣為：

進(jìn)一步地，由矩陣求逆引理［20］，得到參數(shù)集θ的Fisher信息矩陣為：

對(duì)式（28）求逆，就可以得到參數(shù)集θ估計(jì)精度的CRLB 矩陣，其對(duì)角線元素分別表示?、τ和v的估計(jì)值的均方誤差下限，再經(jīng)過(guò)線性變換，就可以得到兩通道時(shí)差td和頻差fd的CRLB。

綜合式（24）～（28），將CRLB 表達(dá)式中與a1和a有關(guān)的變量抽出，可以得到CRLBθ與成反比，以及隨a2單調(diào)減小的結(jié)論，表明兩個(gè)通道接收信號(hào)的幅度越大，則時(shí)差、頻差估計(jì)精度越高，這與參數(shù)估計(jì)性能的常識(shí)是吻合的。

4.3 與單通道參數(shù)估計(jì)性能的對(duì)比分析

在本文給出的雙站時(shí)差頻差估計(jì)方法中，首先利用參考信號(hào)波形先驗(yàn)信息估計(jì)兩個(gè)觀測(cè)站各自的信號(hào)時(shí)延和頻移，然后依據(jù)式（10）對(duì)兩通道參數(shù)估計(jì)值相減以得到雙站時(shí)差和頻差估計(jì)結(jié)果。相比而言，主動(dòng)雷達(dá)的回波時(shí)延和頻移估計(jì)可類比為已知波形條件下的單通道參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，也可看作是本文研究問(wèn)題在a1=1 和θ1=[?1，τ1，v1]Τ=0 條件下的簡(jiǎn)化情況。直觀來(lái)看，雙站時(shí)差、頻差均未知時(shí)的信號(hào)模型中未知參數(shù)更多，比單通道時(shí)延、頻移參數(shù)具有更強(qiáng)的不確定性，因此雙站時(shí)頻差估計(jì)精度比同等條件下雷達(dá)回波時(shí)延、頻移估計(jì)精度會(huì)有所降低。以下借助定量分析證明這一結(jié)論。

由于觀測(cè)數(shù)據(jù)x1和x2中的隨機(jī)噪聲相互獨(dú)立，所以由式（8）和式（9）得到的兩通道時(shí)延、頻移估計(jì)值的估計(jì)誤差之間也相互獨(dú)立，因此

兩通道時(shí)差和各自時(shí)延估計(jì)精度的CRLB對(duì)應(yīng)于其估計(jì)方差的最小值，因此

類似地，兩通道頻差和各自頻移估計(jì)精度的CRLB滿足：

由于參數(shù)估計(jì)精度的CRLB均為正值，因此

經(jīng)線性變換td=Tτ和fd=v/2πT之后，對(duì)時(shí)延、頻移參數(shù)可得到相同結(jié)論。

上述結(jié)論也可以由上一小節(jié)給出的CRLB的定量分析結(jié)果得到。在假設(shè)a1=1 和θ1=[?1，τ1，v1]Τ=0的條件下，通過(guò)與上一小節(jié)分析類似的過(guò)程，可以得到參數(shù)集θ=[?，τ，v]Τ的Fisher信息矩陣為：

其中，s=a1ej?1Q1s0對(duì)應(yīng)于該簡(jiǎn)化模型中的已知信號(hào)，簡(jiǎn)化后的Fisher信息矩陣表達(dá)式為

與已有成果一致。對(duì)該矩陣求逆，可以得到對(duì)應(yīng)的參數(shù)估計(jì)精度CRLB為：

所得矩陣中各對(duì)角線元素即為參數(shù)集θ=[?，τ，v]Τ中各元素估計(jì)精度的CRLB。

在第一個(gè)通道觀測(cè)數(shù)據(jù)中引入相位?1、時(shí)延td1和頻移fd1等未知參數(shù)之后，對(duì)雙通道時(shí)差、頻差的估計(jì)性能可由式（28）計(jì)算獲得。對(duì)該式求逆，得到參數(shù)集θ估計(jì)精度的CRLB矩陣為：

記M=C-1D(B-DΤC-1D)-1DΤC-1，顯然該矩陣為正定矩陣。取e2=[0，1，0]Τ，e3=[0，0，1]Τ，則兩種情況下對(duì)τ和v的估計(jì)精度的CRLB滿足如下關(guān)系：

即相比于第二個(gè)通道的時(shí)延、頻移參數(shù)估計(jì)結(jié)果，未知參數(shù)集θ1的引入降低了雙通道信號(hào)時(shí)差和頻差的估計(jì)精度。

類似地，如果在上兩個(gè)小節(jié)的時(shí)差、頻差估計(jì)性能分析過(guò)程中，保留未知參數(shù)集為ξ′=[a′Τ，θΤ2，θΤ]Τ，其中a′=[a2，a′]Τ，a′=a1/a2，θ2=[?2，τ2，v2]Τ。則借助類似的分析，也可以證明雙通道時(shí)差頻差估計(jì)精度低于第一個(gè)通道的時(shí)延、頻移參數(shù)估計(jì)精度。

5 仿真實(shí)驗(yàn)

本部分借助仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證論文所提出的時(shí)差頻差估計(jì)方法的性能，以及已知信號(hào)波形條件下關(guān)于雙站時(shí)頻差估計(jì)性能的理論分析結(jié)果的正確性。仿真過(guò)程中通過(guò)改變觀測(cè)站與輻射源之間的時(shí)差頻差值、兩通道接收信號(hào)的信噪比等參數(shù)來(lái)構(gòu)造不同的場(chǎng)景，選取多次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)中得到的參數(shù)估計(jì)均方根誤差作為性能評(píng)價(jià)指標(biāo)，并在對(duì)應(yīng)場(chǎng)景下比較了4 種時(shí)差頻差精度，包括：①本文所提出的時(shí)差頻差估計(jì)方法，估計(jì)值由式（10）最終給出；②基于互模糊函數(shù)（CAF）的傳統(tǒng)方法［11-15］；③兩通道累積誤差，為兩通道時(shí)延、頻移值估計(jì)誤差平方和的算術(shù)平方根，即，其 中M表 示統(tǒng)計(jì)仿真次數(shù)，上標(biāo)(m)表示第m次仿真中對(duì)應(yīng)參數(shù)的估計(jì)值，兩通道的時(shí)差頻差估計(jì)值分別由式（12）和式（13）給出；④時(shí)差頻差估計(jì)精度的CRLB，通過(guò)對(duì)式（28）的Fisher信息矩陣求逆得到。

上述比較對(duì)象②中互模糊函數(shù)可看作一種近似最大似然方法，用于估計(jì)兩站接收信號(hào)的時(shí)差頻差，即

在具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程中，通過(guò)遍歷{τ，v}的可能取值范圍，得到上式中互相關(guān)函數(shù)最大幅值對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)即為，經(jīng)線性變換可最終獲得時(shí)差頻差估計(jì)值

仿真實(shí)驗(yàn)中，假設(shè)兩個(gè)觀測(cè)站與輻射源之間的幾何構(gòu)型如圖1所示，輻射源靜止不動(dòng)，兩個(gè)觀測(cè)站以不同速度沿水平方向高速運(yùn)動(dòng)，它們與輻射源之間的距離差異和相對(duì)徑向速度差異造成了雙站接收信號(hào)之間的時(shí)間差和頻率差。假設(shè)入射信號(hào)采用BPSK 調(diào)制，信號(hào)帶寬為200 kHz，信號(hào)持續(xù)時(shí)長(zhǎng)為1.5 ms，信號(hào)原始波形先驗(yàn)已知，但該波形會(huì)在被兩個(gè)觀測(cè)站接收時(shí)因傳播時(shí)延和多普勒頻移等因素而產(chǎn)生變化。接收機(jī)采樣率為1 MHz，每種場(chǎng)景下的統(tǒng)計(jì)仿真次數(shù)為500次。

圖1 觀測(cè)站與輻射源的幾何構(gòu)型Fig.1 Geometric relationship between observation station and radiation source

首先，基于圖1中描述的幾何構(gòu)型，進(jìn)一步假設(shè)輻射源與兩個(gè)觀測(cè)站基線中點(diǎn)的斜距為15 km，兩個(gè)觀測(cè)站距離20 km，兩個(gè)觀測(cè)站分別以150 m/s 和250 m/s的速度沿水平方向運(yùn)動(dòng)，固定兩個(gè)觀測(cè)站接收信號(hào)的信噪比為-2 dB、時(shí)差和頻差分別為7.12 μs和1 kHz，并假設(shè)兩個(gè)觀測(cè)站接收信號(hào)的信噪比相等且逐漸變化，得到不同方法的時(shí)差頻差估計(jì)精度隨信噪比的變化情況如圖2所示。

圖2 兩個(gè)觀測(cè)站接收信號(hào)信噪比同步變化時(shí)的時(shí)差、頻差估計(jì)精度Fig.2 Τime difference and frequency difference estimation accuracies when the signal-to-noise ratio of the signals received at two observation stations changes synchronously

圖2 中的仿真結(jié)果表明，新方法借助對(duì)信號(hào)波形先驗(yàn)信息的利用，獲得了顯著優(yōu)于傳統(tǒng)CAF方法的時(shí)差頻差估計(jì)精度。新方法在兩個(gè)觀測(cè)站接收信號(hào)低至-5 dB 時(shí)，就能夠獲得高精度的時(shí)差、頻差估計(jì)結(jié)果，且隨著信噪比的進(jìn)一步升高，其參數(shù)估計(jì)性能與CRLB 十分吻合，且與兩通道參數(shù)估計(jì)結(jié)果的累積誤差基本一致，表明該方法是一種近似最優(yōu)的估計(jì)方法，這些現(xiàn)象較好地驗(yàn)證了第四部分的理論分析結(jié)果。相比而言，傳統(tǒng)CAF方法只有在信噪比升高至10 dB 左右時(shí)才能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)時(shí)差、頻差的可靠估計(jì)，其信噪比適應(yīng)能力與新方法相比有較大差距，這一差距說(shuō)明了在時(shí)頻差估計(jì)過(guò)程中對(duì)信號(hào)波形先驗(yàn)信息進(jìn)行充分利用的重要性。

隨后，在上一組仿真實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，固定第一個(gè)觀測(cè)站接收信號(hào)的信噪比為0 dB，逐漸改變第二個(gè)觀測(cè)站接收信號(hào)的信噪比，得到幾種方法的時(shí)差、頻差估計(jì)精度的變化情況如圖3所示。

圖3 單個(gè)觀測(cè)站接收信號(hào)信噪比變化時(shí)的時(shí)差、頻差估計(jì)精度Fig.3 Τime difference and frequency difference estimation accuracies when the signal-to-noise ratio of the signal received at a single observation station changes

圖3中的仿真結(jié)果再次驗(yàn)證了新方法相比于傳統(tǒng)CAF方法在信噪比適應(yīng)能力方面的顯著優(yōu)勢(shì)。與圖2 中的結(jié)果類似，新方法和傳統(tǒng)CAF 方法分別在第二個(gè)觀測(cè)站的信噪比超過(guò)-5 dB和10 dB時(shí)達(dá)到收斂，新方法具有約15 dB的信噪比適應(yīng)能力優(yōu)勢(shì)。進(jìn)一步還可以看出，由于這一場(chǎng)景中兩個(gè)觀測(cè)站信噪比沒(méi)有同步增大，圖3和圖2中的結(jié)果之間也存在一定區(qū)別。圖3 中時(shí)頻差估計(jì)精度的CRLB 和新方法的時(shí)頻差估計(jì)均方根誤差并沒(méi)有隨著第二個(gè)觀測(cè)站接收信號(hào)的信噪比提高而呈對(duì)數(shù)線性規(guī)律減小，參數(shù)估計(jì)精度提高的速度更慢一些。對(duì)比式（28）中的Fisher信息矩陣和相應(yīng)的CRLB表達(dá)式，盡管CRLBθ與單個(gè)觀測(cè)站接收信號(hào)的功率成反比，但在單個(gè)觀測(cè)站功率增大、另一個(gè)觀測(cè)站功率保持不變的過(guò)程中，兩個(gè)觀測(cè)站的信號(hào)功率之比a2隨之減小，給參數(shù)估計(jì)精度的提高帶來(lái)了負(fù)面影響，最終減緩了參數(shù)估計(jì)精度的提高速度。當(dāng)?shù)诙€(gè)觀測(cè)站接收信號(hào)的信噪比超過(guò)0 dB 后，新方法的時(shí)頻差估計(jì)精度與CRLB之間存在一定偏離，這也是由第一個(gè)觀測(cè)站接收信號(hào)中較為顯著的觀測(cè)噪聲造成的。

6 結(jié)論

本文針對(duì)觀測(cè)站與輻射源之間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)的場(chǎng)景，充分利用信號(hào)波形先驗(yàn)信息提出了一種時(shí)差頻差高精度估計(jì)方法，并理論推導(dǎo)了參數(shù)估計(jì)精度的CRLB，分析了時(shí)差頻差估計(jì)精度與單通道時(shí)延、頻移估計(jì)精度之間的關(guān)系。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，借助對(duì)信號(hào)波形先驗(yàn)信息的利用，新方法獲得了比基于互模糊函數(shù)的傳統(tǒng)時(shí)差頻差估計(jì)方法更高的參數(shù)估計(jì)精度，以及對(duì)低信噪比等非理想信號(hào)環(huán)境的更強(qiáng)的適應(yīng)能力。在所設(shè)定的信號(hào)環(huán)境中，新方法對(duì)低信噪比的適應(yīng)能力比基于互模糊函數(shù)的傳統(tǒng)方法增強(qiáng)了15 dB 左右。當(dāng)新方法的參數(shù)估計(jì)性能達(dá)到收斂之后，其時(shí)差頻差估計(jì)精度與CRLB非常吻合，且與兩通道各自的時(shí)延、頻移估計(jì)結(jié)果的累積誤差一致，這些現(xiàn)象證明了本文理論分析結(jié)果的正確性。