EMVS互質(zhì)面陣張量波束成形

鄭 航 周成偉*，2 王 勇 史治國(guó)，3

（1.浙江大學(xué)信息與電子工程學(xué)院，浙江杭州 310027；2.浙江省協(xié)同感知與自主無(wú)人系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江杭州 310015；3.浙江大學(xué)國(guó)際聯(lián)合創(chuàng)新中心，浙江海寧 314400）

1 引言

在雷達(dá)、遙感、無(wú)線通信、射電天文等應(yīng)用場(chǎng)景中，通過(guò)部署傳感器陣列對(duì)空間信源的波達(dá)方向進(jìn)行精準(zhǔn)測(cè)算，是實(shí)現(xiàn)目標(biāo)測(cè)向、定位、跟蹤等諸多功能的基本前提［1-3］。波束成形作為一項(xiàng)基礎(chǔ)性陣列信號(hào)處理技術(shù)，能夠?qū)鞲衅麝嚵薪邮招盘?hào)進(jìn)行空域?yàn)V波形成指向性空間波束，通過(guò)波束掃描得到不同方向的空間響應(yīng)，從而實(shí)現(xiàn)信源測(cè)向［4-7］。波束成形技術(shù)能夠有效抵抗干擾且易于部署，已被廣泛應(yīng)用于各類傳感器陣列系統(tǒng)中，長(zhǎng)期以來(lái)發(fā)揮著重要作用。隨著實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景中對(duì)信源測(cè)向性能需求的不斷提高，現(xiàn)有系統(tǒng)所布設(shè)的傳感器陣列逐漸演變出新的特點(diǎn)。一方面，為了在系統(tǒng)軟硬件資源受限的條件下提升信號(hào)感知能力，稀疏化陣元排布的陣列架構(gòu)開(kāi)始得到關(guān)注［8-11］，其中，互質(zhì)陣列作為一種擁有系統(tǒng)化結(jié)構(gòu)的典型稀疏陣列，能夠突破傳統(tǒng)均勻陣列信號(hào)處理在奈奎斯特采樣速率上的限制，在使用相同數(shù)量傳感器陣元的條件下?lián)碛懈蟮年嚵锌讖?，從而有效提升波束分辨率?2-17］；另一方面，為了滿足復(fù)雜信源測(cè)向場(chǎng)景感知空間極化信息的需求，電磁矢量傳感器（electromagnetic vector sensor，EMVS）陣列相比于傳統(tǒng)的標(biāo)量傳感器陣列，能夠獲取入射信號(hào)的多極化狀態(tài)，通過(guò)利用更加全面的空間電磁信息與更強(qiáng)的干擾抵抗性，提供更為精準(zhǔn)的波束控制與角度估計(jì)能力［18-19］。為此，如何發(fā)掘互質(zhì)陣列和EMVS 陣元的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，形成相匹配的波束成形算法設(shè)計(jì)框架，是當(dāng)前一個(gè)國(guó)際前沿研究熱點(diǎn)。

為了發(fā)揮互質(zhì)陣列的大孔徑優(yōu)勢(shì)并降低波束成形器的軟硬件復(fù)雜度，面向互質(zhì)線陣的自適應(yīng)波束成形算法受到廣泛關(guān)注［20-23］。其中，文獻(xiàn)［23］結(jié)合互質(zhì)線陣參數(shù)估計(jì)與稀疏協(xié)方差矩陣重建思想，提出了一種面向互質(zhì)線陣的魯棒自適應(yīng)波束成形算法。為了利用互質(zhì)陣列波束成形實(shí)現(xiàn)信源測(cè)向，文獻(xiàn)［24］針對(duì)互質(zhì)線陣的陣元稀疏排布特點(diǎn)，從互質(zhì)線陣稀疏子陣波束譜的分布特性出發(fā)，提出了基于乘性準(zhǔn)則和最小化功率準(zhǔn)則的波束功率合成方法，通過(guò)虛峰抑制的波束掃描測(cè)算信源波達(dá)方向。基于該技術(shù)框架，相關(guān)研究針對(duì)交叉項(xiàng)消除［25］、分辨率增強(qiáng)［26］和水聲探測(cè)［27］等具體問(wèn)題及實(shí)際應(yīng)用環(huán)境特點(diǎn)提出了相適應(yīng)的改進(jìn)方案，促進(jìn)了互質(zhì)線陣波束功率合成方法在信源測(cè)向上的推廣應(yīng)用。另一方面，為了利用EMVS 陣列的極化域信息，文獻(xiàn)［28］提出了一種基于廣義旁瓣相消的EMVS 陣列波束成形方法，并證明了該方法相比于傳統(tǒng)Capon波束成形算法具有更小的波達(dá)方向估計(jì)誤差。文獻(xiàn)［29］考慮極化方向的魯棒約束，設(shè)計(jì)能夠應(yīng)對(duì)陣元位置失配的EMVS 陣列魯棒波束成形器，進(jìn)一步提升了波達(dá)方向的估計(jì)精度?？紤]到互質(zhì)陣列和EMVS 陣元均能夠有效促進(jìn)波束成形輸出性能的提升，融合互質(zhì)陣元排布特點(diǎn)與EMVS 陣元的EMVS 互質(zhì)線陣應(yīng)用研究開(kāi)始興起。相關(guān)研究工作結(jié)合增廣虛擬域處理［30-31］與多重信號(hào)分類（multiple signal classification，MUSIC）方法，驗(yàn)證了部署EMVS 互質(zhì)線陣進(jìn)行信源測(cè)向的可行性［32］；文獻(xiàn)［33］基于EMVS 互質(zhì)稀疏子陣信號(hào)的平行因子分析實(shí)現(xiàn)了信源測(cè)向的性能提升。為了滿足三維空間的信源測(cè)向需求，EMVS 互質(zhì)線陣亟待向EMVS互質(zhì)面陣演變，以便感知更大范圍、更高維度的空間信息。針對(duì)互質(zhì)面陣信源測(cè)向需求，基于虛擬域稀疏恢復(fù)的方法能夠在克服相位模糊的前提下實(shí)現(xiàn)二維波達(dá)方向估計(jì)［34］；文獻(xiàn)［35］利用一種互質(zhì)雙平行陣列，在虛擬域上應(yīng)用root-MUSIC方法以完成信源波達(dá)方向搜索。然而，這些方法將多快拍接收信號(hào)堆疊成矩陣并作后續(xù)統(tǒng)計(jì)處理。在EMVS互質(zhì)面陣場(chǎng)景中，由于接收信號(hào)涵蓋了多維度信息，基于矩陣信號(hào)建模與處理的方法將破壞多維接收信號(hào)的原始結(jié)構(gòu)，進(jìn)而影響信源測(cè)向的性能。為此，如何設(shè)計(jì)匹配EMVS互質(zhì)面陣多維信號(hào)結(jié)構(gòu)的空域?yàn)V波算法，已成為當(dāng)前一個(gè)亟待解決的研究難點(diǎn)問(wèn)題。

張量作為一種多維度的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，被用于表征三維及三維以上的數(shù)據(jù)。豐富的張量分解工具為張量數(shù)據(jù)的高維特征提取和分析提供了技術(shù)支撐［36］。近年來(lái)，張量模型被廣泛應(yīng)用于陣列信號(hào)處理領(lǐng)域，用于表征多維信號(hào)并實(shí)現(xiàn)張量化參數(shù)估計(jì)［37-40］。通過(guò)引入張量進(jìn)行EMVS互質(zhì)面陣接收信號(hào)建模，能夠有效保留其所涵蓋的復(fù)雜空間/時(shí)間/電磁特征，并利用張量代數(shù)工具，在不破壞信號(hào)原始結(jié)構(gòu)的前提下實(shí)現(xiàn)高性能的角度信息提取?？紤]到張量模型的優(yōu)越性，面向多維信號(hào)的張量波束成形算法成為一個(gè)新興的研究熱點(diǎn)。具體而言，文獻(xiàn)［41-43］分別提出了面向均勻面陣的最小均方誤差（minimum mean square error，MMSE），線性約束最小方差（linear constrained minimum variance，LCMV）以及最小方差無(wú)畸變響應(yīng)（minimum variance distortionless response，MVDR）等傳統(tǒng)波束成形設(shè)計(jì)準(zhǔn)則的張量表征方法，并利用張量分解對(duì)所設(shè)計(jì)張量權(quán)重優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解，驗(yàn)證了對(duì)張量信號(hào)進(jìn)行結(jié)構(gòu)化空域?yàn)V波的可行性。進(jìn)一步地，上述張量波束成形算法亦被推廣應(yīng)用于極化敏感陣列及大規(guī)模分布式陣列等復(fù)雜場(chǎng)景中［44-45］。然而，現(xiàn)有方法僅適用于滿足奈奎斯特采樣速率的均勻面陣場(chǎng)景，而在EMVS 互質(zhì)面陣場(chǎng)景下，陣元的稀疏排布將導(dǎo)致模型失配問(wèn)題，由此引入的虛峰將嚴(yán)重干擾張量波束成形器對(duì)信號(hào)源波達(dá)方向的精準(zhǔn)刻畫。文獻(xiàn)［46-47］提出了面向互質(zhì)面陣的稀疏張量模型，分別從虛擬域張量信源辨識(shí)度優(yōu)化和非連續(xù)虛擬域張量填充的角度，實(shí)現(xiàn)了高自由度、高精度的二維波達(dá)方向估計(jì)。然而，這些方法沒(méi)有考慮部署EMVS互質(zhì)面陣。因此，如何匹配EMVS 稀疏陣元排布特點(diǎn)進(jìn)行虛峰抑制，是利用EMVS 互質(zhì)面陣張量波束成形進(jìn)行有效信源測(cè)向的關(guān)鍵。

本文提出了一種面向EMVS 互質(zhì)面陣的張量波束成形算法，實(shí)現(xiàn)了基于EMVS 互質(zhì)面陣接收信號(hào)的多維空域?yàn)V波與信源精準(zhǔn)測(cè)向。首先，將構(gòu)成EMVS 互質(zhì)面陣的稀疏均勻子面陣接收信號(hào)表示為一對(duì)涵蓋多維度空間電磁信息的張量。在張量信號(hào)建模的基礎(chǔ)上，構(gòu)建面向稀疏均勻子面陣張量信號(hào)的結(jié)構(gòu)化空域?yàn)V波準(zhǔn)則，并設(shè)計(jì)相應(yīng)的張量化最小方差無(wú)畸變響應(yīng)優(yōu)化問(wèn)題。為了有效求解該優(yōu)化問(wèn)題，對(duì)張量權(quán)重進(jìn)行canonical polyadic分解，將原始張量化最小方差無(wú)畸變響應(yīng)優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)波達(dá)方向信息維度與極化狀態(tài)信息維度的子問(wèn)題，并根據(jù)這些子問(wèn)題所對(duì)應(yīng)空間維度信息的耦合關(guān)系設(shè)計(jì)交替迭代求解方法，以獲得張量權(quán)重的全局最優(yōu)解。進(jìn)而，基于稀疏均勻子面陣的陣元互質(zhì)排布特點(diǎn)分析，理論證明各子面陣所對(duì)應(yīng)虛峰的互不重疊特性。從抑制虛峰的角度出發(fā)，設(shè)計(jì)波束功率的互質(zhì)合成方法，以此構(gòu)造EMVS 互質(zhì)面陣張量波束功率圖，在波達(dá)方向平面上精準(zhǔn)刻畫信源空間方位。所提算法既能夠充分利用EMVS 互質(zhì)面陣接收信號(hào)的多維結(jié)構(gòu)化信息，又能夠匹配其陣元稀疏排布特點(diǎn)實(shí)現(xiàn)虛峰抵消。仿真結(jié)果表明，所提算法具有相較于EMVS 均勻面陣張量波束成形算法更好的信源測(cè)向效果。

2 EMVS互質(zhì)面陣的張量信號(hào)建模

如圖1 所示，EMVS 互質(zhì)面陣P 由兩個(gè)稀疏均勻子面陣P1和P2組成，P1和P2分別包含M1×N1和M2×N2個(gè)傳感器陣元，且(M1，M2)和(N1，N2)為兩對(duì)互質(zhì)整數(shù)。稀疏均勻子面陣P1的傳感器陣元在x軸和y軸方向上的間隔分別為M2d和N2d，其中d=λ/2 為單位陣元間距，λ表示信號(hào)波長(zhǎng)。類似地，稀疏均勻子面陣P2的傳感器陣元在x軸和y軸方向上的間隔分別為M1d和N1d。由此，P1中第(m1，n1)個(gè)傳感器陣元在x軸和y軸方向上的位置分別為x1(m1)=(m1-1)M2d和y1(n1)=(n1-1)N2d，其 中m1=1，2，…，M1，n1=1，2，…，N1；P2中第(m2，n2)個(gè)傳感器陣元在x軸和y軸方向上的位置分別為x2(m2)=(m2-1)M1d和y2(n2)=(n2-1)N1d，其中m2=1，2，…，M2，n2=1，2，…，N2。由于 兩個(gè)稀疏 均勻子面陣的傳感器陣元排布滿足互質(zhì)條件，P1和P2只有在位于原點(diǎn)處的傳感器陣元(m1=n1=m2=n2=1)相互重合，而其余傳感器陣元在xoy平面內(nèi)均不重合；因此，EMVS互質(zhì)面陣P中傳感器陣元的數(shù)量為M1N1+M2N2-1。同時(shí)，與傳統(tǒng)標(biāo)量傳感器不同的是，EMVS 互質(zhì)面陣中各傳感器陣元利用三個(gè)相互正交的電偶極子和三個(gè)相互正交的磁偶極子來(lái)實(shí)現(xiàn)極化狀態(tài)的感知，形成六路輸出以描述完備的電磁場(chǎng)信息。

圖1 EMVS互質(zhì)面陣結(jié)構(gòu)示意圖（以M1=N1=5，M2=N2=4為例）Fig.1 EMVS coprime planar array geometry（M1=N1=5，M2=N2=4）

假設(shè)K個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶非相關(guān)信號(hào)源從{(θk，?k)，k=1，2，…，K}方向入射至EMVS 互質(zhì)面陣，其中θk和?k分別表示第k個(gè)信號(hào)源的方位角和俯仰角，且θk?[-π/2，π/2]，?k?[-π/2，π/2]。EMVS 互質(zhì)面陣中各傳感器陣元的六路輸出同時(shí)包含了波達(dá)方向信息和極化狀態(tài)信息，可表示為一個(gè)電磁響應(yīng)矢量：

分別表示對(duì)應(yīng)第k個(gè)信號(hào)源的空域響應(yīng)矩陣和極化狀態(tài)矢量，γk?[0，2π]和ηk?[-π，π]分別表示對(duì)應(yīng)第k個(gè)信號(hào)源的極化輔助角和極化相位差，且

為了保留稀疏均勻子面陣Pi(i=1，2)在t時(shí)刻接收信號(hào)的多維電磁信息，即x軸方向、y軸方向的波達(dá)方向信息以及極化狀態(tài)信息，將其建模為一個(gè)三維張量：

分別表示EMVS互質(zhì)面陣在x軸和y軸方向上的導(dǎo)引矢量，對(duì)應(yīng)第k個(gè)信號(hào)源，且μk=sin?kcosθk，νk=sin?ksinθk，sk(t)為t時(shí)刻的采樣信號(hào)，t=1，2，…，T，T為采樣快拍數(shù)，?表示外積操作，(?)Τ表示轉(zhuǎn)置操作，Ni(t)為t時(shí)刻獨(dú)立同分布的加性高斯白噪聲張量。進(jìn)一步地，將所采集T個(gè)采樣快拍的三維張量信號(hào){Xi(t)，t=1，2，…，T}在第四維度（即時(shí)間維度）上進(jìn)行疊加，構(gòu)造出稀疏均勻子面陣Pi的四維張量接收信號(hào)：

其中，sk=[sk(1)，sk(2)，…，sk(T)]Τ?CT表示第k個(gè)信號(hào)源的多快拍采樣信號(hào)矢量，Ni表示四維高斯白噪聲張量。

3 面向EMVS 互質(zhì)面陣的張量波束成形器設(shè)計(jì)

本節(jié)介紹所提面向EMVS互質(zhì)面陣的張量波束成形器，包括稀疏均勻子面陣張量信號(hào)的空域?yàn)V波準(zhǔn)則，張量化最小方差無(wú)畸變響應(yīng)優(yōu)化問(wèn)題分解策略及對(duì)應(yīng)的交替迭代求解方法，基于張量空間質(zhì)數(shù)分解唯一性定理的稀疏均勻子面陣波束分布特性分析，以及基于波束功率互質(zhì)合成的張量波束成形輸出。

3.1 張量信號(hào)空域?yàn)V波準(zhǔn)則設(shè)計(jì)

由于構(gòu)成EMVS 互質(zhì)面陣的兩個(gè)稀疏均勻子面陣中的陣元排布不滿足奈奎斯特采樣定理，由此帶來(lái)的相位模糊將導(dǎo)致波束功率圖上產(chǎn)生虛峰，進(jìn)而直接影響信源測(cè)向性能。為此，本小節(jié)從面向稀疏均勻子面陣張量信號(hào)的空域?yàn)V波準(zhǔn)則入手，提出張量化最小方差無(wú)畸變響應(yīng)優(yōu)化問(wèn)題，為后續(xù)剖析虛峰在波達(dá)方向平面上的分布特性并設(shè)計(jì)張量波束功率的互質(zhì)合成方法提供理論基礎(chǔ)。

具體地，針對(duì)稀疏均勻子面陣Pi在t時(shí)刻的張量接收信號(hào)Xi(t)，設(shè)計(jì)一個(gè)具有相同三維結(jié)構(gòu)的張量權(quán)重Wi?CMi×Ni×6對(duì)其進(jìn)行加權(quán)，如圖2 所示，輸出信號(hào)yi(t)可以表示為如下形式：

圖2 稀疏均勻子面陣張量信號(hào)的張量權(quán)重加權(quán)示意圖Fig.2 Illustration of spatial filtering of the sparse subarray tensor signals with a tensor weight

圖3 張量波束功率互質(zhì)合成處理框架示意圖Fig.3 Illustration of coprime synthesis of tensor beam power

為了獲得兩個(gè)稀疏均勻子面陣所對(duì)應(yīng)的張量權(quán)重Wi，需要最小化張量波束成形的平均輸出功率，并保證波束掃描方向信號(hào)無(wú)失真，具體優(yōu)化問(wèn)題可表示為：

表示輸出信號(hào)功率，

表示張量信號(hào)Xi(t)的六維協(xié)方差張量，

表示稀疏均勻子面陣Pi對(duì)應(yīng)第k個(gè)信號(hào)源的三維導(dǎo)引張量，| · |表示復(fù)數(shù)的求模操作，E[·]表示取期望操作。這里，分別表示波束掃描的方位角和俯仰角，。在實(shí)際應(yīng)用中，六維協(xié)方差張量Ri可通過(guò)計(jì)算Xi(t)的采樣協(xié)方差張量近似得到，即：

式（9）所構(gòu)造張量化最小方差無(wú)畸變響應(yīng)優(yōu)化問(wèn)題以張量信號(hào)加權(quán)輸出功率為優(yōu)化目標(biāo)，在極化輔助角γk和極化相位差ηk理想已知的條件下，當(dāng)波束掃描至信號(hào)源波達(dá)方向上，即時(shí)，所對(duì)應(yīng)張量波束功率呈現(xiàn)為最大響應(yīng)，即在張量波束功率圖對(duì)應(yīng)位置上形成主瓣；由此，通過(guò)遍歷波束掃描方位角和俯仰角的取值范圍，能夠在波達(dá)方向平面上有效反映信源的方位。

3.2 基于張量權(quán)重分解的交替迭代求解方法

由于優(yōu)化問(wèn)題（9）的優(yōu)化目標(biāo)和約束條件中包含張量外積和內(nèi)積項(xiàng)，因此該問(wèn)題是一個(gè)非凸優(yōu)化問(wèn)題。傳統(tǒng)優(yōu)化方法以矩陣信號(hào)處理和矩陣代數(shù)為基本前提，無(wú)法對(duì)所提張量化最小方差無(wú)畸變響應(yīng)優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行直接求解。同時(shí)，優(yōu)化問(wèn)題（9）的非凸屬性也導(dǎo)致其無(wú)法提供一個(gè)閉式的全局最優(yōu)解，嚴(yán)重影響了所提算法的實(shí)用性。為此，本文提出對(duì)張量權(quán)重進(jìn)行分解，將原始優(yōu)化問(wèn)題（9）轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)波達(dá)方向信息維度和極化狀態(tài)信息維度的子問(wèn)題，并設(shè)計(jì)相應(yīng)的交替迭代求解方法。具體而言，將三維張量權(quán)重Wi與Xi(t)的各空間維度信息逐一對(duì)應(yīng)，可將Wi用canonical polyadic 分解的方式表示為對(duì)應(yīng)于x軸波達(dá)方向信息、y軸波達(dá)方向信息和極化狀態(tài)信息的波束成形權(quán)重矢量，具體形式如下：

將式（14）代入式（8）中，則采用張量權(quán)重Wi對(duì)張量信號(hào)Xi(t)的加權(quán)可等價(jià)表示為三個(gè)權(quán)重矢量對(duì)其進(jìn)行結(jié)構(gòu)化加權(quán)，如圖2所示，則輸出信號(hào)yi(t)可等價(jià)表示為：

其中，×r表示沿著第r維度的張量-矩陣內(nèi)積操作。

基于式（15）的張量信號(hào)結(jié)構(gòu)化加權(quán)形式，利用對(duì)應(yīng)稀疏均勻子面陣Pi任意兩個(gè)維度的權(quán)重矢量對(duì)Xi(t)進(jìn)行加權(quán)，則相應(yīng)的剩余維度，即x軸波達(dá)方向信息維度、y軸波達(dá)方向信息維度和極化狀態(tài)信息維度的輸出信號(hào)可分別表示為：

相應(yīng)地，稀疏均勻子面陣Pi的張量波束成形輸出信號(hào)yi(t)可等價(jià)表示為：

其中()·H表示共軛轉(zhuǎn)置操作。將式（19）中輸出信號(hào)yi(t)的三種等價(jià)表示形式代入張量化最小方差無(wú)畸變響應(yīng)優(yōu)化問(wèn)題（9）中，可將其分解為以下三個(gè)子問(wèn)題：

分別表示對(duì)應(yīng)x軸波達(dá)方向信息維度、y軸波達(dá)方向信息維度和極化狀態(tài)信息維度的協(xié)方差矩陣。由于這些子問(wèn)題的優(yōu)化目標(biāo)和約束條件中均不包含張量，因此它們是凸優(yōu)化問(wèn)題，能夠通過(guò)拉格朗日乘子法有效求得它們的局部最優(yōu)解。

進(jìn)而，根據(jù)這些子問(wèn)題所對(duì)應(yīng)空間維度信息的耦合關(guān)系，可以對(duì)它們進(jìn)行交替迭代求解得到張量權(quán)重的全局最優(yōu)解。具體而言，子問(wèn)題（20）優(yōu)化目標(biāo)中的Rxi包含了其他兩個(gè)子問(wèn)題（21）、（22）中的優(yōu)化變量wyi，wpi，子問(wèn)題（21）優(yōu)化目標(biāo)中的Ryi包含了其他兩個(gè)子問(wèn)題（20）、（23）中的優(yōu)化變量wxi，wpi，而子問(wèn)題（22）優(yōu)化目標(biāo)中的Rpi包含了其他兩個(gè)子問(wèn)題（20）、（21）中的優(yōu)化變量wxi，wyi，因此基于交替迭代優(yōu)化的思想對(duì)上述三個(gè)子問(wèn)題進(jìn)行聯(lián)合求解。首先，將波束成形權(quán)重矢量wxi，wyi和wpi初始化為，根據(jù)式（23）計(jì)算得到對(duì)應(yīng)x軸波達(dá)方向信息維度的協(xié)方差矩陣Rxi；隨后，利用拉格朗日乘子法求得子問(wèn)題（20）的局部最優(yōu)解：

將式（26）中的局部最優(yōu)解wˉxi代入式（24）中計(jì)算協(xié)方差矩陣Ryi，并通過(guò)拉格朗日乘子法求得子問(wèn)題（21）的局部最優(yōu)解：

重復(fù)式（26）～（28）的優(yōu)化過(guò)程交替迭代更新三個(gè)權(quán)重矢量，并在每次迭代中根據(jù)式（15）計(jì)算輸出信號(hào)yi(t)的功率σ=|yi(t)|2。在第η次迭代中（η≥2），對(duì)比輸出信號(hào)功率ση與前一次迭代所對(duì)應(yīng)輸出信號(hào)功率ση-1的差值，當(dāng)Ξη=ση-ση-1≤δ時(shí)，上述三個(gè)子問(wèn)題的交替迭代優(yōu)化收斂，其中δ>0 表示一個(gè)預(yù)定義的收斂閾值。由此，通過(guò)序貫求解子問(wèn)題（20）～（22），可以得到面向稀疏均勻子面陣Pi的全局最優(yōu)張量權(quán)重以此為基礎(chǔ)，下一小節(jié)通過(guò)研究?jī)蓚€(gè)稀疏均勻子面陣的波束分布特性，設(shè)計(jì)匹配陣元稀疏排布特點(diǎn)的EMVS 互質(zhì)面陣張量波束功率處理方法，從而實(shí)現(xiàn)虛峰抵消的張量波束成形。

3.3 稀疏均勻子面陣的波束分布特性分析

定理1P1和P2所對(duì)應(yīng)張量波束功率在信號(hào)源方向上形成主瓣，而在其他位置形成的虛峰互不重疊。

根據(jù)式（5）、（6）中導(dǎo)引矢量ai(μk)，ai(νk)的定義，結(jié)合式（30）、（31）的等價(jià)關(guān)系，從ai(μk)，ai(νk)的指數(shù)項(xiàng)推導(dǎo)可得［48］：

其中，P1，P2，Q1，Q2為非零整數(shù)。從式（32）、（33）中可得出以下關(guān)系：

然而，由于互質(zhì)整數(shù)對(duì)(M1，M2)和(N1，N2)的最大公約數(shù)均為1，并不存在能夠滿足式（34）等價(jià)條件的非零整數(shù)P1，P2，Q1，Q2。因此，除了信號(hào)源方向(θk，?k)以外，并不存在其他模糊方向能夠使得張量波束功率在對(duì)應(yīng)位置上同時(shí)輸出最大響應(yīng)。由此可知，僅在對(duì)應(yīng)信號(hào)源波達(dá)方向(θk，?k)的位置上形成主瓣，而在其他位置形成的虛峰互不重疊。證畢。

定理1 基于張量權(quán)重的可分解性，將張量化無(wú)畸變響應(yīng)約束投影至不同維度上，利用張量空間的質(zhì)數(shù)分解唯一性證明了EMVS 互質(zhì)面陣中兩個(gè)稀疏均勻子面陣所對(duì)應(yīng)虛峰的互不重疊特性。該結(jié)論為后續(xù)通過(guò)稀疏均勻子面陣波束功率的互質(zhì)合成實(shí)現(xiàn)虛峰抵消的張量波束成形提供了基礎(chǔ)。

3.4 基于波束功率互質(zhì)合成的張量波束成形

4 仿真實(shí)驗(yàn)

首先，通過(guò)繪制張量波束功率圖開(kāi)展仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)比，以驗(yàn)證所提EMVS 互質(zhì)面陣張量波束成形算法的有效性?？紤]如圖1 所示共包含40 個(gè)陣元的EMVS 互質(zhì)面陣結(jié)構(gòu)，假定兩個(gè)信號(hào)源的入射方向分別為(θ1，?1)=(15.5°，20.5°)和(θ2，?2)=(45.5°，60.5°)，對(duì)應(yīng)已知的極化輔助角和極化相位差為(γk，ηk)=(40°，20°)，k=1，2。所提算法的收斂閾值設(shè)置為δ=10-3，波束掃描的角度間隔設(shè)置為Δ=0.1°。在信源信噪比SNR=5 dB，采樣快拍數(shù)T=300的條件下，在圖4（a）、（b）中繪制稀疏均勻子面陣P1和P2的張量波束功率圖，在 圖4（c）中繪制基于乘積最小化處理的互質(zhì)合成張量波束功率圖，并將其分別投影至方位角維度和俯仰角維度上，如圖4（d）、（e）所示。

圖4 所提EMVS互質(zhì)面陣張量波束成形器的張量波束功率圖Fig.4 Τensor beam power patterns for the proposed EMVS coprime planar array tensor beamformer

從圖4（a）、（b）可以看出，得益于EMVS 六路輸出中所涵蓋的豐富空間電磁信息，以及所提張量信號(hào)的結(jié)構(gòu)化空域?yàn)V波準(zhǔn)則，兩個(gè)稀疏均勻子面陣的張量波束功率均在對(duì)應(yīng)信號(hào)源波達(dá)方向的位置上呈現(xiàn)為主瓣；然而，由于陣元的稀疏排布特性，在非信號(hào)源波達(dá)方向的位置上同時(shí)呈現(xiàn)出多個(gè)虛峰。根據(jù)3.3 小節(jié)所分析的稀疏均勻子面陣波束分布特性，所對(duì)應(yīng)的虛峰位置互不重疊。通過(guò)對(duì)兩個(gè)稀疏均勻子面陣張量波束功率進(jìn)行互質(zhì)合成處理，如圖4（c）、（d）、（e）所示，EMVS 互質(zhì)面陣的張量波束功率在對(duì)應(yīng)信號(hào)源波達(dá)方向的位置上呈現(xiàn)出明顯的主瓣，而在其他位置上的虛峰被有效抵消。

進(jìn)一步地，對(duì)比所提EMVS 互質(zhì)面陣張量波束成形器與EMVS 均勻面陣張量波束成形器［44］的波束成形輸出性能。EMVS 均勻面陣按照5 行8 列的結(jié)構(gòu)排布40個(gè)陣元，以保證陣元個(gè)數(shù)與EMVS互質(zhì)面陣相同。假定兩個(gè)信號(hào)源的入射方向分別為(θ1，?1)=(20.5°，25.5°) 和(θ2，?2)=(30.5°，45.5°)。在信噪比SNR=5 dB，采樣快拍數(shù)T=300的條件下，繪制兩種方法所對(duì)應(yīng)的張量波束功率圖，如圖5（a）、（b）所示；在信噪比SNR=-10 dB，采樣快拍數(shù)T=300 的條件下，繪制兩種方法所對(duì)應(yīng)的張量波束功率圖，如圖5（c）、（d）所示。

從圖5中可以看出，在不同信噪比場(chǎng)景下，所提EMVS 互質(zhì)面陣張量波束成形器的輸出性能均優(yōu)于采用相同陣元數(shù)目的EMVS 均勻面陣張量波束成形器。得益于EMVS 互質(zhì)面陣的大孔徑優(yōu)勢(shì)，所提EMVS 互質(zhì)面陣張量波束成形器相較于EMVS均勻面陣能夠輸出更加精尖且能量集中的主瓣，在對(duì)應(yīng)信號(hào)源波達(dá)方向的位置具備更強(qiáng)的波束指向性。與此同時(shí)，由于所提張量波束功率乘積最小化處理準(zhǔn)則充分利用稀疏均勻子面陣的陣元互質(zhì)排布特點(diǎn)削弱虛峰響應(yīng)，EMVS 互質(zhì)面陣張量波束成形器對(duì)應(yīng)的張量波束功率圖上無(wú)明顯虛峰干擾，而EMVS 均勻面陣張量波束成形器所對(duì)應(yīng)的張量波束功率圖卻仍存在較強(qiáng)的旁瓣，將對(duì)信源空間方位的精準(zhǔn)刻畫造成嚴(yán)重干擾。

最后，為了驗(yàn)證所提算法在信源測(cè)向精度上的優(yōu)越性，將其與典型的EMVS 互質(zhì)面陣虛擬域MUSIC方法［32］，以及EMVS均勻面陣張量波束成形方法進(jìn)行性能對(duì)比。假定兩個(gè)信號(hào)源的入射方向分別 為(θ1，?1)=(30°，25°)和(θ2，?2)=(45°，52°)，在圖6中展示對(duì)這兩個(gè)信號(hào)源進(jìn)行測(cè)向的50次重復(fù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果。在不同的仿真環(huán)境下，所提算法都能夠精確的估計(jì)兩個(gè)信號(hào)源的來(lái)波方向，而相比之下，虛擬域MUSIC方法存在較大的信源測(cè)向偏差。同時(shí)，在采用張量波束成形準(zhǔn)則的條件下，EMVS均勻面陣由于孔徑受限，也無(wú)法提供準(zhǔn)確的測(cè)向結(jié)果。綜合上述仿真結(jié)果，本文所提EMVS 互質(zhì)面陣張量波束成形器充分利用了多維稀疏陣列的大孔徑優(yōu)勢(shì)和陣元結(jié)構(gòu)化稀疏排布特點(diǎn)，能夠獲得較EMVS 均勻面陣更加精尖的波束輸出，以及較傳統(tǒng)EMVS 互質(zhì)面陣測(cè)向方法更為精確、穩(wěn)定的波達(dá)方向估計(jì)結(jié)果，為實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景中的高性能信源測(cè)向提供了保障。

圖6 信源測(cè)向結(jié)果對(duì)比圖Fig.6 Comparison of source direction estimations

5 結(jié)論

本文綜合考慮了EMVS 互質(zhì)面陣的接收信號(hào)多維空間電磁信息結(jié)構(gòu)和陣元稀疏排布特點(diǎn)，提出了一種EMVS 互質(zhì)面陣張量波束成形算法。該算法構(gòu)建了EMVS 互質(zhì)面陣張量信號(hào)的結(jié)構(gòu)化空域?yàn)V波準(zhǔn)則，基于張量權(quán)重分解設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)波達(dá)方向信息維度和極化狀態(tài)信息維度的子問(wèn)題，并提出針對(duì)子問(wèn)題的交替迭代求解方法獲得張量權(quán)重的全局最優(yōu)解。在此基礎(chǔ)上，分析了由兩個(gè)稀疏均勻子面陣的陣元互質(zhì)排布特點(diǎn)所帶來(lái)的虛峰互不重疊特性，從抑制虛峰的角度設(shè)計(jì)了稀疏均勻子面陣張量波束功率的互質(zhì)合成方法，從而在對(duì)應(yīng)信號(hào)源波達(dá)方向的位置形成指向性波束。仿真結(jié)果表明，所提算法獲得了優(yōu)于現(xiàn)有EMVS 均勻面陣張量波束成形器的輸出性能。