在預(yù)應(yīng)力作用下彈性波在準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)中的影響

唐楷棋

（中鐵第五勘察設(shè)計(jì)院，北京 102627）

1 簡介

近年來，準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)在周期材料力學(xué)和固體物理領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。它通常用于對非周期結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進(jìn)行建模和分析。它是一種介于晶態(tài)和非晶態(tài)之間的固體。由于其獨(dú)特的特性和特性，一般將其作為超材料來分析，而斐波那契結(jié)構(gòu)是一種特殊類型的準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)，即結(jié)構(gòu)中的元素排列在一個(gè)或多個(gè)空間維度組成 ，通過傅里葉變換可以得到排列的離散值。 當(dāng)引入彈性波時(shí)，結(jié)構(gòu)會(huì)根據(jù)不同頻率的波紋表現(xiàn)出不同的獨(dú)特特性。這些特性也可以用準(zhǔn)周期性表述。

在接下來的研究中，在一維設(shè)置中標(biāo)準(zhǔn)化準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)由基本單元的重復(fù)序列組成，形成無限梁或桿。長和短這兩個(gè)不同的元素分別用L和S表示（S、L、LS、LSL、LSLLS）。其中，準(zhǔn)晶體獨(dú)特的特性，其結(jié)構(gòu)可以使一定頻率的彈性波被阻擋在結(jié)構(gòu)中，而另一部分則被允許通過。 通過測試和研究在準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)中傳播的波的類型來分析此類結(jié)構(gòu)的特征。因此，該功能可用于各種發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用，例如濾波器、聲學(xué)濾波器、噪聲換能器阻擋和設(shè)計(jì)、諧振器和波導(dǎo)設(shè)計(jì)、聲學(xué)透鏡、聲音保護(hù)裝置和地震屏蔽。這些成果被廣泛應(yīng)用于工業(yè)界和學(xué)術(shù)界，在日常生活中隨處可見。

2 方法論

2.1 分析計(jì)算

通過比較參考的論文，準(zhǔn)晶體的基本概念是相同的，即波在晶體棒中傳播。但進(jìn)行結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)所采用的方法不同，從不同方面評估波在結(jié)構(gòu)中的傳播能力。根據(jù)上述斐波那契數(shù)列生成的準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)，引入一維無限長梁桿系統(tǒng)。假設(shè)該結(jié)構(gòu)由兩個(gè)不同的基本單元L和S重復(fù)組成，并采用斐波那契數(shù)列規(guī)則排列。

圖1所示為預(yù)應(yīng)力條件下的準(zhǔn)晶結(jié)構(gòu)。 A和B是兩個(gè)不同的系統(tǒng)。研究它們需要不同的公式和計(jì)算方法。文章分析計(jì)算的是圖2的簡化版本，即由L和S交替排列組成的準(zhǔn)晶棒。而需要研究的是圖1中的系統(tǒng)，即系統(tǒng)a，圖2中的準(zhǔn)晶棒中有一個(gè)彈簧支撐。

圖1 L和S準(zhǔn)晶結(jié)構(gòu)中施加預(yù)應(yīng)力；a：添加彈簧，b：添加了支持。（M..Gei，2010）

圖2 由 L和 S 兩種元素按順序排列組成的準(zhǔn)晶棒

L和S是構(gòu)成準(zhǔn)晶棒的兩個(gè)基本元素，LS是基本單位，它們的長度分別為lL和lS。其中，由于L和S材料相同，所以具有相同的梁截面積、楊氏模量、各單元單位長度的密度，由A、E、ρ來表示。 根據(jù)Gei的論文，然后確定沿桿的位移函數(shù)u（z），其中z是垂直軸，因此軸向力N（z）=EA u（Z）。 諧波的場方程為：

式中Q=ρ/EA，ω為波的頻率，可得：

由該式可以得到該周期桿的頻散圖，右邊界處的位移和軸力分別為ul和N

其中Uj= [uj Nj]T并且是小區(qū)Fi的傳輸矩陣。這個(gè)矩陣就是乘積的結(jié)果，S}）是傳遞矩陣，它是單個(gè)跨度上的相關(guān)量，我們可以得到：

根據(jù)Floquet-Bloch條件，Ur = exp（iK）Ul，因此，加上（4），可得色散方程：

從圖3中可以看到，這是通過上面的公式和各種參數(shù)得到的色散圖，阻帶是x軸值為3到5、9到11時(shí)的區(qū)間，而通帶是 x軸的值是2.5到3、5到6.25、7.5到9、11到12.5的范圍。如果改變施加在系統(tǒng)中準(zhǔn)晶棒上的預(yù)應(yīng)力，色散圖中的通帶和阻帶應(yīng)該隨著適應(yīng)而變化。

圖3 軸向波的色散圖（L. Morini、M. Gei，2018）

4 分析與結(jié)果

MATLAB編碼后，輸入?yún)?shù)即可得到如下色散圖，如下圖6所示。當(dāng)l=0.3 m，s=0.01 m，其他參數(shù)不變時(shí)，可以看到圖4中的通帶和阻帶。圖中到達(dá)了y=π，y=0的線，也就是說這部分是阻帶。而y的值從0～π，這部分是通帶。可以用表格來表示通帶和阻帶對應(yīng)的頻率范圍，如下表1所示。

表1 當(dāng)l為0.3，s為0.01時(shí)，由圖6所示阻帶范圍

圖4 當(dāng)l為0.3，s為0.01，其他參數(shù)不變時(shí)，波在結(jié)構(gòu)中傳播的色散圖

從圖表中得到了阻帶頻率的大致范圍，顯然兩個(gè)相鄰的頂部頻帶之間是通帶。接下來，改變L的長度，從而使半徑l/s發(fā)生變化，分別比較l/s為15、30、60情況下彈性波穿過準(zhǔn)晶棒的效果。然后運(yùn)行代碼，我們可以得到圖5。

圖5 當(dāng)l=0.15、0.6時(shí)，波在結(jié)構(gòu)中傳播的色散圖

當(dāng)l=0.15，s=0.01時(shí)，比值l/s=15，其他參數(shù)不變，藍(lán)線顯示，只有一個(gè)阻帶，x值從2.98～4.32。當(dāng)l=0.6，s=0.01時(shí)，比值l/s=60，其他參數(shù)不變，黃線顯示，有6個(gè)阻帶。

從圖5可以看出，當(dāng)l/s的值越大，其他參數(shù)不變時(shí)，其所處的止損帶越多，頂帶的范圍是一個(gè)較小的趨勢，即止損帶越短。阻帶是。反之，當(dāng)l/s的值越小時(shí)，其所處的阻帶越少，其范圍越大。同樣可以看出，通帶隨著阻帶的增大而減小，隨著頂帶的減小而增大，這表明通帶和阻帶是相互影響的。很明顯，當(dāng)l/s的比值越大時(shí)，在一維準(zhǔn)晶棒中阻擋的波的頻率就越高。接下來改變Spring的剛度系數(shù)，以R1為變量，其他參數(shù)不變，比較R1=15、20、40時(shí)準(zhǔn)晶棒中彈性波的通帶和阻帶，比較L時(shí) 類比之前的/S比率，如下圖6所示。

圖6 當(dāng)R1=15、40時(shí)，波在結(jié)構(gòu)中傳播的色散圖

從圖6可以看出，當(dāng)R1變化時(shí)，色散圖的通帶和阻帶也發(fā)生變化。R1值越大，其阻帶范圍越大，表明波通過準(zhǔn)晶棒被阻擋的頻率越高。反之，阻帶范圍越大，通帶范圍越小，這與比率l/s具有相同的相關(guān)性。

5 結(jié)論

本文基于斐波那契數(shù)列規(guī)則，對由L和S基本單元重復(fù)排列組成的準(zhǔn)晶棒進(jìn)行了建模和分析，由于準(zhǔn)晶對于彈性波周期性濾波波傳播的特性， 通過Matlab建模計(jì)算研究波在準(zhǔn)晶體中的傳播效應(yīng)，以確定相關(guān)色散圖中通帶和阻帶的位置。針對該問題，通過改變L/S比值和彈簧剛度系數(shù)R1的值，對色散圖中的通帶和阻帶進(jìn)行定量分析。通過分析上述圖表，當(dāng)L/S值較大時(shí)，色散圖中的頂帶會(huì)明顯增加，說明波在準(zhǔn)晶棒中傳播被阻擋的頻率范圍也較多，對應(yīng)的頻率通帶的值較小。如果L/S值較小，則與上述理論相反。當(dāng)彈簧剛度系數(shù)的值發(fā)生變化時(shí)，色散圖中通帶和阻帶的位置也會(huì)發(fā)生變化。當(dāng)彈簧剛度系數(shù)R1變大時(shí)，比值l/s變大，色散圖中頂帶的范圍變大，波穿過準(zhǔn)晶棒組織的頻率也越高。所以從上面的例子可以推斷，彈性波在準(zhǔn)晶棒中傳播，并且停止的頻率范圍與l/s和彈簧剛度系數(shù)正相關(guān)。